构造对偶式证明不等式

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中学数学

２００２年第５期

构造对偶式证明不等式

５２８４１５

广东省中山市北大学园小榄中学许少华

不等式的证明方法很多，这里介绍构造对偶式证明不等式，也许在诸多证明方法中它别开生面、独具“风味”，给人一种赏心悦目的感觉．

１

“填充”对偶式

例１

求证：

土．量…．．垄竺二！／

１

２

４

２，ｚ

、以万＿干１’

分析不等式的左边是几个分数连乘积，能不能在每两个相邻的分数之间插入另一个分数？因此：

设４一丢・导…・簪，

一

２４２以

ｄ一了‘ｉ…一芴了１’

由于

丢＜号，丢＜詈，…，

２门一１，２，２２胛、２刀＋１’

因此Ａ＜Ｂ，从而

∥＜小Ｂ一芝南圳＜志‘

故原不等式成立．侈ｏ

２求证：（１＋１）（１＋丢）…・・

（１＋五南）＞酾・

，、‘￡

Ｉ．、１．

２

５

３儿——１口

分析左边一亍‘专…一籍，可

以发现相邻两分数之间可以插入两个分数，

因此：设Ａ＝旱・丢…・蓦；

ｎ

３６３门

６

２虿‘ｉ…一丽５

。４７

３ｎ＋１

Ｌ

２了。ｉ…一—面＿‘

由于

手＞号＞詈，丢＞詈＞舌，…，澍＞嵩＞学，３，２—２／一３九一１

７

３胛

’

因此

Ａ３＞ＡＢＣ

—ｃ手・导…・蓦，ｃ丢・詈…・：＝ｔ一●…・一Ｊ｛一●…’

、１

４

３规一２—２

５

嵩，ｃ詈・吾…・掣，

一３”＋１．

．・．

Ａ＞ｙ磊—干１．

故原不等式成立．

２“错位”对偶式

例３

若ａ，卢，ｙ为锐角，且ｃｏｓ２ａ＋ｃｏｓ２ｐ

＋ｃｏｓ２ｙ一１．求证：ｃｏｔ２口＋ｃｏｔ２卢＋ｃｏｔ２ｙ≥姜．

（《数学通报》问题８３９）

证明

设Ａ—ｃｏｔ２口＋ｃｏｔ２ｐ＋ｃｏｔ２ｙ

一旦也＿Ｌ继上堂．ｓｔｎ２口

ｓｌｎ２口１

ｓｉｎ２），’

Ｂ一纂＋篇＋翁；

Ｓｌｎ。口

Ｓｌｎ。口Ｓｌｎ“／

，、

ｃｏｓ２ｙ

ｃｏｓ２＾

ｃｏｓ２ｐ

。一ｓｉｎ２口ｓｉｎ２口ｓｉｎ２ｙ‘

结合已知得

Ｂ＋Ｃ一３，

Ａ＋Ｂ一篇＋端＋鬻≥３；

Ｓ１ｎ。口

Ｓｌｎ。口Ｓｌｎ。／。

同理Ａ＋Ｃ≥３．

那么

２４＋（Ｂ＋ｃ）≥６号

／１≥芸．

故原不等式成立．例４

已知ｚ，ｙ，。∈Ｒ＋试证：

挈十箸＋鲁≥ｏ．ｚ

ｔ

ｚ

互十，

，十２‘

（Ｗ．Ｊａｎｏｕｘ猜想）

证明设

Ａ一掣＋掣＋掣，ｚ

１－ｚ

』１＿ｙｙ

１＿ｚ

Ｂ一掣＋挈＋掣，ｚ

Ｔ

ｚ

』，Ｔ∥３７—．广ｚ

则

Ａ＋Ｂ一０．

而以一Ｂ：（掣一掣）＋

（掣一掣）＋（＝＿—＿上一二—＿上）＋

ｚ１＿一

ｚ丁．ｚ

ｃ等等一譬，

一！型±兰！！羔二：三！！上

翥

万方数据

２００２年第５期中学数学

（２十ｙ）（ｚ—ｙ）‘．

（ｚ＋ｙ）（ｚ＋ｚ）

铡端≥。，

（ｙ＋２）（ｚ＋ｙ）７”’

所以Ａ≥ｏ．故原不等式成立．

３“互倒”对偶式

例５设ｄ，，以：，…，日。为互不相等的正整

数，求证：

口－＋参＋豢＋…＋象≥ｌ＋丢＋…＋丢．

证明设Ａ一以・＋参＋睾＋…＋象，

Ｂ一土＋土＋…＋！。

则Ａ＋Ｂ一（以，十去）＋（参＋麦）＋…

“１Ｚ’以ｏ

＋（象＋麦）≥２（１＋吉＋…＋去）．

，ｚ。以。么咒

因为口，，以。，…，ｄ。为互不相等的正整数，

所以Ｂ≤１＋吉＋…＋音，因此

Ａ≥１＋专＋…＋音・

故原不等式成立．

例６设以，６，ｃ为正实数，且口６ｃ一１，求证：杀ｂ＋丽‰＋而‰≥号．

址：≯可而十萨石而十≯忑而多虿‘

（第３６届ＩＭＯ试题）证明设

？一永疗习＋瓦ｊ习＋

ｃ３（以＋６）’

Ｂ＝警≯＋半则Ａ＋Ｂｃ（以＋

４

又因为ｄ加一１，所以Ｂ一丢（丢＋丢ｃ÷＋丢，＋｛ｃ丢＋丢，．因此Ａ≥丢＋丢＋÷一Ｂ

“口ｆ

一丢ｃ丢＋丢＋丢，≥詈！］

刁

故原不等式成立．

４“和差”对偶式

例７设以，６，ｆ∈Ｒ＋，求证：

盘２６２ｃ２＼以＋６十ｆ

而十鬲十孺多——广。

证明设ｓ一口＋６＋ｆ，

Ａ一』＋—氅＋上，

Ｂ一—笠一十二＋—￡一，

则Ｂ—Ａ一４ｓ．

蚜禹＋禹一生宴兰

、百ｒ十了５以１４ｓ２２

多—了＝ｉ一一百‘鬲一ｉ５’

所以Ｂ＋Ａ≥奖Ｂ一２ｓ．

从而得（４ｓ＋Ａ）＋Ａ≥警（４ｓ＋Ａ）一２５

＝＞Ａ≥专．

故原不等式成立．

例８已知ｚ１，ｚ２，…，ｚ。∈Ｒ＋，且ｚ１＋ｚ２＋…＋ｚ，，一１．求证：

禹＋禹＋．．．＋禹≥击．

（《数学通报》问题８４５）

证明设

忙禹＋禹＋．．・＋禹，

Ｂ一击＋去…击，

则Ｂ—Ａ一门＋１．

由于南十禹

＋争＋（去＋国

，２一规’

）］

１、

——Ｊ十

ｆ

３

２’

，２２—１．２２１

————ｒ一十——

≥÷｝

！一旦

１一ｚｌ门’

所以Ｂ＋Ａ≥盟鲁Ｉ

因而得（竹＋１＋Ａ）＋Ａ

≥

・Ｂ一２．

故原不等式成立．

。（收稿日期：２００２０２０４）

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万方数据