动量算符和角动量算符

Lˆ+
=
Lˆx
+ iLˆy
=
ih(−ieiϕ
∂ ∂θ
+ ctgθeiϕ
∂) ∂ϕ
( )( ) ( ) Lˆ+ Lˆ− = Lˆx + iLˆ y Lˆx − iLˆ y = Lˆ2x + Lˆ2y − i Lˆx Lˆ y − Lˆ y Lˆx = Lˆ2 − Lˆ2Z − i(ihLˆz )
所以
见p88 [Lˆx , Lˆ y ] = ihLˆz
[lˆα , pˆ β ] = ihεαβγ pˆγ
——注意到笛卡尔尔坐标 x 、 y 、 z 和球极坐标 r、θ、ϕ 之间的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sinθ sinϕ ，z = r cosθ
4
r 2 = x2 + y 2 + z 2 ， cosθ = z ， tgϕ = y
其中α , β = x, y, z 或1, 2,3
证明：
[xα , lˆβ ] = ihεαβγ xγ
或
[lˆα , xβ ] = ihεαβγ xγ
α, β = x, y, z
[ pˆα , lˆβ ] = ihεαβγ pˆγ 或 [lˆα , lvˆ 2 ] = 0
②在球坐标系中角动量算符的对易关系
=
c exp⎢⎣⎡hi
(1 2
pxl
+
py
y
+
pz z)⎥⎦⎤
或
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
=1
因
exp⎜⎛ ⎝
i h
p
x
l
⎟⎞ ⎠
=
cos(
1 h
pxl)
+
i
sin(
1 h
pxl)
=1
所以
2
⎧ ⎪ ⎪
px h
l
=
2πnx
同理
⎪ ⎨
⎪
py h
l
=
2πn y
⎪ ⎪ ⎩
pz h
l
=
2πnz
于是得到分立值
①在直角坐标系中角动量算符的对易关系
角动量算符 lvˆ = rv × pvˆ = −ihrv × ∇ = lˆxevx + lˆyevy + lˆzevz lvˆ 在直角坐标中的三个分量可表示为
lˆx
=
ypˆ z
−
zpˆ y
=
−ih( y
∂ ∂z
−
z
∂) ∂y
lˆy
=
zpˆ x
−
xpˆ z
=
−ih( z
或
∇2 = − pˆr2 − lvˆ 2 = − pˆr2 − lvˆ 2
h2 h2r2
h2 h2r2
其中
pˆ r
=
h( ∂ i ∂r
+
1 ), r
pˆ r2
=
−h 2
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )， ∂r
pˆ r 可称为径向动量算符。
③角动量升降阶算符
(I) 定义
5
lˆ+ = lˆx + ilˆy ， lˆ− = lˆx − ilˆy
prˆψ p = prψ p − ih∇ψ p (rr) = pψ p
prˆ xψ p = pxψ p prˆ yψ p = p yψ p
−
ih
∂ ∂x
ψ
p
=
p xψ
p
− ih
∂ψ ∂y
p
=
p yψ
p
3.2-1
prˆ zψ p = pzψ p
− ih
∂ψ ∂z
p
=
p zψ
p
它们的解是
pv
ψ p (rr) = c exp(
注：
Lˆ2x
=
Lˆ
x
Lˆ x
在进行平方运算时（例如：其中有
∂ ∂ϕ
等的作用，考虑后面所有含ϕ 的项）
令
Lˆ−
=
Lˆ x
− iLˆ y
= ih(sinϕ
∂ ∂θ
+ ctgθ cosϕ
∂ ∂ϕ
)
+
ih(i
cos
ϕ
∂ ∂θ
− ictgθ sinϕ
∂ ∂ϕ
=
ih(ie −iϕ
∂ ∂θ
+ ctgθe−iϕ
∂) ϕ
− i pv⋅rr h
i pv⋅rr h
=
A* A
∫ ∫ ∫ ∴ ψ *pψ pdτ = A 2 dτ = A2 dτ = ∞
——趋于发散（此波函数不是平方可积，因而不能按这种方式归一化，否则，归一化因子
A 只能为零，这显然没有意义）。
b．归一化为 δ 函数
ψp
=
i pv ⋅rr
Ae h
ψ = A e *
nx = 0, ± 1, ± 2,L ny = 0, ± 1, ± 2,L nz = 0, ± 1, ± 2,L
⎧ ⎪
p
x
⎪
=
2πn x h l
⎪ ⎨
p
y
⎪
=
2πn y h l
⎪ ⎪pz ⎩
=
2πnz h l
相邻本征值
Δp x
=
2πh l
lim
l →∞
Δp
x
=0
——相邻本征值的间隔与 l 成反比，当 l 选取足够大时，本征值的间隔可以任意小，当 l → ∞ 时，
Lˆ2
=
Lˆ+ Lˆ−
+
Lˆ2z
− hLˆz
=
−h
2
⎡ ⎢ ⎣
1 sin
θ
∂ ∂θ
⎜⎛ sin θ ⎝
∂ ∂θ
⎟⎞ + ⎠
1 sin 2 θ
∂2 ∂ϕ 2
⎤ ⎥ ⎦
3.2-8
（1） Lˆ2 本征值方程的求解
Lˆ2Y (θ ,ϕ) = λh 2Y (θ ,ϕ)
3.2-9
将 Lˆ2 算符代入得
⎡1 ⎢⎣ sin θ
exp⎢⎣⎡
i h
( px
−
px′ )⎥⎦⎤dx
=
2πhδ
( px
−
px′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
(py
−
p y′ )⎥⎦⎤dy
=
2πhδ
(
py
−
py′ )
∫∞ −∞
exp⎢⎣⎡
i h
( pz
−
pz′ )⎥⎦⎤dz
=
2πhδ ( pz
−
pz′ )
式中 δ ( px − p′x ) 是以 px − p′x 为宗量的 δ 函数，故有
例： l = 1 m = 0 时，写出Ylm (θ ,ϕ) = Y10 (θ ,ϕ)
Θ(θ ) = p(ρ)
而
d = dρ d = − sinθ d
dθ dθ dρ
dρ
所以
d dρ
⎢⎣⎡(1
−
ρ
2
)
dp(ρ dρ
)
⎤ ⎥⎦
+
⎢⎡λ ⎣
−
1
m2 −ρ
2
p(ρ
⎤ )⎥
⎦
=0
——缔合勒让得方程
这是二阶微分方程，有两个线性无关的解，从推算中可以知道，除非常数 λ 取特殊值，否则这
两个解在θ = nπ 时要等于无限大，这不符合要求，但当 λ = l(l + 1) ， l 为正整数，或为零，而且
*
− i pv ⋅rr h
p′
——上式中 pr 与 pr ′ 有微小差别，是归一化为δ 函数的关键。
∫ ∫∫∫ [ ] ψ
* p′
(rr)ψ
p
(rr)dτ
∞
= c2
±∞
exp⎩⎨⎧ hi
( px
−
px′ )x + ( p y
−
py′ ) y + ( px
−
p
z′
)z
⎬⎫dxdydz ⎭
而
1
∫∞ −∞
x
∂x ∂y ∂z
利用这些关系式可以求得， ∂
∂
∂ ，再代入可以求得
∂x ∂y ∂z
lˆx
=
ih(sin ϕ
∂ ∂θ
+ ctgθ
cosϕ
∂ )、 ∂ϕ
lˆy
=
−ih(cosϕ
∂ ∂θ
− ctgθ
sin ϕ
∂) ∂ϕ
lˆz
=
−ih
∂ ∂ϕ
lvˆ 2
=
−h2
[
1 sin
θ
∂ ∂θ
(sin θ
∂ ∂θ
)+
1 sin2 θ
∂] ∂ϕ
lx 、 l y 、 lz 只与θ,ϕ 有关，与 r 无关，而且 lˆz 只与ϕ 有关。
∇2 = ∂2 + ∂2 + ∂2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
= 1 ∂ (r 2 ∂ ) + 1 ∂ (sinθ ∂ ) + 1
∂2
r 2 ∂r ∂r r 2 sinθ ∂θ
∂θ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
可取任意实数值，即动量算符的本征值
i hpv
pr ⋅ rr)
3.2-2
组成连续谱，相应的本征函数为(3.2-1)式所表示的
ψ pv (rv) ，这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。
2)．动量算符本征函数的归一化 a．理想的平面波的归一化问题
Q
ω
= ψ *pψ p
=
A e Ae *
§3.2 动量算符和角动量算符 1．动量算符和本征方程 1). 动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
⎧1 ⎪⎪ sin θ
d dθ
⎜⎛ sin θ ⎝
d (Θ) dθ
⎟⎞ ⎠
+
(λ
−
m2 sin 2
θ
)Θ(θ
)
=
0
⎨ ⎪d ⎪⎩
2 Φ(ϕ ) dϕ 2
+
m 2 Φ(φ
)
=
0
(I) (II )
Φ(ϕ) = 1 eimϕ 2π
m = 0, ± 1, ± 2L
由（I）作变量代换
令 ρ = cosθ
1 − ρ 2 = sin 2 θ
m ≤ l 那么其中一个解就有限了，这样的解是符合要求的。
Θ是
Θ = Bplm (ρ)
l = 0, 1, 2,L m = l, l −1, L, − l
这里 plm (cosθ ) 是边带的勒让德（Legendre）函数
7
m
plm (ρ ) = (1 − ρ 2 ) 2
dm dρ m
pl (ρ)
其中
∫ψ
* p′
(rr)ψ
p (rr)dτ
=
c2 (2πh)3δ ( pr
−
pr′)
∞
若
C
取
(2πh
)−
3 2
，则ψ
p
(rr)
归一化为 δ
函数
即
∫ψ
* p′
(rr
)ψ
p (rr)dτ
= δ ( pr
−
pr ′)
3.2-3
∞
( ) ψ p (rr) =
1 2πh
3 2
i ( pr⋅rr)
eh
3.2-4
ψ p (rr) 不是归一化为 1，而是归一化为 δ 函数，是由于 pr 的本征值可以任意取值，动量本
r
x
将 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂r ， ∂r ， ∂r ∂x ∂y ∂z
将 cosθ = z 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂θ ， ∂θ ， ∂θ
r
∂x ∂y ∂z
再将 tgϕ = y 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂ϕ ， ∂ϕ ， ∂ϕ
征值构成连续谱所致。 3）．箱归一化
有各边长均为 l 的箱子，建立以箱中心为原点的坐标系，箱中有自由微观粒子
ψ
p (rr)
=
i pr.rr
ce h
=
c
exp⎢⎣⎡
i h
(pxx +
py y
+
px z)⎥⎦⎤
在箱的表面应满足周期性的边界条件 亦
c
exp⎢⎣⎡
i h
(−
1 2
pxl
+
py
y
+
pz z)⎥⎦⎤
注：箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为δ函数方法对任何连续谱都适用。
2．角动量算符
1). 定义
在经典力学中，动量为 p ，对 O 点的位置矢量为 rr 的粒子，它绕 O 点的角动量是
r l
=
rr
×
pr
因而，量子力学中，角动量算符是
3
lˆ = rˆ × pˆ = −ihrr × ∇
2). 角动量的
lˆz
=
xpˆ y
−
ypˆ x
=
−ih( x
∂ ∂y
−
y
∂) ∂x
[lˆx , lˆy ] = ihlˆz ，[lˆy , lˆz ] = ihlˆx ，[lˆz , lˆx ] = ihlˆy （要求会证明） ⇒ lvˆ × lvˆ = ihlvˆ lvˆ × lvˆ = ihlvˆ 是角动量算符的定义式。 [lˆα , lˆβ ] = ihεαβγ lˆγ 式中εαβγ称为Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下： ⎧εαβγ = −ε βαγ = −εαγβ ⎨⎩ε123 = 1
显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
∂ ∂θ
⎢⎣⎡sin θ
∂ ∂θ
Θ(θ )⎥⎦⎤
+
Θ(θ ) sin 2 θ
∂2 ∂ϕ 2
Φ(ϕ )
=
−λΘ(θ )Φ(ϕ)
两端同除 Θ(θ )Φ(ϕ) 整理
sin θ Θ(θ )
∂ ∂θ
⎢⎣⎡sin θ
∂ ∂θ
Θ(θ )⎥⎦⎤
+
1
Φ(φ )
∂2 ∂φ 2
Φ(ϕ )
=
−λ
sin 2
θ
则得到 由（II）
本征值谱就由分立谱变为连续谱。 归一化