论文最终版-稀薄费米气体

当气体满足非简并条件 eα >> 1 或 nλ3 << 1 时，不论由玻色子还是费米子组成 的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。弱简并的情形能初步显示二者的差异。下面 再以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并 e α << 1 或 nλ3 >> 1 情形下费米气体 的性质。 原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成共有电子。 失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。在初步的近似中人们把 公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。 金属的高电导率和高热导率 说明金属中自由电子的存在。但如果将经典统计的能量均分定理应用于自由电 子，一个自由电子对金属的热容量将有 3K/2 的贡献，这与实际不符。另外，实 验发现， 除在极低温度下， 金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较， 可以忽略。这是经典统计理论遇到的另一个困难。而以上问题可以根据费米分布 解决。 首先说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体：以铜为例，铜的密度为 8.9 ×10 3 kg • m −3 ，原子量为 63，如果一个铜原子贡献一个自由电子，则: 8.9 n= × N A = 8.5 × 10 28 m −3 63 电子的质量为 9.1 ×10 −31 kg ，故 n λ3 =
有积分因子
⎞ 1 1⎛ α ，使 ⎜ dU − Ydy + dN ⎟ ⎜ ⎟ = dS T T⎝ β ⎠ 1 μ ，α = − kT kT ∂ ∂ ln Ξ − β ln Ξ ) ∂α ∂β ∂ ∂ ln Ξ − β ln Ξ ) = k (ln Ξ + αN + βU ) = k ln Ω ∂α ∂β
∑ α l e
ε l ωl
+ βε l
=E
∑e
l α +βε l
ω
二式确定系统的内能；或将 α 和 β 都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6） 式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。 （5）式给出费米系统在最概然分布下处在能级 ε l 的粒子数。能级 ε l 有 ω l 个 量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。因此在能量为
1 （20） = e −α − x (1 − e −α − x ) eα + x + 1 保留展开的第一项相当于将费米气体分布近似为玻尔兹曼分布。在弱简并的情 形，我们将保留两项。 将（20）式带入（ 18 ' ）式和（ 19' ）式，将积分求出，得
N = g( U = g(
2πmkT 3 / 2 −α 1 ) Ve (1 − 3 / 2 e −α ) 2 H 2 2πmkT 3 / 2 1 ) Vke−α (1 − 5 / 2 e −α ) 2 H 2
包头师范学院
本科学年论文
题 学 专 班
目：稀薄费米气体的性质 院： 物理 科 学 与技 术 学 院 业：物理学 级 ： 08 级 2 班 副 教授
学生姓名： 王 明 辉
指导教师：韩 根秀
二 〇 一 零 年 十 一 月
摘
要
本文主要讨论极稀薄费米气体在低温下的性质。文中首先从定义上对玻色系 统和费米系统进行区别； 然后从能量角度对弱简并理想情况下的费米气体及金属 中的自由电子形成的强简并的费米气体进行探究分析； 并展望费米气体研究成果 的实际应用与未来更广阔的应用前景。
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目
录
一、玻尔兹曼系统与费米系统………………………………………………5 1.玻色子和费米子，费米系统和玻色系统，玻尔兹曼系统…………………5 2.玻色系统与费米系统的微观状态数…………………………………………5 3.费米系统的最概然分布………………………………………………………6 4. 费米系统的热力学量的统计表达式 ………………………………………6 二、理想费米气体性质 …………………………………………………………8 1.弱简并理想费米气体的性质…………………………………………………8 2.强简并理想费米气体的性质…………………………………………………9 三、费米气体研究的应用展望 ……………………………………………12 1.宇宙探究方面的应用………………………………………………………12 2.量子物理学、材料学发展的贡献…………………………………………12 3.“费米子凝聚态”简介与其应用前景展望………………………………12
引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为： Ξ = ∏ Ξ l = ∏[1 + e −α − β ε l ]ωl 取对数得： ln Ξ = ∑ ω l ln( 1 + e −α − β ε l )
l
系统的平均总粒子数 N 可通过 ln Ξ 表示： N =
∂ ln Ξ ∂α
（ 1）
内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值： U = ∑ ε l al = ∑
简并度 粒子数
…， ω l ， … ω1 ， ω 2 ， …， al ,… a1 ， a 2 ，
即能级 ε1 上有 a1 个粒子，能级 ε 2 上有 a2 个粒子， ……，能级 ε l 上有 al 个粒 子， ……。为书写方便起见，以符号｛ al ｝表示数列 a1 ， a2 ， …， al ,…，称为一 个分布。显然，对于具有确定的 N，E，V 的系统，分布｛ al ｝必须满足条件：
参考文献…………………………………………………………………………14
4
玻尔兹曼系统与费米系统： 一、 一、玻尔兹曼系统与费米系统：
玻色子和费米子，费米系统和玻色系统，玻尔兹曼系统 1. 1.玻色子和费米子，费米系统和玻色系统，玻尔兹曼系统
自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自旋 量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。在原子核、原子和 分子等复合粒子中， 由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子 都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。 由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在 含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米 子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个 全同近独立的玻色子组成的玻色系统中， 处在同一个体量子态的玻色子数目是不 受限制的。 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限 制的系统称作玻尔兹曼系统。
d ln Ξ =
∂ ln Ξ ∂ ln Ξ ∂ ln Ξ dα + dβ + dy ∂α ∂β ∂y ⎛ ⎞ α ∂ ∂ dN ) = d ⎜ ⎜ ln Ξ − α ln Ξ − β ln Ξ ⎟ ⎟ β ∂α ∂β ⎝ ⎠
故有： β (dU − Ydy +
上式指出 β 是 dU − Ydy +
α α dN 的积分因子。 在热力学部分讲过， dU − Ydy + dN β β
∑a
l
l
=N，
∑aε
l l
l
=E ： （1）
才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛ al ｝相应的系统的微观状态数Ω
M . B.
ΩM .B . =
Πal !Πω
l l
N!
a l
l
则可推导出费米系统的微观状态数为 ：
Ω
F.D.
=∏
l
ωl ! a l !(ω l − 1)!
（2）
5
费米系统的最概然分布： 3. 3.费米系统的最概然分布：
1 ∂ ln Ξ β ∂y 1 ∂ ln Ξ β ∂V
上式的有一个重要特例是： P =
（15）
由式④-⑦得： β (dU − Ydy +
α ∂ ln Ξ ∂ ln Ξ ∂ ln Ξ dN ) = − βd ( )+ dy − αd ( ) β ∂β ∂y ∂α
注意上面引入 ln Ξ 的是 α、β、y 函数，其全微分为：
（21） （22）
8
3 1 −α NkT (1 − e ) 2 4 2 由于 e − α 小，可将上式第二项中的 e −α 用 0 级近似，即用玻尔兹曼分布的结果 两式相除，得
U=
e −α =
带入而得
V h2 3 / 2 1 ( ) N 2πmkT g
U=
3 1 1N h2 3 / 2 NkT[1 + ( ) ] 2 4 2 g V 2πmkT
（23） （ 23 ' ）
或
U=
3 1 NkT (1 + nλ3 ) 2 4 2
上式第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能， 第二项是由微观粒子全同性原理引 起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。 费米气体的附加内能为正，量子统计关联使费米粒子之间出现等效的排斥作用。
2. 强简并费米气体性质： 2.强简并费米气体性质：
3/ 2 ∞ ε 2πV dε 3/2 ( 2 m ) 3 ∫ α +βε 0 h e +1
系统的内能为
U =g
（19）
引入变量 x = βε ，将上述两式改写为 1/2 ∞ x 2πV dx N = g 3 ( 2mkT ) 3 / 2 ∫ α + x 0 e h +1
（ 18 ' ） （ 19 ' ）
关键词：极稀薄气体；费米气体；弱简并理想气体；强简并理想气体
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Abstract
In this paper, thin Fermi gases the related properties of inquiry, mainly discuss extremely thin gas in low temperature properties. This paper from the relevant properties on bose system and Fermi system differentiates, And the weak Jane and ideally Fermi gases from the Angle of energy explores the analysis. Keywords: extremely thin gas, Fermi gas, Weak Jane and ideal gas,
费米系统的微观状态数 2. 2.费米系统的微观状态数
设一系统由大量全同近独立粒子组成， 具有确定粒子数 N、 能量 E 和体积 V。 以 εl （l=1,2, …）表示粒子的能级， ω l 表示能级 ε l 的简并度。 N 个粒子在各 能级的分布可以描述如下： 能 级
ε1 ， ε 2 ， …，
εl ， …
（16）
D ( ε ) dε = g
2πV ( 2m)3 / 2 ε 1 / 2 dε h3
（17）
其中 g 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。 系统的Hale Waihona Puke Baidu分子数满足
N =g
1/ 2 ∞ ε 2πV dε ( 2m) 3 / 2 ∫ α + β ε 3 0 h e +1
（18）
式（18）确定拉氏乘子 α 。
比较可知 β =
所以： dS = kd (ln Ξ − α
积分得： S = k (ln Ξ − α
上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。
7
理想费米气体性质： 二、 二、理想费米气体性质： 1.弱简并理想费米气体性质
弱简并即气体的 e − α 或 nλ3 虽小但不可忽略的情形。为简单起见，不考虑分子 的内部结构，因此只有平均自由度。分子的能量为 1 2 ε= ( px2 + p 2 y + pz ) 2m 在体积 V 内，在 ε 到 ε + dε 的能量范围内，分子可能的微观状态数为
l l l
（4）
根据上式的 ln Ω ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然 分布为
al =
e
l α +βεl
ω
+1
（5）
（5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子 α 和 β 由式 （6） =N + 1 +1 l 在许多问题中，也往往将 β 当作由实验条件确定的已知参量，而由（6 ）式的第
U =g
两式被积函数的分母可表为
3/ 2 ∞ x 2πV dx 3/2 ( 2 mkT ) kT ∫0 e α + x + 1 h3
1 1 = eα + x + 1 e α + x (1 + e −α − x ) 1 展开，只取头两项得 1 + e −α − x
在 e − α 小的情形下， e −α − x 是一个小量，可将
l l
e
l l α +βεl
εω
+1
（12）
6
类似地可将 U 通过 ln Ξ 表为： U = −
∂ ln Ξ ∂β
（13）
外界对系统的广义作用力 Y 是
∂ε l ∂ε ω ∂εl 的统计平均值： Y = ∑ l al = ∑ α + βεll ∂y ∂ y e − 1 ∂y l l
（14）
可将 Y 通过 ln Ξ 表为： Y = −
对（2）式取对数，得 ln Ω = ∑ [ω l !ln ω l − ln a l !− ln( ωl − al )!] （其中 ∑ 对粒子的所有量子状态求和） （3） 假设 al >>1， ω l >>1， ωl − al >> 1 ，上式可近似为 ln Ω = ∑ [ωl ln ωl − al ln al − (ω l − al ) ln( ωl − al )]
ε s 的量子态 s 上的平均粒子数为 fs =
1
e
α +βε s
+1
（7）
费米系统的热力学量的统计表达式： 4. 4.费米系统的热力学量的统计表达式：
如果把 α , β 和 y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：
N = ∑ al = ∑
l l
e
l α +βεl
ω
+1
l l
（8） （9） （10）