几种不同增长的函数模型

2013年-2014学年河南永城市高级中学高一年级数学学案
几种不同增长的函数模型
永城市高中：陆 洋
1、记住常见增长函数的定义、图像、性质，体会直线上升、对数增长、指数爆炸的含义
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195页到101页，要读三遍。

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1
（1）线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变。

（2）指数函数模型
指数函数模型y=x
a （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越
快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型
对数函数模型y=x a log （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。

(4)幂函数模型
幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间。

2、指数函数、对数函数和冥函数的增长差异
一般地，在区间（0,+∞）上，尽管函数y=x a （a>1）, y=x a log （a>1）和y=n x (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。

随着x 的增大，y=x a
（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=n x (n>0)的增长速度，而 y=x
a log
（a>1）的增长速度则会越来越慢。

因此，总会存在一个0x ，使得当x>0x 时，就有x a log <n x <x a (a>1,n>0) 3.解决应用题的一般步骤
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义
1）函数2x y =与x y 2=在()+∞,4上哪一
个增长得更快些？
（2）观察在同一坐标系中，函数2x y =，x y 2=，x y 2log =的图像，当
0x x >时，
x x x 22log 2>>，则0x 的最小值是多少？
类型一、一次函数模型的应用
例1.一报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完还可以以每份0.08元的价格退回报社。

在一个月（30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同。

问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱。

则y=20⨯0.1x+250⨯0.1⨯10-(x-250)⨯0.12⨯10=0.8x+550(250≤x ≤400)
因为：y 在x []400,250∈上是一次函数，且是增函数
所以：当x=400时，y 取得最大值870
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元
小结：（1）认真审题，准确理解题意；
（2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式；
（3）根据实际情况确定定义域。

类型二、指数函数模型
例2.有一种储蓄按复利计算利息，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）？（复利是指在每经过一个计息期后，都要将所剩利息加入本金，以计算下期的利息。

这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。

复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。

复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。

）
分析：（1）根据利息公式求出定期储蓄1年期，2年期，3年期，5年期的利息，观察这
些数字发现本金一定的情况下：存期越长，利息越高，归纳得出写出本利和y 随x 变化的函数关系式；
（2）根据（1）的函数表达式，最后代入数据即可计算4期后的本利和．
解：（1）根据题意得：1年期到期利息为：y=a （1+r ）；
2年期到期利息为：y=a （1+r ）2
；
3年期到期利息为：y=a （1+r ）3；
∴y=a （1+r ）x （x ∈N*），
（2）a=1000，r=2.25%，x=4，y=1000×（1+2.25%）4=1000×1.02254≈1093.08（元） 答：4期后本利和为1093.08元．
小结：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是熟练掌握利息=本金×年利率×储存
年数． 类型三、对数函数模型
例3.2003年10月15日，我国的“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料x 重量之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为y=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2(其中k ≠0)，当燃料重量为（e —1）m 吨（e 为自然对数的底数，e ≈2.72）时，该火箭的最大速度为4km/s
（1）求火箭的最大速度y(km/s) 与燃料重量x 吨之间的函数关系式y=f(x)
（2）已知该火箭的起飞重量是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速
度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
分析：（1）根据火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为y=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2，
当燃料重量为（e —1）m 吨时，该火箭的最大速度为4（km/s ）．可求函数关系式；
（2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x ，又y=8，代入（1）中函数关系式，即可求得． 解：（1）由题意，4=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2，则k=8，
所以y=8[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2即8
ln ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=m x m y （2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x ，又y=8，代入上式得，
8=8[ln479.8-ln(2(479.8-x))]+4ln2，解得 x=303.3
答：应装载303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s ）．
小结：本题以“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船为素材，考查函数模型的构建，关键是实际问题向数学问题的转化． 四、课后练习巩固与提高
1、下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )
A.y=5x +10
B.y=1003x
C.y=ln(x+1)
D.y=0.5x
e —2
2、1y =x 2，2y =2x ，3y =2log x ，当2<x<4时，有（ ）
A.1y >2y >3y
B.2y >1y >3y
C.1y >3y >2y
D.2y >3y >1y
3、如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的
位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y =f （x ）的图象大致为
4、某种动物繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y= a 2log （x+1），设这种动物第一
年有100只，到第7年它们发展到（ ）
A.300只
B.400只
C.500只
D.600只
5、某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低
3
1，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格可降为（ ）
A.2400元
B.900元
C.300元
D.3600元
6、有4种飞行器进行飞行表演，假设其飞过的路程和时间的函数关系分别是1f （x ）=2x , 2f （x ）=4x,3f (x)=2log x,4f (x)=x 2,如果它们一直飞下去，最终跑在最前面的飞行器飞过的路程和时间具有的函数关系是（ ）
A.1f （x ）=2x
B.2f （x ）=4x
C.3f (x)=2log x
D.4f (x)=x 2
7、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）
A ．y=20-2x (x ≤10)
B 。

y=20-2x (x<10)
C 。

y=20-2x (5≤x ≤10)
D ．y=20-2x (5<x<10)
8、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（ ）
A ．100)9576.0(x
y = B x y 100)9576.0(=C x y )1009576.0(=D ．100)0424,0(1x
y -= 9、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2
个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）.
A ．12x y += B. y =21x - C. y =2x D. y =2x
10、某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b
千米（b <a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（ ）
11、某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成 .
12、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. （用式子表示）
13、国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元
的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为__________元．
14、一个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为kt
e y （其中e 为常数，t 表示时间,单位：小时;k 表示病毒个数），则K=___ ,经过5个小时，1个病毒能繁殖为___个。

15、某人买一辆价值a 万元的汽车，由于使用磨损，设汽车每年比上一年价值降低00x
则n 年后这辆车的价值为___万元
16、某自行车在某一天总共存放4000辆次，存车费为电动自行车每辆0.5元，普通自行车 每辆0.2元.若该天普通自行车存x 辆次，存车费总收入y 元，则y 与x 的函数关系式为 ___
17．依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总
收入不超过2000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x ，x ＝全月总收入－2 000元，税率如表所示： 级数
全月应纳税所得额x 税率 1
不超过500元部分 5% 2
超过500元至2000元部分 10% 3
超过2000元至5000元部分 15% …
… … 9 超过100000元部分 45% (1)(2)某人2008年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少
元？。