几种不同增长的函数模型

2013年-2014学年河南永城市高级中学高一年级数学学案

几种不同增长的函数模型

永城市高中：陆 洋

1、记住常见增长函数的定义、图像、性质，体会直线上升、对数增长、指数爆炸的含义

2

195页到101页，要读三遍。

2

1

（1）线性函数模型

线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变。

（2）指数函数模型

指数函数模型y=x

a （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越

快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型

对数函数模型y=x a log （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。

(4)幂函数模型

幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间。 2、指数函数、对数函数和冥函数的增长差异

一般地，在区间（0,+∞）上，尽管函数y=x a （a>1）, y=x a log （a>1）和y=n x (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x 的增大，y=x a

（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=n x (n>0)的增长速度，而 y=x

a log

（a>1）的增长速度则会越来越慢。

因此，总会存在一个0x ，使得当x>0x 时，就有x a log 1,n>0) 3.解决应用题的一般步骤

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义

1）函数2x y =与x y 2=在()+∞,4上哪一

个增长得更快些？

（2）观察在同一坐标系中，函数2x y =，x y 2=，x y 2log =的图像，当

0x x >时，

x x x 22log 2>>，则0x 的最小值是多少？

类型一、一次函数模型的应用

例1.一报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同。问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱。

则y=20⨯0.1x+250⨯0.1⨯10-(x-250)⨯0.12⨯10=0.8x+550(250≤x ≤400)

因为：y 在x []400,250∈上是一次函数，且是增函数

所以：当x=400时，y 取得最大值870

即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元

小结：（1）认真审题，准确理解题意；

（2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式；

（3）根据实际情况确定定义域。

类型二、指数函数模型

例2.有一种储蓄按复利计算利息，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）？（复利是指在每经过一个计息期后，都要将所剩利息加入本金，以计算下期的利息。这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。 复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。）

分析：（1）根据利息公式求出定期储蓄1年期，2年期，3年期，5年期的利息，观察这

些数字发现本金一定的情况下：存期越长，利息越高，归纳得出写出本利和y 随x 变化的函数关系式；

（2）根据（1）的函数表达式，最后代入数据即可计算4期后的本利和．

解：（1）根据题意得：1年期到期利息为：y=a （1+r ）；

2年期到期利息为：y=a （1+r ）2

；

3年期到期利息为：y=a （1+r ）3；

∴y=a （1+r ）x （x ∈N*），

（2）a=1000，r=2.25%，x=4，y=1000×（1+2.25%）4=1000×1.02254≈1093.08（元） 答：4期后本利和为1093.08元．

小结：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是熟练掌握利息=本金×年利率×储存

年数． 类型三、对数函数模型

例3.2003年10月15日，我国的“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料x 重量之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为y=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2(其中k ≠0)，当燃料重量为（e —1）m 吨（e 为自然对数的底数，e ≈2.72）时，该火箭的最大速度为4km/s

（1）求火箭的最大速度y(km/s) 与燃料重量x 吨之间的函数关系式y=f(x)

（2）已知该火箭的起飞重量是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速

度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？

分析：（1）根据火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为y=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2，

当燃料重量为（e —1）m 吨时，该火箭的最大速度为4（km/s ）．可求函数关系式；

（2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x ，又y=8，代入（1）中函数关系式，即可求得． 解：（1）由题意，4=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2，则k=8，

所以y=8[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2即8

ln ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=m x m y （2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x ，又y=8，代入上式得，

8=8[ln479.8-ln(2(479.8-x))]+4ln2，解得 x=303.3

答：应装载303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s ）．

小结：本题以“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船为素材，考查函数模型的构建，关键是实际问题向数学问题的转化． 四、课后练习巩固与提高

1、下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )

A.y=5x +10

B.y=1003x

C.y=ln(x+1)

D.y=0.5x

e —2

2、1y =x 2，2y =2x ，3y =2log x ，当2

A.1y >2y >3y

B.2y >1y >3y

C.1y >3y >2y

D.2y >3y >1y

3、如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的

位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y =f （x ）的图象大致为

4、某种动物繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y= a 2log （x+1），设这种动物第一

年有100只，到第7年它们发展到（ ）

A.300只

B.400只

C.500只

D.600只

5、某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低

3

1，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格可降为（ ）

A.2400元

B.900元

C.300元

D.3600元

6、有4种飞行器进行飞行表演，假设其飞过的路程和时间的函数关系分别是1f （x ）=2x , 2f （x ）=4x,3f (x)=2log x,4f (x)=x 2,如果它们一直飞下去，最终跑在最前面的飞行器飞过的路程和时间具有的函数关系是（ ）

A.1f （x ）=2x

B.2f （x ）=4x

C.3f (x)=2log x

D.4f (x)=x 2

7、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）

A ．y=20-2x (x ≤10)

B 。y=20-2x (x<10)

C 。y=20-2x (5≤x ≤10)

D ．y=20-2x (5

8、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（ ）

A ．100)9576.0(x

y = B x y 100)9576.0(=C x y )1009576.0(=D ．100)0424,0(1x

y -= 9、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2

个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）.

A ．12x y += B. y =21x - C. y =2x D. y =2x