研究生结构工程弹塑性力学课件 CH7

（1）理想弹塑性模型
在材料中应力达到屈服极限以前，应力应变服从线弹性关系。应力一旦 达到屈服极限，则应力保持为常数σs。如图7-6（a）所示，即
(7-1)
对于低碳钢一类材料σ－ε曲线有一较长的水平屈服阶段，当所研究问题 应变不太大时，可以不必考虑后面的强化阶段，而采用理想弹塑性模型 比较合适。
（2）理想刚塑性模型
（1）屈服极限
应力——应变曲线上A点对应的应力值称为材料的弹 弹 性极限。若应力小于弹性极限，则加载和卸载的应 性极限 力——应变曲线相同（OA）段；若应力超过弹性极 限，加载的应力——应变曲线有明显的转折，并出 现一个水平线段（AF），常称为屈服阶段，相应的 应力称为屈服极限 屈服极限。同种材料的弹性极限和屈服极 屈服极限 限的数值相差不大，在工程上一般取为一个数值， 仍称为屈服极限，记为 σ
1. 线性强化弹塑性材料
桁架结构和载荷左右对称。 应力应变关系： 设σ1和σ2分别表示杆件的 应力，δ1 和δ2 分别表示1 (ε Eε 杆和2杆的伸长，ε1 和ε2 σ = σ s + E1 (ε − ε s ) (ε 分别表示其应变。 平衡方程： Aσ1+2Aσ2cosθ=P （a） 几何方程： δ2=δ1cosθ （b）
2. 静水压力试验
在各向均匀高压的条件下，对金属材料进行了大量试验研究， 主要结论为 （1）静水压力对材料屈服极限的影响忽略不计 在静水压力不大的条件下（例如五倍屈服应力），它对金属 材料屈服极限的影响可以忽略。但此结论只能用于致密材料， 对于像铸造金属、矿物、岩石及土壤等材料，静水压力影响 比较大，不能忽略。 （2）静水压力与材料体积改变近似地服从线性弹性规律 试验时除去静水压力，材料体积变化可以恢复，没有残留的 体积变形，因而可以认为各向均压时体积变化是弹性的。试 验还表明，这种弹性的体积变形是很小的。因此，对于一般 应力状态下的金属材料，当发生较大的塑性变形时，可以忽 略弹性的体积变化，而认为材料在塑性状态时的体积是不可 压缩的，即体积不变仅改变形状。
（4）条件屈服极限的确定
一般金属材料根据其塑性变形性能的不同可 分为两类：一类金属材料如低碳钢、铸钢、 某些合金钢等，应力——应变曲线如图7-1所 示。它们的屈服阶段较长，有的材料在该阶 段则没有明显的屈服阶段，如中碳钢、某些高强 度合金钢以及某些有色金属等，它们的应力——应变曲线如图 7-2所示。对于这种屈服极限不明显的材料，工程上将对应于残 余应变为0.2%的应力值定义为条件屈服极限σ0.2，也称为名义 屈服极限；或者将拉伸曲线中割线模量为0.7E处的应力定义为 条件屈服极限。后一种定义方法比测定残余应变更简单，对于 一般钢材前后两种方法确定的名义屈服极限近似相等。
（7-3)
式中E1为强化阶段直线斜率。当E1=0时即为理想弹塑 性模型。
（4）线性强化刚塑性模型
线性强化刚塑性模型 略去线性强化弹塑性模型中的线 弹性部分，即在应力达到σs前材料为刚性的，应力超 过σs后应力应变关系呈线性强化。如图7-6（d）所示， 即 (7-4)
以上仅就拉伸应力状态进行了讨论，其关系同样适用 于压缩应力状态。
塑性力学的概念
塑性力学是固体力学的一个分支，又称为塑性理论。 塑性力学是固体力学的一个分支，又称为塑性理论。根 据变形的性质，变形固体在受载过程中产生两种变形。 据变形的性质，变形固体在受载过程中产生两种变形。当外 力小于一定数值时，在卸除外力后， 力小于一定数值时，在卸除外力后，固体能完全恢复原有的 形状，这种能恢复的变形称为弹性变形。但是， 形状，这种能恢复的变形称为弹性变形。但是，变形固体在 一定的外界环境和加载条件下，其变形往往具有非弹性性质， 一定的外界环境和加载条件下，其变形往往具有非弹性性质， 非弹性变形主要有塑性变形和粘性变形两种。 非弹性变形主要有塑性变形和粘性变形两种。塑性变形是指 物体在除去外力后， 物体在除去外力后，除消失的弹性变形外残留下来的永久变 在给定的外力下，塑性变形并不随时间而改变。 形。在给定的外力下，塑性变形并不随时间而改变。粘性变 形则随时间而改变，例如蠕变、应力松弛等现象是粘性效应 形则随时间而改变，例如蠕变、 的反映。塑性力学就是研究物体内应力超过弹性极限后， 的反映。塑性力学就是研究物体内应力超过弹性极限后，产 生的塑性变形与作用力的关系以及物体内部应力和应变的分 布规律。 布规律。
塑性力学与弹性力学的关系
塑性力学与弹性力学有着密切的关系 弹性力学中的一些基本假设以及关于应力、应变的分析等与 材料物理性质无关的基本概念都将在塑性力学中得到应用 塑性力学远比弹性力学复杂 首先，塑性力学中没有一个像广义虎克定律那样的统一的应 力——应变关系。因为塑性变形是一个非常复杂的过程，它 随不同的材料和外界条件而改变，目前存在着多种理论，它 们只是反映了实际情况的某些方面；其次，由于方程是非线 性的，变形与加载的历史过程有关 变形与加载的历史过程有关，求解问题时不可避免地 变形与加载的历史过程有关 存在数学上的困难；第三，求解问题时，在物体中弹性区和 塑性区往往是共存的，需要决定两个区域的分界面，并满足 分界面上力的和变形的连续条件，从而又增加了解题的困难。
2.其他应力应变关系简化模型 2.其他应力应变关系简化模型
上面讨论的简化模型有一个共同的不足之处，即必 须用不同的式子分别表示两段的应力应变关系。为 了便于计算塑性力学问题，有时采用简单的数学函 数来近似描述应力应变曲线。 （1）路德维克（Ludwik）公式 （2）割线模量公式 （3）斯韦特（Swift）公式
（1）路德维克（Ludwik）公式
(7-5) 式中p、n为材料常数。 当取0<n<1时，曲线如图7-7 （a）所示，表示已略去弹 性应变的幂强化情况。 当取式中σS=0 σ=pεn (7-6) 即为目前应用较广的幂强化 曲线，它与多数工程材料的 实际性能相接近，并且便于 应用，适用于应变较大的问 题。 公式（7-5）中n=1时，即为 线性强化刚塑性模型。
§7-2
基本试验资料
1.单向拉伸试验 单向拉伸试验 2.静水压力实验 静水压力实验 3.鲍辛格效应 3.鲍辛格效应 4.材料性质的基本假设 材料性质的基本假设
1.单向拉伸试验 单向拉伸试验
（1）屈服极限 （2）加载和卸载规律 （3）应变强化 （4）条件屈服极限的 确定 （5）塑性变形阶段的 特性
略去理想弹塑性模型的线弹性部分，在应力达到屈服 极限σs前材料为刚性的，而应力达到σs后材料为理 想塑性的。如图7-6（b）所示，即 (7-2)
在弹性应变比塑性应变小很多以至可以忽略，如在进 行结构塑性极限分析时，则采用理想刚塑性模型。
（3）线性强化弹塑性模型
线性强化弹塑性模型 对于一般合金钢、铝合金等强化 材料，可以用两段折线近似实际的拉伸曲线。如图7-6 （c）所示。应力达到屈服极限σs前，应力应变呈线弹 性关系，应力超过σs则为线性强化关系，即
该公式的图线如图7-10所示。 它没有尖锐的屈服点，从弹 性区逐渐地过渡到塑性区。 曲线开始时有斜率E，弯过 来以后渐渐地趋近于应力 σs，且变形在弹性量级时 应力就很快到达σs。
Eε σ = σ s th σ s
§7-4 三杆桁架弹塑性分析
1. 线性强化弹塑性材料 （1）弹性阶段 （2）弹塑性阶段 （3）塑性阶段 2. 采用其它材料简化模型 （1）线性强化刚塑性材料 （2）理想弹塑性材料 （3）理想刚塑性材料 3. 三杆桁架卸载后的残余 应力和残余应变 图7-12
材料应力§7-3 材料应力-应变关系的简化模型
1.常用应力-应变关系的简化模型 常用应力常用应力 2.其他应力应变关系简化模型 2.其他应力应变关系简化模型
1.常用应力-应变关系的简化模型 常用应力常用应力
（1）理想弹塑性 模型 （2）理想刚塑性 模型 （3）线性强化弹 塑性模型 （4）线性强化刚 塑性模型
s
（2）加载和卸载规律
材料中的应力达到屈服极限时，即进塑性阶段。此阶 段的最大特点：加载和卸载的应力——应变曲线不同。 例如由图中B点卸载，应力与应变不是沿BAO线而是 沿BD线退回。应力全部消失后，仍保留永久应变OD。 在变形不大时，多数材料应力应变曲线中的BD与OA BD OA e p 接近平行。以 表示塑性应变OD，以 表示弹性 应变DC，则B点的应变为
（5）塑性变形阶段的特性
①在弹性变形阶段，加载和卸载服从同一个应力— —应变规律，因此卸载后无残余变形。在塑性变形 阶段，由于加载和卸载的规律不同，卸载后就必然 存在残余变形。弹性和塑性的本质差别在于卸载后 是否存在不可恢复的永久变形，而不在于应力—— 应变关系是否为线性。 ②由于加载和卸载规律的不同，引起塑性阶段应力 与应变的多值关系。 ③因为塑性变形不可恢复，所以外力所作的塑性功 不可逆。
第七章 简单应力状态下的弹塑性问题
§7-1 §7-2 §7-3 §7 - 4 §7 - 5 引 言 基本试验资料 材料应力材料应力-应变关系的简化模型 三杆桁架弹塑性平衡分析 加载路径对桁架应力和应变的影响
§7-1 引
言
所研究的问题一般可分为两个方面：一是根据实验观察所得 结果为出发点，建立塑性状态下变形的基本规律以及有关的 基本理论；另一方面则是应用这些理论求解具体问题。 所求解的工程问题又可分为两类：一类是出于机械加工工艺 需要，要使材料发生永久变形，以得到一定形状的零件，如 金属压延、拉拔等。这类问题的塑性变形较大，需要研究怎 样的加载方式最为有利，以达到最好地发挥材料塑性变形的 特性，使其变形均匀且不发生破坏，以及如何使施加的力最 小或消耗的能量最少等；另一类问题，工程结构在受载过程 中，由于应力分布的不均匀性，虽然局部区域的应力已超过 弹性极限，产生了一定的塑性变形，但整个结构仍具有承载 能力。这类问题需要探讨如何充分利用材料的潜力，以求最 大限度地提高结构的承载能力。
3. 鲍辛格（J.Bauschinger）效应 鲍辛格（J.Bauschinger）
（1）拉伸与压缩试验 结果的比较 （2）包辛格效应 具有强化性质的材料由 于塑性变形的增加，屈 服极限在一个方向上提 高，同时在反方向上降 低，材料具有了各向异 性性质。
4. 关于材料性质的基本假设
（1）材料是均匀、连续的，在初始屈服前为 各向同性。 （2）平均正应力（静水应力）不影响材料的 屈服；它只与材料体积应变有关，并且体积 应变是弹性的。 （3）材料的弹性性质不受塑性变形的影响。 （4）不考虑时间因素对材料性质的影响。
ε
ε
ε = ε +ε
e
p
如果从D点重新加载，开始时仍按DB变化，回到B点 后则按BFH变化。
（3）应变强化
若在B′卸载至D′，则再加载时，B′点的应力成为新 σs 的屈服极限 ，它高于初始屈服极限。这一现象 称为应变强化 加工强化 应变强化或加工强化 应变强化 加工强化。B′点的应力称为后继屈 后继屈 服极限或加载应力 加载应力。应力超过B′点，就从弹性变形 服极限 加载应力 再次进入了塑性阶段。对于简单拉伸试验，外载全 部卸除后，宏观应力等于零，但保留了宏观的残余 应变。实际上，物体内部微观结构发生了变化，产 生了微观的残余应力，它能在下次加载时扩大物体 的弹性范围。
σ=A（B+∈）n (0≤n≤1) （7-8）
式中A、B、n为常数，由材 料性质决定。由上式可知， 当σ=0时， ∈ =-B，如图7-9 所示。 ∈ 是测得B以后的应 变。应用中以σ>0时的曲线 来描述应力应变强化曲线。 此式适用于大应变情况。 当式中B=0时，即为前述的 幂强化曲线。
（4）普拉格（Prager）公式
σ=σs+pεn
材 料
不锈钢
黄铜
铜
铝
铁
n
0.45~ 0.55
0.35~ 0.40
0.30~ 0.35
0.15~ 0.25
0.05~ 0.15
（2）割线模量公式
E′=E[1－ω（ε）] 为A点的割线模量。
σ = Eε − Eεω (ε ) = E[1 − ω (ε )]ε = E ′ε
（3）斯韦特（Swift）公式