工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.

动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
圆板对于 x与y轴的转动惯量相等： J x J y
Jz mri2 m(xi2 yi2) mxi2 myi2
即：J z

Jx

Jy

1 2
mR2 , J x

1 2
Jz
z

1 2
R
动量矩定理
E 转动惯量的平行轴定理
J zC mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
J z mi ri2 mi ( x'2i yi2 )
xi xi , yi yi d
J z mi xi2 ( yi d )2 mi xi2 yi2 2dyi d 2


mi
(
x
2 i

yi2 )

2d
mi
z
l/2
l/2
C
x
x dx
单位长度质量为, m l dm dx
J z
l / 2 x2dm
l / 2
l / 2 x2 dx 1 l 3 1 ml 2
l / 2
12
12
z
1 l2 3 l
12
6
动量矩定理
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：
J z
Lz ml sin l sin ml sin l sin
2ml2 sin2
2. 利用二者关系
Lz Lo sin 2ml2 sin2
3.利用定轴转动刚体对转轴的动量矩
Lz J z 2m(l sin )2
动量矩定理
A 匀质细杆对z轴的转动惯量：
轮转动的角加速度是否相同？大小顺序？（a）
是用不计重量的铁条将重为P 的物块焊在圆轮上； （b）是用不计重量的绳索将重为P 的物块悬挂
在同一圆轮上；（c）是在与圆轮连接的不计重
量的绳索作用大小为P 的力。
动量矩定理
例 已知匀质鼓轮重量为W, 转动惯量为JO,大小轮半 径为r1, r2,悬挂重物质量分别为m1,m2 。求鼓轮的 角加速度和轴承的约束力。
动量矩定理
动量矩定理
§3-2 刚体绕定轴转动微分方程
绕定轴转动刚体的 动量矩为：
Lz J z
根据质点系动量矩定理有
dLz
dt
M z (F)

d dt
J z


Mz
(F)

J z M z (F)

J z 百度文库M z (F)
动量矩定理
思考： 图示三种情况下（同一圆轮），在该瞬时圆
解：以鼓轮连同重物为研究对象， 其动量矩为
LO (JO m1r12 m2r22)
根据动量矩定理
dLO dt
MO (F)
有：
(JO m1r12 m2r22) m1gr1 m2gr2


JO
m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
g
动量矩定理
以鼓轮连同重物为研究对象，受力 情况如图所示， 根据质心运动定理：
m R2dm mR 2
0
z R
动量矩定理
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
圆板质量为M , M 如上图所示的圆环的质量为： R2
dm 2rdr
Jz
r 2dm

R
r2 2rdr

2
1
R4

1
MR2
0
42
z
2R 2
动量矩定理
D 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：
动量矩定理
3.定轴转动刚体对转轴的动量矩
由动量矩定义很容易得：
Lz M z (mivi ) miviri miriri miri2 J z
其中,Jz=∑miri2称为刚体对转 轴的转动惯量。
定轴转动刚体对转轴的 动量矩等于刚体对于该轴的 转动惯量与角速度乘积。

1 3
m1l
2

m2
(3 8
d
2

l
2

ld
)
动量矩定理
思考： 图示两种情况下，轮子的转速相同，质点系
相对于转轴的动量矩？（a）是用不计重量的铁
条将重为P 的物块焊在圆轮上；（b）是用不计 重量的绳索将重为P 的物块悬挂在同一圆轮上。
动量矩定理
5. 质点动量矩定理(固定点、固定轴) A 对固定点
MO (mivi )

n i 1
n
MO (Fi(i) )
i 1
MO (Fi(e) )
n
MO (Fi(e) )
i 1
n
n
LO MO (mivi ) ri mivi
i 1
i 1
dLO dt

M
(e O
)
质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数 等于外力系对同一点的主矩。
若作用于质点或质点系的外力对于某轴的矩 恒等于0,则由上面的动量矩定理可知，质点或质 点系对该轴的动量矩将保持不变。这就是动量 矩守恒定律。
动量矩定理
动量矩定理
思考： 1 坐在转椅上(双脚离地)或摇篮内的小孩,是否可 用双手将转椅转动? 2 花样滑冰的运动员通过手臂的伸长和收拢改变 旋转的速度,说明此道理.
解： vC rC l sin vD
质点C对点O的动量矩为：
M o (mv) mvCl ml 2 sin
方向垂直CD
Lo
同样质点D对点O的动量矩为：
M o (mv) ml 2 sin
方向同上
故有： Lo 2ml 2 sin
若考虑杆子的质量，则需要进行积分。
d dt
M
x
(mv)

M
x
(F
)
即：质点对某固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数 和。
动量矩定理
6. 质点系动量矩定理
A 对固定点
d dt
MO (mivi )

MO (Fi(i) )
MO (Fi(e) )
i 1,...,n
n
i 1
d dt
动量矩定理
B 固定轴
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对 点和对轴动量矩公式可得)：
dLx dt

M
(e) x
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，
等于作用于该质点系的所有外力对于同一轴之矩的
代数和。
动量矩定理
7. 质点、质点系动量矩守恒定理 若作用于质点或质点系的外力对于某固定点
的矩恒等于0,则由上面的动量矩定理可知，质点 或质点系对该点的动量矩保持不变。
LC ri mivr
vr
ri rC ri vi vC vr LO (rC ri) mivi
rC mivi ri mivr miri vC
LO LC rC mvC
动量矩定理
2. 质点系相对质心动量矩定理 LO LC rC mvC
yi

d2
mi
mi yi myC 0 J z J zC md 2
动量矩定理
转动惯量的计算：（1）简单—查表 （2）规则形状组合—叠加
（3）形状复杂—实验
思考例： 一物体的质量为M,已知该物体对通过点A,
且垂直于图面的轴的转动惯量为JA,C为物体质心。
AC=a, BC=b, AB=d,则该物体对通过点B且垂直于图
面的轴的转动惯量JB=
。
动量矩定理
例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘
的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对 经过悬挂点o的水平轴的转动惯量。
解： Jo (Jo1 Jo2 )

[1 12
m1l
2

m1 (
l )2 2
]

[1 2
m2
(
d 2
)2

m2
(d 2

l)2
]
JC

M
(e) C
受恒情况同前。
动量矩定理
2. 质点系相对质心动量矩定理 思考1：跳水运动员离开跳台后，忽略空气阻力， 运动员在空中做翻滚(前空翻、后空翻)转 体（360度转体）的花样动作，为什么翻滚 时的方向始终不变？为什么可以做转体动 作？
思考2：人跑步时为了跑得更快，要前后摆臂， 且同一侧上下肢运动方向要相反？
dLO dt

dLC dt
drC dt
mvC

rC

m
dvC dt

dLC dt
rC maC
M
(e) O

ri
Fi

(rC
ri) Fi

rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)

M
(e) C
刚体
dLC dt

M
(e) C
mx Fx my Fy 有： 0 XO
m1r1 m2r2 YO m1g m2 g W
可解得：
XO 0
YO

(m1 m2)g
W

(m1r1 m2r2 )2 JO m1r12 m2r22
g
动量矩定理
§3-3 质点系相对质心的动量矩定理
动量矩定理
§3-4 刚体平面运动微分方程
面积的两倍，矢量从矩心O画出，其方位垂直于质
点矢径r和动量mv所组成的平面，指向按右手规则 确定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在 相应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。
动量矩定理
2.质点系动量矩的计算
◆质点系对点的动量矩：
LO MO (mivi )
◆质点系对轴的动量矩
[ LO ]x M x (mivi ) [ LO ]y M y (mivi ) [ LO ]z M z (mivi )
M
C
由此可见,质点系的动量定理只是描述了 质点系随质点平动时动力学规律。不能描述 质点系相对于质心的运动状态, 而必须用其 他理论如动量矩定理来解决这个问题.
本章主要内容： §3-1 质点系动量矩定理 §3-2 刚体绕定轴转动微分方程 §3-3 质点系相对质心的动量矩定理 §3-4 刚体平面运动微分方程
动量矩定理
8.质点在有心力作用下的运动
若质点在运动过程中始终只受到指向某固定 点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动 （这属于动量矩定理中的那一种情况？）。
（行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属 于这种情况。
力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点
的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩 大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始 终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
第三章 动力学普遍定理： 动量矩定理
动量定理建立了力作 用与动量变化之间的关系 （外力系主矢量引起质心运动的变
化，反映了质点系随质心平动时的
动力学规律）。 但是,质点系的动量只
是描述质点系运动状态的 运动量之一,它不能完全描 述质点系的运动状态。
如一对称的圆轮绕不 动的质心转动时, 无论圆轮 转动的快慢如何,无论转动 状态有什么变化,它的动量 恒等于0。
上述介绍的动量矩定理是相对于惯 性坐标系中固定点或固定轴而言的，并 不适用于非惯性系的情况。
下面我们讨论质点系相对质心运动 时（相对于原点在其质心的平动坐标系 的运动），其动量矩与力矩之间有什么 样的关系?
动量矩定理
1. 质点系相对于固定点与相对于质心的动量 矩之间的关系
LO ri mivi
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
MO (mv) r mv
d dt
MO (mv)

dr dt

mv

r

d dt
(mv)
r F MO(F)
d dt
MO
(mv)

MO
(F
)
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等
于作用于质点上的力对同一点的力矩。
动量矩定理
B 固定轴
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)：