郑毓信--为学生思维发展而教

• 在学生实际从事计算前我们往往也未能引 导他们认真地去思考为什么要进行这些计 算，从而就容易出现这样的现象：尽管相 关的计算或推理导致了某些结果，但其对 于解决所面临的问题却没有任何作用；另 外，在获得了结果以后，我们显然又应引 导他们进一步去思考：如何进行检验？是 否存在更快的计算方法？……
• 几何教学中一旦引入了某个概念，如“等 腰三角形”、“正方形”等，我们又往往 会急于让学生通过实际度量去发现它们的 特征性质，却没有认识到其中的很大一部 分正是相关“定义”的直接推论，从而真 正重要的也就是如何能够引导学生积极地 去进行思考“什么是等腰三角形？”， “什么是正方形？”，等等。
• 三个应当思考的问题： （1）什么是“核心素养”与“数学核心素 养”？ （2）当前对于“核心素养”与“数学核心素 养”的提倡其合理性何在，特别是，这对 于我们改进数学教育究竟有哪些新的重要 启示？ （3）我们在教学又应如何去落实所说的“核 心素养”与“数学核心素养”？
• 上述三个问题不应被看成互不联系的。如 “核心素养”与“数学核心素养”的理解 显然就直接关系到了我们在课堂上如何能 够切实地加以落实，包括很好地实现各个 学科的分工合作、密切配合；另外，也只 有真正弄清了当前对于“核心素养”的提 倡与先前所主张的“素质教育”、乃至教 育的“三维目标有什么不同，相关工作才 有明确的方向，而不至于沦为对于“时髦 口号”的盲目追随。
（2）《数学课程标准》（2011）提到了 10个核心概念：数感、符号意识、空 间观念、几何直观、数据分析、运算 能力、推理能力、模型思想、应用意 识与创新意识。 • 新修订的《数学课程标准》（高中版） 又将此压缩成了6个核心概念：数学抽 象、逻辑推理，数学建模、数学运算、 直观想象、与数据分析。
• 我们如何才能防止“不稳定、不连贯、 不统一”这样一个弊病？ • 我们又是否应当将“数学的眼光”、 “数学的思维”与“数学的语言”绝 对地分割开来、并以此为依据去提出 上述的6个“核心概念”？
• 基本认识（1）：这即是“走向核心素 养”给予我们的主要启示：我们应当 跳出数学、并从更一般的角度去进行 分析思考什么是数学对于个人发展和 社会进步所应发挥的重要作用？
• “这次制定课程方案时，学科专家做 的第一件事情就是思考：这门学科在 孩子身上能够产生哪些变化？对孩子 的素养有哪些贡献？”（张绪培）
• 对于“数学核心素养”的进一步界定： 我们应当通过数学帮助学生学会想得 更清晰、更深入、更全面、更合理， 从而不断提高自身的思维品质，真正 成为一个高度自觉的理性人。
• “通过数学学会思维”，并非是指如 何能够想得更快、又如何能够与众不 同，而主要是指学会想得更清晰、更 深入、更全面、更合理。
• 康纳利（D. Kahneman）：《快思慢想 （Thinking，Fast and Slow ） 》， Penguin Books，2011 • 主要结论：这是“日常思维”的一个 重要特点，即是“快思”占据主导的 地位；然而，尽管其对于人类具有十 分重要的作用，在现实中却又常常会 导致一些系统性的错误。
• 与简单地去复述“核心素养”的“三 个方面、六大要素、十个基本要点” 相比较，我们应当更深入地去思考数 学作为一门基础学科对于提升个人与 社会的整体性素养究竟有哪些特别重 要、甚至是不可取代的作用？ • 特别是，什么又是自身在这一方面的 具体体验？
• 这或许可以被看成通过学校教育帮助 学生成长的必然途径，即由笼统地提 倡整体性的“核心素养”，逐步过渡 到各门学科的专业学习；然后，在这 一基础上，我们又应帮助他们逐步实 现“对于专业化的必要超越”、包括 不同学科的整合这样一个更高层面的 发展。
• 这是当前应当注意纠正的一个现象， 即是我们在教学中往往只是重视了学 生的“动手”，却忽视了如何能够促 使他们积极地去“动脑”。
• 基本认识：要想认识圆，必先画圆。 • 教学实录： （1）要求学生用圆规画圆； （2）展示另一种画圆方法（体育老师在操场 上画圆），并要求学生对画圆的具体步骤 做出总结：第一，定圆心；第二，确定半 径。 （3）进一步的要求：在先前的图上画半径 （半径在哪里？）；画直径（画得对不 对？）
• 南京大学哲学系教授，博士生导师；江苏 省文史研究馆馆员；享受国务院特殊津贴 专家。从事专业研究与教学50多年，曾多 次赴英、美与我国港台地区作长期学术访 问，赴意大利、德国、荷兰等著名大学作 学术讲演。已出版专著32部，论文360多篇， 在数学哲学、数学教育、科学哲学等领域 有一定影响。
一、“数学核心素养”之我见； 二、当前应当特别重视的几个问题； 三、“深度教学”与问题引领。
• 教育工作贵在坚持！这就是指，一旦 认准了方向，就应持之以恒，坚持地 去做。
• “现在很多学校都缺乏坚信的东西，表
现出来就是没有定力，害怕安静，随 波逐流，人去亦去，就像一个不自信 的小孩，动辄就要闹出点动静以引起 别人的关注，这就是很多学校搞校园 文化建设的内在动机。”（王小东）
• “现在，许多老师虽然也做课题研究， 但今天关注新课改，明天关注核心素 养，因为要‘应景’，所以转换得过 于频繁，以至于不管什么内容的课题 都停留于比较浅显的工作总结层 面……这不是新时期需要的教师。” （朱永祥等）
• 我们应当通过数学帮助学生学会思维， 而不只是学会“数学地思维”，并由 “理性思维”逐步走向“理性精神”。
• 数学思维并非思维的唯一可能形式， 各种不同的思维形式（如文学思维、 艺术思维、哲学思维、科学思维等） 也都有其一定的合理性和局限性，从 而，我们就不应唯一地强调“帮助学 生学会数学地思维”，毋宁说，后者 事实上即可被看成清楚地表明了“学 科性思维”的局限性。
• 当然，我们并不应因此而完全否定数 学思维的研究和学习，毋宁说，这即 是对数学教育工作者如何做好这一方 面工作提出了更高的要求：我们即应 通过数学教学帮助学生学会思维！
• 第一，所谓的“情感、态度与价值观”主 要体现了文化的视角，而“文化”的主要 特征就在于：这是一种潜移默化的影响， 也即是通过人们的日常生活与工作不知不 觉地形成的。也正因此，与数学直接相关 的情感、态度与价值观的养成，就离不开 具体数学知识与数学思维的学习，特别是， 人们主要地就是经由“理性思维”的学习 与应用逐步发展起了“理性精神”，也即 由“思维方法”逐步地过渡到了“情感、 态度与价值观”。
• 相关教师在教学中同样采取了“由生活实 例引出‘角’的概念”这一作法，但在学 生们具体地列举了所曾见过的各种各样的 “角”以后，教师又提出了这样一个任务： 把你头脑中所想的“角”画出来？ • 进一步的问题（问题1）：“其中有哪些可 以被看成真正的角，也即是数学中所说的 ‘角’”？
• 在实际组织学生对上述问题进行讨论 以后，教师又要求学生第二次动手去 画角。 • 第二个问题：你们所画的“角”有什 么不同？
• 什么是学生眼中的“聪明”？ • 教师在这方面又发挥了怎样的影响？
• 我们应当将“帮助学生学会思维”看 成数学教育的基本目标，特别是，即 应通过数学教学促进学生更积极地去 思考，并能逐步学会想得更清晰、更 深入、更全面、更合理，包括由“理 性思维”逐步走向“理性精神”。
1. 正确处理“动手”与“动脑”之间的 关系； 2．努力养成学生“长时间思考”的习惯 与能力； 3．帮助学生学会“反思”； 4．努力提升学生的思维品质。
• 无论教学中采取了什么样的教学方法 或模式，我们都应更加关注自己的教 学是否真正促进了学生积极地去进行 思考，并能逐步学会想得更清晰、更 全面、更深入、更合理。
• 数学家的一项共识：数学学习十分有 益于人们养成“长时间思考”的习惯 与能力。 • 但是，我们在现实中又是否过分地强 调了学生的“即兴思维”，以至完全 忽视了“长时间思考”的习惯与能力 的养成？
• 我们也不应简单地去接受这样一个观 点，即是认为“数学核心素养”可以 被等同于《数学课程标准》中所提到 的“核心概念”，而应更深入地去思 考提倡“核心素养”对于我们改进数 学教育究竟有哪些新的重要启示？
• 对于什么是所谓的“核心概念”事实 上存在多种不同的看法或解释。 （1）《数学课程标准》（实验稿）提到 了6个核心概念：数感、符号感、空间 观念、统计观念、应用意识与推理能 力。
• 总之，这正是我们在当前应当注意纠 正的一个现象：我们的学生一直在做， 一直在算，一直在动手，但就是不想！
• 教材中的处理方式（人教版，二年级 上册）： （1）由生活实例引出角的概念； （2）通过若干“正例”与“反例”帮助 学生更好地掌握角的概念。
• 我们如何能够通过自己的教学促使 学生更为积极地去进行思考，特别 是，即能由单纯的“动手”转向积 极的“动脑”？
• “我认为思考问题的态度有两种：一种是花费较短 时间的即席思考型；一种是较长时间的长期思考 型。所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考 的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态 度的人。但是，现在的……教育环境不是一个充 分培养长期思考型的环境。……没有长期思考型 训练的人，是不会深刻地思考问题的。……无论 怎样训练即席型思考，也不会掌握前面谈过的智 慧深度。”（广中平佑）
• 第二，知识应当被看成思维的实际 “载体”，从而，“为讲方法而讲方 法就不是讲方法的好方法”；反之， 也只有以思维方法的分析带动具体知 识内容的教学，我们才能将数学课真 正“教活”、“教懂”、“教深”。
• 综上可见，在上述的“三维目标”之中， “思维”即应被看成具有特别的重要性； 这也就是指，我们应当将“帮助学生学会 思维”看成数学教育的基本目标，或者说， 即是应当将“促进学生思维的发展”看成 “数学核心素养”最为基本的一个涵义。
• 什么是不同学科、特别是数学课与语 文课对于学生成长的主要作用？ • 相关的论述：“要通过生命不断的转 弯，发现多元的样貌，而不要生活在 一元的状态下。” • “今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧， 今天比昨天快乐，这就是成功。” （林清玄）
• 语文教育的主要作用：“什么是生命里重 要的事情：一是爱，能爱，能表达爱；二 是美，懂美，追求美。三是情，四是义， 人要有情有义。五是感动，美好的情感能 被激发。” • 数学教育的主要使命：我们应当通过数学 教学使学生一天比一天智慧，一天比一天 聪明，也即应当努力促进学生思维的发展 与理性精神的养成。
• 我们又为什么要布置这样一个任务， 即是让学生“看一看、量一量、折一 折，想想圆有哪些特征？”这也就是 指，圆的基本性质（半径相等、直径 相等）真的是量（比）出来的吗？ • 总之，我们在教学中即应特别重视动 手与动脑之间的关系！
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• 在“度量”的教学中， 人们往往只是 重视了实际操作，包括各种方法与工 具的应用，却未能引导学生认真地去 思考：“如何量才能更准、更快、更 省事？”包括各种度量工具与度量方 法是如何得以发现的？
• 第三次动手：“如何能够画出一个与 已知角同样大小的角？” • 必要的聚焦（问题3）：角的大小是由 什么决定的，或者说，什么是相关的 因素，什么又与角的大小完全无关？
• 尽管我们在此不能直接引入“角”的 严格定义，但是，只须很好地加以引 导，我们仍可帮助学生较好地掌握 “角”这样一个概念，特别是这样一 个事实：“角的大小与边的长度无关， 而是取决于‘开口’的大小”，从而 就为将来的进一步学习、包括引入 “角”的严格定义打下了良好基础。
（4）男女生比赛：用绳子画圆。由此引 出结论：圆半径的长度不能变。 （5）学习单：请你看一看、量一量、折 一折，想想圆有哪些特征？ （6）想一想：生活中有哪些圆？用到了 圆的哪些性质？
• 在学生用圆规画圆以后，我们是否就 应通过适当的提问与讨论引发学生的 思考，即如“画圆时容易出现什么问 题？”“什么又是画好圆的关键？” 等等。 • 进而，通过聚焦“圆不圆”这样一个 问题，我们又可引发学生做出如下的 思考：“究竟什么样的图形是圆？”