向量的概念及其表示
向量的概念及其表示
2．1．向量
一、课题：向量
二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；
3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；
2．向量的几何表示。
四、教学过程：
（一）问题引入：
老鼠由向西北方向逃窜，如果猫由向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
（二）新课讲解：
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：
例1如图1，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量。
解：；；
．
例2如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
解：分别取，的中点分别记为，，
由梯形的中位线定理知：
∴∴．
例3在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
解：
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；
2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等
向量的意义。
七、作业：．
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则 一、向量的基本概念 向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。向量的大小可以用模表示，记作|a|。向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。 二、向量的表示方法 1. 平行四边形法则 平行四边形法则是常见的向量表示法之一。在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。 2. 分量表示法 另一种常见的向量表示方法是分量表示法。在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。 三、向量的运算法则
1. 加法 向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。具体做法是将 两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的 向量。 2. 减法 向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。具 体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画 出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。 3. 数量乘法 向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。 4. 内积（点积） 向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。具体 做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。 5. 外积（叉积） 向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右 手定则确定新向量的方向。 四、总结
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示 1、向量：既有大小，又有方向的量. 零向量：长度为0的向量. 单位向量：长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 2、 (1)向量既有大小又有方向的量。 (2)向量的模一一有向线段的长度，|a| (3)单位向量|a o| 1, a o — |a| (4)零向量0 , |0| 0 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变 3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 (5)相等的向量 长度相等 方向相同
b // a (b 0) 存在唯一实数，使b a OA OB OC OA OB BA
3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （ ） 12 A.占,5) 13 C ( 12 5、十 / 12 5 C.(一，) 或(， B. D ?( 12 5 13' 13 12 5 13' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理） e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一 实数对1 、 2 ，使得a 1 e i 2 e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底。 6向量的坐标表示 i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得 a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。 设 a x 1， y 1 ， b X 2， y 2 贝 y a b x 1 ，y 1 y 1, y 2 x 1 y 1， X 2 y 2 a X" y 1 X 1, y 1 若A x 1 ，y 1 ，B x 2 ， y 2 则 AB X 2 X 1，y Y 1 练习题： 1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a 12 A. 2a b B. C. a b D . 2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且 nn OA p ， mu OB q ，O C r ，则以下等式中成立的是（ A. r 3 3 1 2q B . r p 2q c. r 尹 2q D . 2p 2b ）］化简成最简式为 （ 2b a b a f 图I uur AC UUU 3CB ，设
向量的概念
1.1向量的概念 一、向量的定义、几何表示、记法 1．既有大小又有方向的量。简称为式。例如力、速度等。 注：在中学也学过向量，不过是平面上的向量，我们这里所讲的向量一般是空间中的向量。 2．用有向线段表示向量。也就是说，在几何中，我们把向量看成有向线段。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。有向线段的始点与终点分别叫向量的始点与终点。 3．始点为A ，终点为B 的向量记作AB 。 有时用a ,b ,x 或黑体字母a ，b ，x 表示向量。 4. 向量的模：向量的大小称为向量的模。 向量AB 与a 的模分别记为|AB |与|a |。 二、几种特殊向量 1．单位向量：模为1的向量称为单位向量。与a 有同一方向的单位向量称 为a 的单位向量，记为0a 。 2．零向量：模等于零的向量，记为0或0 ，即起点与终点重合，方向不确 定（方向任意），否则为非零向量。 3．向量的平行与相等： 向量a 与b 相互平行：表示它们的有向线段所在的直线平行，记为a ∥b ， 类似有一个向量与一条直线或一个平面平行的概念等等。 注：（i ）平行的两向量不一定同向。 （ii ）位于同一直线上的两个向量不叫平行（因重合的直线不叫平行）。 a 与 b 相等：若a 与b 的模相等且方向相同，记为a =b ，规定：所有零向量都相等。 注：(i)模相等的两向量不一定相等，因为她们的方向可能不同。 (ii)设AB 与B A ''为不在同一直线上的非零向量，则AB =B A ''当且仅当四边形ABB /A /为平行四边形。 证 根据两向量相等的定义，对于不在同一直线上的两个相等的非零向量a
向量的基本概念公式
向量的基本概念公式: 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 ；字 母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. ()(a b c a b ++=++AC BC AB =+ AB BA =-,OA OB =-||||a a λλ=>0时, a a λ与同向; a a 与异向; 0a =. ()()a a λμλμ= )a a a μλμ=+ )a b λλ=+ //b a b λ?= 3已知两个非零向量与b ，作OA =a , =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角。 4．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．
5．向量的数量积的性质： 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量); a ⊥ b ?a ·b =0?12120x x y y +=（a ，b 为非零向量）;︱a ︱ ; cos θ= a b a b ?? ． 6 ．向量的数量积的运算律： ·b =b ·;(λ)·b =λ(·b )=·(λb );(＋b )·c =·c +b ·c ． 7.重要定理、公式 (1) 平面向量基本定理 e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2) 两个向量平行的充要条件 a ∥ b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝O. (3) 两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ·b ＝O ?x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4) 线段的定比分点公式 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 ??? ????++=++=.1,12 12 1λ λλ λy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1 时，得中点公式： OP ＝21（1＋2OP ）或??? ????+=+=.2,2 2121y y y x x x
平面向量的概念及表示
向量的概念及表示 1.向量的概念： (我们把既有大小又有方向的量叫向量> 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：错误!. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义； (2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b； (2>零向量与零向量相等； (3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明： (1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； (2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量错误!与错误!是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是错误!＝错误!；p1EanqFDPw ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量错误!、错误!在同一直线上.DXDiTa9E3d ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算 一、向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 2、向量的表示： （1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。 （2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。 （3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。 A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为 3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。记作： 4、零向量：长度为0的向量。记作： 5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。 关注重点：（1）方向（2）长度 二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 记作：，或 规定：零向量与任一向量平行。 2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。 记作：，或 零向量与零向量相等。 3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作 的相反向量是。 注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。 1、判断下列命题的正误： （1）零向量与非零向量平行； （2）长度相等方向相反的向量共线； （3）若与是两个单位向量，则与相等； （4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量； （5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量； （7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线； （8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”； （9）共线的向量一定相等； （10）相等的向量一定共线。 解：（1）正确 （2）正确 （3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。 （4）正确因为零向量与任意向量共线 （5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。 （6）错误方向不定。 （7）错误线段AB可与线段CD平行。 （8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 小结： [1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。 [2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。如下图： [3]对零向量的规定。 三、向量的线性运算 1、向量的加法：求两个向量和的运算。 设：，，则 加法法则： （1）三角形法则：即首尾相接的两个向量的和是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线 段所表示的向量。有： 推广：n个首尾相接的向量的和是由第一个向量的起点指向第n个向量的终点的有向线段所表示的 向量。（多边形法则） （2）平行四边形法则：如图 加法交换律：； 加法结合律： 2、向量的减法：求两个向量差的运算。（可看作加法的逆运算）
向量的概念
向量的概念 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。 向量的几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→） 有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。 有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量， 向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a， 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的） 零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a=x i+y j 我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a=（x，y）， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。 向量的运算
向量的概念及其表示
向量的概念及其表示 2．1．向量 一、课题：向量 二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长； 3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。 三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念； 2．向量的几何表示。 四、教学过程： （一）问题引入： 老鼠由向西北方向逃窜，如果猫由向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？ （二）新课讲解： 1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示； （2）用字母表示： 说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度； （2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作； （3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。 说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作； （2）零向量与零向量相等，记作； （3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。 4．例题分析： 例1如图1，设是正六边形的中心，分别 写出图中与向量，，相等的向量。 解：；； ． 例2如图2，梯形中，，分别是腰、 的三等分点，且，，求． 解：分别取，的中点分别记为，， 由梯形的中位线定理知： ∴∴． 例3在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
向量的基本概念
向量的基本概念 向量是应用广泛的数学概念，它在物理学、工程学、计算机科学等 领域中都有重要的应用。本文将介绍向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示方式、向量的运算以及向量的性质等。 1. 向量的定义 向量是具有大小和方向的量，用来表示空间中的位移、速度、力等 物理量。一个向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度表示向量 的大小，箭头的方向表示向量的方向。向量常用字母小写加箭头表示，如a→。 2. 向量的表示方式 向量可以通过坐标表示或分量表示来表示。 2.1 坐标表示 在直角坐标系中，一个向量可以用它在坐标轴上的投影来表示。例如，在二维空间中，向量a→可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁是向量在x 轴上的投影，a₂是向量在y轴上的投影。在三维空间中，向量a→可 以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量在x、y、z轴上 的投影。 2.2 分量表示 向量的分量表示指的是将一个向量根据坐标轴的方向拆分成多个独 立的分量。以二维空间为例，向量a→可以表示为a→ = a₁i→ + a₂j→，
其中i→和j→分别是x轴和y轴上的单位向量。a₁和a₂分别是向量 a→在x轴和y轴上的分量。 3. 向量的运算 向量具有多种运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘法等。 3.1 加法 向量的加法满足交换律和结合律。设有向量a→和向量b→，它们 的和记为c→ = a→ + b→，那么c→的大小等于a→和b→的大小之和，c→的方向与a→和b→相同。 3.2 减法 向量的减法可以看作是加法的逆运算。设有向量a→和向量b→， 它们的差记为c→ = a→ - b→，即c→ = a→ + (-b→)。其中，-b→表示 b→的反向量。减法也满足交换律和结合律。 3.3 数量乘法 向量的数量乘法指的是一个向量乘以一个实数。设有向量a→和实 数k，那么ka→表示向量a→的长度缩放k倍，并且方向与a→相同 （当k>0）或相反（当k<0）。数量乘法也满足结合律和分配律。 3.4 点乘法 向量的点乘法（内积）是一种特殊的运算。设有向量a→和向量 b→，它们的点积记为a→·b→。点积的结果是一个实数，定义为
向量知识点总结
向量知识点总结 向量是在数学中非常重要的概念，它在各个学科和领域中都有广泛的应用。本文将总结向量的基本概念、性质以及相关的运算法则。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示，常表示为字母加上一个箭头，例如a →。向量可以位于空间中的任何位置，也可以表示为起点和终点之间的有向线段。 2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，在二维平面上用(x, y) 表示，在三维空间中用(x, y, z)表示。也可以用点表示，表示 为起点和终点的坐标差。 二、向量的性质 1. 向量的长度：向量的长度又称为模，在二维平面上可以用勾股定理计算，即向量a的长度是√(x^2 + y^2)。在三维空间中，向量a的长度是√(x^2 + y^2 + z^2)。 2. 零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0 → 或者O →。零向量的方向是任意的，但是没有特定的起点和终点。 3. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过除以向量的长度得到。常用的单位向量有i →、j →和k →，它们分 别沿着x轴、y轴和z轴的正方向。 4. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们称为平行向量。平行向量可以用数乘表示，即一个向量乘以一个实数，结果是一个平行于原向量且长度变化的新向量。 5. 直角向量：如果两个向量的内积为0，那么它们称为直角向量。直角向量垂直于彼此，可以用点乘表示。
三、向量的运算法则 1. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即a → + b → = b → + a →，(a → + b →) + c → = a → + (b → + c →)。 2. 向量减法：向量减法可以通过向量加法和反向量来实现，即 a → - b → = a → + (-b →)。 3. 数乘：向量与实数相乘，即将每个分量都乘以实数，得到一个新的向量。 4. 内积：内积也叫点积，表示为a → · b →。内积满足交换律 和分配律，即a → · b → = b → · a →，(a → + b →) · c → = a → · c → + b → · c →。 5. 外积：外积也叫叉积，表示为a → × b →。外积满足反交换 律和结合律，即a → × b → = -b → × a →。 四、应用领域 1. 物理学：向量在物理学中广泛应用，用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 2. 几何学：向量在几何学中用于描述平行、垂直、共线等关系，还用于计算向量的模和夹角。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形学中用于描述物体的位置和旋转，也用于计算光照和颜色。 4. 金融学：向量在金融学中用于风险分析、投资组合管理等方面的模型构建和分析。 综上所述，向量是一种有大小和方向的量，它具有长度、零向量、单位向量、平行向量和直角向量等性质。向量的运算法则包括加法、减法、数乘、内积和外积。向量在物理学、几何学、
高一数学 向量的概念及表示
向量的概念及表示 基础知识 一 向量的概念及表示： 1、向量的定义： 自由向量： 2、向量的表示： 3、向量的模： 二 向量间的关系： 1、相等向量： 2、 (1)零向量： (2)单位向量： 3、基线： 4、共线向量（或平行向量）： 读作 记作 规定： 注意：：（1 ）共线向量未必在一条直线上，平行向量也未必不共线只平行。 （2）向量既有大小又有方向，不能用实数 来表示，并且不能比较大小。 5 向量可用来表示点：点A 相对于点O 的位置被向量a 所惟一确定，向量OA 叫做点A 相对于点O 的位置向量。 典型例题 例1：已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中： FE （1）试找出与共线的向量； FE （2）确定与相等的向量； OA BC （3）与相等吗？若不相等， 则之间有什么关系？ 例2：给出下列命题：（1）若,,==a b b c 则=a c （2）若//a b ，//c b ，则a//c （3）若=a b ，则//a b （4）若//a b ，则=a b ，（5）若|≠|a |b |，则a >b 或a
例4：（1）在四边形ABCD中，如果AB CD =，判断四边形ABCD的形状（2）如果ABCD是平行四边形，判断, AB CD是否相等。 =，则ABCD为平行四边形对吗？ （3）如果AB CD 练习 1、下列说法中正确的是( ) (A)平行向量就是向量所在直线都平行的向量 (B)长度相等的向量叫做相等向量 (C)零向量的长度为0 (D)共线向量就是在同一直线上的向量 2、下列说法中错误的是( ) (A)零向量是没有方向的 (B)零向量的长度为0 (C)零向量与任一向量平行 (D)零向量的方向是任意的 AO BO CO是（） 3、设O为△ABC的外心，则,, A、相等向量 B、平行向量 C、模相等的向量 D、起点相同的向量4：下列命题正确的是（） A a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 5、（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
向量的概念与性质
向量的概念与性质 向量，作为研究物理、数学等学科中的基本概念之一，具有广泛的应用价值。在本文中，我们将讨论向量的概念以及其所具有的一些重要性质。 一、向量的概念 向量可以被理解为带有方向和大小的量，常用以描述位移、速度、力等物理量。向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。例如，位移向量可以表示一个物体从初始位置到最终位置的位移情况，速度向量可以表示运动物体在某一时刻的速度大小和方向。 二、向量的性质 1. 向量的加法和乘法运算 向量的加法定义为两个向量相加得到的结果，其几何意义为将一个向量平移至另一个向量的尾部，连接两个向量的首尾即可得到结果向量。向量的乘法通常有数量积和向量积两种形式，数量积的结果为一个标量，表示两个向量之间的夹角关系；向量积的结果为一个向量，垂直于原向量所在的平面。 2. 向量的共线性 若两个向量的方向相同或相反，称它们共线；若两个向量的大小和方向都相同，称它们相等；若一个向量的大小为零，称它为零向量。
共线向量有以下性质：共线向量的数量积为零，零向量与任何向量的 数量积为零。 3. 向量的投影 向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，用于衡量一个向量在某个方向上的分量。投影的大小等于向量的模长与两向量之 间夹角的余弦值的乘积。 4. 向量的线性运算 向量具有线性运算的性质，即向量与标量的乘法和向量的加法满足以下规则：若a是一个实数，u、v、w是任意向量，则有：(a*u) + (a*v) = a*(u+v)；a*(u+v) = (a*u) + (a*v) = a*u + a*v。 5. 向量的单位化 向量的单位化是将一个向量的大小调整为1，其方向不变。通过将 向量除以其模长即可得到单位向量，单位向量用帽子 (^) 表示。单位向量在物理中有着重要的应用，例如在力学中，单位向量常用于表示力 的方向。 总结 向量作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用。通过向量的加法和乘法运算，我们可以对向量进行各种运算操作。向量的共线性和投 影等性质可以帮助我们理解向量在空间中的几何特性。同时，向量的 线性运算和单位化使得向量的处理更加灵活和方便。通过对向量概念 和性质的理解，我们可以更好地应用向量解决实际问题。
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全 向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。 本文将介绍数学向量的基本概念、运算规则以及常见应用，帮助读者全面了解数学向量。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线 段表示。向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。 2. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→，它没有方向，但是可以指向任意点。 3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。若AB→=(x1, y1)，则|AB→|=√(x1²+y1²)。 4. 单位向量：单位向量是模长为 1的向量，常用e表示，如e→=(1, 0)和e→=(0, 1)。 二、向量的运算规则 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 AB→+BC→=AC→和AB→+BC→=AC→+CD→。 2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法 是将向量的每个分量乘以一个实数，得到新的向量。若k为实数，向量AB→的数 量乘法为kAB→，即kAB→=(kx1, ky1)。 3. 向量的点乘法：向量的点乘法是将两个 向量的对应分量相乘后相加。向量AB→和CD→的点乘法为AB→·CD→=x1x2+y1y2。 4. 向量的叉乘法：向量的叉乘法是将两个向量的长度和夹角通过向量积公式得到新的向量。向量AB→和CD→的叉乘法为AB→×CD→=(y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2- x2y1)。 三、向量的常见应用 1. 几何应用：向量在几何中常用于表示线段、直线、面、 多边形等几何图形的性质和关系。 2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形 学中常用于表示点、方向、颜色等图像元素，用于实现图像的渲染和处理。 4. 数 据分析：向量在数据分析中常用于表示数据集合，通过向量的运算和变换，可以进行数据的统计和分析。 通过以上的介绍，相信读者对数学向量有了更清晰的认识。数学向量作为数学 的基础概念之一，在数学及其应用领域都有着重要作用。希望本文对读者理解和掌握数学向量有所帮助。
向量的概念及表示
向量的概念及表示 一、知识、能力聚焦 1、向量的概念 （1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。 【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量的大小称为向量的长度（或称为模） （2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作。 （3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。 （5和相等，则记作= 。 2、共线向量 共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。 例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O时，终点一定落在以O为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P都对应一个单位向量，故构成的图形为一单位圆。（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 例：向量、平行，记作// 。 向量、、平行，记作// // 。 （6）零向量与任一向量平行 （7）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量。 记为- ，与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。例：在平行四边形ABCD中，向量和向量方向相同 O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB
且长度相等； = 。向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。 3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。 例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形； ①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量； 解：①与 相等的向量是 、 、 。 ②与 共线的向量是： 、 、 。 二、能力、题型设计 1、下面5个命题：①向量的模是一个正实数；②若 // ， // ， 则 // ；③两个相等向量的方向一定是相同的；④两个相反向量的方向一定是相反的；⑤两个平行向量的方向一定是相同或相反的，其中正确的是（ D ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 2、下列命题：①两个有共同起点且相等的向量，共终点可能不同；②若非零向量 与 A 、B 、C 、D 四点共线；③若a//b 且b//c ；④四边形ABCD 是平行四边 形的条件是 ，真命题的个数为（C ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 3、如图所示，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AB 边长为4，AD 边 长为2，图中的7个向量： 、 、 、 、 、 ，设 = 、 = ，则：（1）与 相等的向量有 ；（2）与 相等的向量有 ；（4）与 共线的向量有 、 、 ；（5）与 长度相等的向量有 、 、 、 、 、 。 4、某人从A 出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 （1、 （1cm 表示200m ）；（2）求 的模。 解：（1） （2）由题意知，ABCD 为平行四边形； ∴| |=| |=450（m ） AB DC BC DA DA AB AB AB AB AB ED DC EC AB ED DC EC a b b c a c AB AB CD DA AE EF FD FC CB BE CB a FC b a DA b AE b FD AE BE b FD AE BE DA CB EF AB BC CD DA DA BC
1、向量概念
向量概念 知识点 1、数量：只有大小没有方向的量称为数量； 向量：在数学中，既有大小又有方向的量叫作向量； 注：①数量之间可以比大小，向量之间不可以比大小； ②我们所学的是自由向量，即只有大小与方向，而无特定位置，这样的向量可作任意平移。 2、有向线段：规定了方向（起点和终点）的线段称为有向线段。 注：①以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的 ； ②有向线段包含三个要素：起点，方向，长度。 3、向量的表示： （1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向； （2）代数表示：用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：、，也可 以用小写字母表示，但书写时，印刷用黑体a 、b 、c 等，书写用a 、b 、c 。 4、向量的模：向量的大小称为向量。 5、两种特殊向量： （1）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的； （2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 注：①若用有向线段表示零向量，则其起点与终点重合，|0|=0； ②单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同。 6、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。向量a 与向量b 平行，记作a ∥b 。 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a ，都有0∥a ； 相等向量：所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何。向量a 与向量b 是相同的向量，也称a 与b 相等，记作a =b ；
共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。 相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作-a。 规定：（1）零向量的相反向量还是零向量； （2）对任意一个向量a，总有-（-a）=a。 7、向量的夹角 对于两个非零向量a和b，如图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a和b的夹角。 特殊情况： （1）θ=0°，a与b同向； （2）θ=90°，a与b垂直，记作a⊥b； （3）θ=180°，a与b反向； 小试身手 1、下列说法正确的是（） A、向量与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一直线上 B、向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C、向量与是两个平行向量 D、单位向量都相等 2、已知向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？ 3、关于零向量，下列说法错误的是（） A、零向量是没有方向的 B、零向量的长度是0 C、零向量与任一向量平行 D、零向量的方向是任意的