波动方程求解方法

常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。

1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。

有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。

有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。

有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。

同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。

有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。

有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。

在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。

通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。

这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。

网格线划分的交点称为节点。

若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。

在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。

目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。

2、有限元法主要基于变分原理和剖分插值理论，用分段近似来解决复杂的几何和物理问题。

该方法的基函数为分段的线性函数，所以不具有正交性，有较高的精度，空间分辨率也很高，可是算法非常复杂，计算效率低下，频率域的分辨率也极低。

有限元法求解弹性波动方程的基本原理，在二维弹性介质情形下，将模型剖分为有限个三角形单元或剖分为有限个三角形单元和矩形单元，计算出每个单元对
应的单元刚度矩阵）（e {K}和质量矩阵）（e {M}，再用刚度集成法形成总体刚度矩阵
{K}，用质量集中方法形成总体质量矩阵{M}，这时就形成了有限元方程组
{R}{K}{U}}U {M}{=+⋅⋅
式中: {U}为所有结点上位移的水平分量u 和垂直分量w 构成的列向量;
}U {⋅
⋅为所有结点上的位移u 和w 关于时间的二阶偏导数构成的列向量;{R}为所有结点上外力的水平分量和垂直分量构成的列向量。

对于每次时间步进，根据方程组计算}U {⋅
⋅，再用关于时间的二阶中心差分求{U}。

3、伪谱法(虚谱法)将波动方程的求导运算表示成频率域中的乘积运算，利用傅立叶变换，将波动方程从时域转换到频率域中求解，占用内存小且精度高，然而其傅立叶变换是基于整个时间域和空间域的，而实际中的求导运算本身其实应该是局部计算，所以，该方法不适用于空间物理性质变化强烈的情况，这也就是伪谱法本身固有的Gibbs 效应。

虽然伪谱法在频率域分辨率高，但是在时间域分辨率低，而其固有的Gibbs 效应也大大限制了它在复杂介质中的应用。

吉布斯现象Gibbs phenomenon （又叫吉布斯效应）： 将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行Fourier series (傅立叶级数)展开后，选取有限项进行合成。

当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近原信号的不连续点。

当选取的项数很大时，该峰值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。

这种现象称为吉布斯现象。

4、积分方程法以惠更斯原理的波叠加理论为基础的，是以波动方程格林函数域积分方程式以及边界积分方程式作为其表达形式。

积分方程法涉及到比较复杂的数学推导，计算过程相对复杂。

射线追踪法是建立在波动方程的高频近似基础上的一种地震数值模拟方法. 这种方法实际只计算了最奇异部分的解, 即旅行时和振幅函数的特征曲线, 它们分别是程函方程和传输方程的解, 这种方法计算效率高。

但是, 一些复杂的本构方程由于积分方程法和射线追踪法不满足假设条件而限制了这些方法的应用。

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有限差分法、有限元法、伪谱法、积分方程法、反射率法等。

这些方法各有其优缺点，例如，有限元方法网格划分灵活，可方便地处理不规则区域和弯曲边界，但其需要求解大规模线性代数方程，这将导致大的存储量和CPU 计算时间;伪谱法利用傅立叶变换计算波场的空间导数，照顾了空间导数的整体性质，模拟精度高，数值频散较小，但不适合复杂介质模型的地震波模拟，边界处理也很困难；反射率法只能应用于各向同性的水平层状介质中。