小波变换理论及其在信号处理中的应用
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Wavelet Transf orm Theory and Its Application in Signal Processing
Liu Chongchun Qiu Zhengding Du Xiyu
( Institute of Information Science , Nort hern Jiaotong University , Beijing 100044)
< p < + ∞) 空间的无条件基[2 ] .
(2) 傅立叶分析只能从整体上获得信号的频谱分析 ,不能对信号做局部分析.
∫ 设 f ( t) ∈L 2 ( R) ,则其傅立叶变换为 ^f (ω)
=
1 2π
+∞
f
( t) e - iωt d t , 因而
^f (ω)
包含了信
-∞
号 f ( t) 的频率信息 ,且仅仅确定了信号 f ( t) 在整个时域 R 上的频率特征 , 但在不少实际问
换言之 ,在信号分析时 ,常需要同时对信号在时域 (空域) 和频域上实行局部化 , 而傅立叶分析
却办不到 ,为了弥补傅立叶分析这一不足 ,需要寻求一种能对信号实行时频局部化的新方法来
22
北 方 交 通 大 学 学 报 第 21 卷
处理信号.
212 傅立叶变换的改进 ———加窗傅立叶变换
(1)
k=- ∞
其中
∫ Ck
=
1 2π
2π
f ( t) e- i kt d t
0
(2)
称为 f 的傅立叶系数.
若 f ( t) ∈L 2 ( R) ,则有
∫ f ( t) =
+
∞
^f
(ω)
eiωt dω
-∞
(3)
其中
∫ ^f (ω)
=
1 2π
+
∞
f
(
t)
e-
iωt d
t
-∞
(4)
称为 f 的傅立叶变换.
但是 ,傅立叶展开又有其局限性 :
(1) 除 L 2 以外的空间 , L p ( p ≠2 ,1 < p < + ∞) ,显然式 (1) 成立 ,但 Ck 的大小并不能刻划
+∞
∑ f 所在的空间 ,即 f ( t) ∈ L p ( T) 不等价于 | Ck | p < + ∞ ,原因在于 ei kt不是 L p ( p ≠2 ,1 k=- ∞
析[3 ] ,他用一个在有限区间外恒等于零的光滑函数去乘所要研究的信号 (函数) , 然后对它作
傅立叶变换 ,这种变换确实能反映信号在窗口内的频谱特性 ,因而对研究信号的局部性质起了
一定推动作用 ,后来发展成熟知的加窗傅立叶变换 (亦称短时傅立叶变换 ,简记为 STF T) .
∫ 对信号 f ( t) ∈L 2 ( R) ,则它的加窗傅立叶变换 : G (ω,τ) =
1 引言
小波变换理论[1 ]是近年来发展起来的一门新的理论 ,它的研究已为数学家 、理论物理学 家和工程学家们所密切关注. 数学家们认为 ,小波分析是一个新的数学分支 ,它是泛函分析 、傅 立叶分析 、样调分析 、调和分析 、数值分析的完美结晶 ;工程学家们则认为 ,它是继傅里叶分析 以来在科学方法和工具上的重大突破. 目前 ,小波分析已成为国际上极为活跃的研究领域 ,已 被广泛应用于信号处理 、图象处理 、语音分析 、地震勘探 、大气湍流 、分形与混沌信号分维特征 和标度分析 、系统辨识与谱估计 、模式识别 、量子物理及许多非线性科学等领域. 其影响是深远 的 ,它的更广泛的应用正在到来. 本文详述了小波理论产生的实际背景和发展状况 ,对小波变 换的定义 、时频局部性及处理突变信号的能力作了分析. 最后 ,讨论了小波变换在信号处理中 的应用 ,并展望了其应用前景 1
合成 、地震分析 、边缘检测等领域里 ,却经常需要处理这类信号. 小波变换正是以独有的平移 、
伸缩特性 ,不但在时域和频域同时具有良好的局部化性质 ,而且对高频成分采用逐渐精细的时
域 (空域) 取样步长 ,从而可以聚焦到对象的任意细节. 被人们誉为“数学显微镜”, 可达到对高
频信号时间细分 ,低频信号频率细分的要求 ,由此一门新的理论和科学方法诞生了 ———小波分
Δh 、Δ^h1 从图 1 可知 , 离散加窗傅立叶变换的局部
化格点在整个相空间里是均匀分布的 , 它的时间 、频
率局部化格式与格点的位置无关 , 这种局部化格式
固定不变 ,在应用中受到限制 , 如用加窗傅立叶变换
分析频域宽 、频率变化激烈的信号时 , 为了能正确获
得高频的信息 , 时间局部化参数 t0 要取得很小 , 于
(北方交通大学信息科学研究所 ,北京 100044)
摘 要 详述了小波理论产生的实际背景和发展状况 ,对小波变换的定义 、时频局部性及处理突 变信号的能力作了分析. 最后 ,讨论了小波变换在信号处理中的应用 ,并展望了其应用前景. 关键词 小波变换 傅立叶变换 信号处理 分类号 TN911172
题中 ,我们关心的是信号在局部范围中的特征 ,确切地说是在任一短暂的时间间隔内的频率特
性. 例如 ,处理一个音乐或语音过程时 ,我们关心的是全过程中任一时刻音调或声调的构成情
况 ;对地震信号处理时 ,关心的是什么位置出现什么样的反射波 ;又如用计算机做图象处理时 ,
需要在图象信号输入的每一瞬间 ,及时地对处于不同空间频率的图象信号作不同方式的处理.
析.
第 1 期 刘崇春等 :小波变换理论及其在信号处理中的应用
23
3 小波理论发展史
小波变换继承和发展了 Gabor 的窗口傅立叶变换的局部化思想 ,其思想来源于可变窗口 的伸缩与平移 ,其方法的提出可追溯到 1910 年 Haar 提出的 Haar 基就是最简单的小波基 ,由 于 Harr 基的不连续性 ,它未能得到广泛的应用. 1936 年 Littlewood - Paley 对傅立叶级数建立 了 Littlewood - Paley 理论 ,是多尺度分析的思想雏形[4 ] . 1952 年至 1962 年 , Calderon - Zyg2 mund , Stein , Weiss 等建立了奇异积分算子理论与 Littlewood - Paley 理论的高维推广[5 ,6 ] ,
1974 年 R. Coif man 对一维的 Hp 空间给出了原子分解[7 ] ,以后 Latter 将其推广到高维 Hp 空 间[8 ] ,1975 年 A. P. Calderon 用他早年发现的 Calderon 再生公式 ,给出了抛物型空间 H1 的原 子分解[9 ] ,它的离散形式已接近小波展开. 以后 ,许多数学家为了各种不同的目的 ,给出了各 类函数空间的“原子分解”“, 分子分解”“, 拟正交展开”“、伪正交分解”“、弱正交展开”“、几乎弱 正交展开”“、框架展开”等[10 - 16 ] . 其中值得指出的是 :J . Peet re 于 1976 年 ,在使用 Littlewood Paley 方法给出 Besov 空间的统一刻划的同时 ,引进了 Besov 空间的一组基 ,其展开系数的大小 刻划了 Besov 空间本身[17 ] ,1981 年 O. St romberg 通过对 Haar 系的修正 ,引入了 Sobolev 空间 Hs 的正交基 ,1982 年 G. Battle 在构造量子场论中使用了类似 Calderon 再生公式的展开[18 ] ,这 些为小波分析的发展奠定了坚实的数学基础. 1984 年法国地球物理学家 Morlet 在分析地震波 的局部性时 ,发现传统的傅立叶分析难以达到要求 ,因而引入了小波概念用于信号分析 ,并对 信号 进 行 分 解 , 随 后 Grossman 对 Morlet 的 这 种 信 号 按 一 确 定 函 数 的 伸 缩 、平 移 系
傅立叶分析就是根据上述二种展开 ,通过 Ck 和 ^f 来研究 f 的性质. 它在信号处理及其它
领域内成为强有力的工具 ,关键在于 :
(1) ei kt是 L 2 ( T) 的一组规范化正交基 , Ck 是 f 在这组正交基上的“坐标”, Ck 的大小在 L 2
+∞
+∞
∑ ∑ 内完全刻划了 f , f ( t) ∈ L 2 ( T) Ζ
信号分析的一个重要特征是刻划信号的频率特性 ,传统的频率分析是傅立叶分析.
不妨设输入信号 f ( t) 为能量有限信号 , 即 f ( t) ∈L 2 ( T) , 其中 T 为复平面上单位圆周 ,
记 L 2 ( T) 等价于以 2π为周期的平方可积函数. 则有
+∞
∑ f ( t) =
Ckei kt
∫ ∫ + ∞
+∞
( nt0 , mω0)
=(
t|
-∞
gm , n ( t) | 2d t ,
ω|
-∞
^g m , n (ω) | 2dω,
其中 gm , n ( t) = e - i mw0 t g ( t - nt0) ,其时频宽度为 Δh 、Δ^h1 设窗函数 g ( t ) 的中心为 ( 0 ,ω0) , 时频宽度为
Abstract Practical background and t he state of wavelet t heory is reviewed. Definition , time - f requency locations and abilit y to process singularity signal of wavelet t ransform are analy sed and researched. Finally , t he application to t he signal processing are dis2 cussed. and it s prospect s are looked into. Key words wavelet t ransform Fourier t ransform signal processing
199 第 21
7年 卷第
2 1
月 期
J
北 方 交 通 大 学 学 OU RNAL OF NOR THERN J IAO TON G
报 UN IV
ERSI T
Y
Feb. 1997 Vol. 21 No. 1
小波变换理论及其在信号处理中的应用
刘崇春 裘正定 杜锡钰
| Ck | 2 < + ∞且 ‖f ‖2 ≈
| Ck | 2 1
k=- ∞
k=- ∞
(2) Ck 与 ^f (ω) 有着重要的物理意义 ,许多在时域里不清的问题通过频域变换来解释就变
得清晰可见 ,如取样 、滤波等.
(3) 导数运算在 Ck 和 ^f 表现变为乘积运算 ,给傅立叶分析在微分方程中应用带来方便.
对信号 f ( t) 实行时频局部化 ,就是把 f ( t) 按一簇 (连续的或离散的) 窗口函数展开 , 而根
据展开的系数 (连续的或离散的) 可以知道信号 f 在某一局部时间内 , 位于某局部频段的信号
成分有多少.
为了解决信号的时频局部化问题 ,1946 年 D. Gabor 首先引入了窗函数对信号作局部化分
信号要高 ,也就是说变换的窗口大小应随频率而变 ,频率越高窗口越小.
在实际处理过程中 ,需将 Gabor 变换的参数离散化 ,这就是离散加窗傅立叶变换
∫+ ∞
Cm , n ( f ) =
f ( t) g( t -
-∞
nt0) e- i mw0 td t ,
由信号分析理论 ,离散加窗傅立叶变换在相平面上的局部化格点为 (如图 1) ,
是系数 Cm , n ( f ) 总量很大 , 表明要取得相当多的样
本点. 同时当窗口太小时 , 会降低低频信号的分辨 率 ,对低频分量不适合. 因此 , 加窗傅立叶变换在处 理奇异信号和非平稳信号时不是很有效 , 而在语声
图 1 相平面上离散傅立叶变换的 局部化格点 ( t = nt0 ,ω= mω0)
本文收到日期 1995212204 刘崇春 男 1967 年生 博士生 email bfxxssys @center. njtu. edu. cn
第 1 期 刘崇春等 :小波变换理论及其在信号处理中的应用
21
2 小波理论产生的实际背景
211 傅立叶分析在信号处理中的优势和局限性
+∞
f ( t)
g( t
- τ) e - iωt d t
,从Baidu Nhomakorabea
-∞
定义可知 , G (ω,τ) 反映信号 f ( t) 在 t =τ附近的频谱特征 , 而且 Gabor 变换的窗口位置随参
数τ而变 (平移) ,符合研究信号不同位置局部性的要求 , 确实比傅立叶变换优越. 但是 , Gabor
变换窗口的形状大小与频率无关 ,保持不变. 这不符合实际问题中高频信号的分辨率应比低频
Liu Chongchun Qiu Zhengding Du Xiyu
( Institute of Information Science , Nort hern Jiaotong University , Beijing 100044)
< p < + ∞) 空间的无条件基[2 ] .
(2) 傅立叶分析只能从整体上获得信号的频谱分析 ,不能对信号做局部分析.
∫ 设 f ( t) ∈L 2 ( R) ,则其傅立叶变换为 ^f (ω)
=
1 2π
+∞
f
( t) e - iωt d t , 因而
^f (ω)
包含了信
-∞
号 f ( t) 的频率信息 ,且仅仅确定了信号 f ( t) 在整个时域 R 上的频率特征 , 但在不少实际问
换言之 ,在信号分析时 ,常需要同时对信号在时域 (空域) 和频域上实行局部化 , 而傅立叶分析
却办不到 ,为了弥补傅立叶分析这一不足 ,需要寻求一种能对信号实行时频局部化的新方法来
22
北 方 交 通 大 学 学 报 第 21 卷
处理信号.
212 傅立叶变换的改进 ———加窗傅立叶变换
(1)
k=- ∞
其中
∫ Ck
=
1 2π
2π
f ( t) e- i kt d t
0
(2)
称为 f 的傅立叶系数.
若 f ( t) ∈L 2 ( R) ,则有
∫ f ( t) =
+
∞
^f
(ω)
eiωt dω
-∞
(3)
其中
∫ ^f (ω)
=
1 2π
+
∞
f
(
t)
e-
iωt d
t
-∞
(4)
称为 f 的傅立叶变换.
但是 ,傅立叶展开又有其局限性 :
(1) 除 L 2 以外的空间 , L p ( p ≠2 ,1 < p < + ∞) ,显然式 (1) 成立 ,但 Ck 的大小并不能刻划
+∞
∑ f 所在的空间 ,即 f ( t) ∈ L p ( T) 不等价于 | Ck | p < + ∞ ,原因在于 ei kt不是 L p ( p ≠2 ,1 k=- ∞
析[3 ] ,他用一个在有限区间外恒等于零的光滑函数去乘所要研究的信号 (函数) , 然后对它作
傅立叶变换 ,这种变换确实能反映信号在窗口内的频谱特性 ,因而对研究信号的局部性质起了
一定推动作用 ,后来发展成熟知的加窗傅立叶变换 (亦称短时傅立叶变换 ,简记为 STF T) .
∫ 对信号 f ( t) ∈L 2 ( R) ,则它的加窗傅立叶变换 : G (ω,τ) =
1 引言
小波变换理论[1 ]是近年来发展起来的一门新的理论 ,它的研究已为数学家 、理论物理学 家和工程学家们所密切关注. 数学家们认为 ,小波分析是一个新的数学分支 ,它是泛函分析 、傅 立叶分析 、样调分析 、调和分析 、数值分析的完美结晶 ;工程学家们则认为 ,它是继傅里叶分析 以来在科学方法和工具上的重大突破. 目前 ,小波分析已成为国际上极为活跃的研究领域 ,已 被广泛应用于信号处理 、图象处理 、语音分析 、地震勘探 、大气湍流 、分形与混沌信号分维特征 和标度分析 、系统辨识与谱估计 、模式识别 、量子物理及许多非线性科学等领域. 其影响是深远 的 ,它的更广泛的应用正在到来. 本文详述了小波理论产生的实际背景和发展状况 ,对小波变 换的定义 、时频局部性及处理突变信号的能力作了分析. 最后 ,讨论了小波变换在信号处理中 的应用 ,并展望了其应用前景 1
合成 、地震分析 、边缘检测等领域里 ,却经常需要处理这类信号. 小波变换正是以独有的平移 、
伸缩特性 ,不但在时域和频域同时具有良好的局部化性质 ,而且对高频成分采用逐渐精细的时
域 (空域) 取样步长 ,从而可以聚焦到对象的任意细节. 被人们誉为“数学显微镜”, 可达到对高
频信号时间细分 ,低频信号频率细分的要求 ,由此一门新的理论和科学方法诞生了 ———小波分
Δh 、Δ^h1 从图 1 可知 , 离散加窗傅立叶变换的局部
化格点在整个相空间里是均匀分布的 , 它的时间 、频
率局部化格式与格点的位置无关 , 这种局部化格式
固定不变 ,在应用中受到限制 , 如用加窗傅立叶变换
分析频域宽 、频率变化激烈的信号时 , 为了能正确获
得高频的信息 , 时间局部化参数 t0 要取得很小 , 于
(北方交通大学信息科学研究所 ,北京 100044)
摘 要 详述了小波理论产生的实际背景和发展状况 ,对小波变换的定义 、时频局部性及处理突 变信号的能力作了分析. 最后 ,讨论了小波变换在信号处理中的应用 ,并展望了其应用前景. 关键词 小波变换 傅立叶变换 信号处理 分类号 TN911172
题中 ,我们关心的是信号在局部范围中的特征 ,确切地说是在任一短暂的时间间隔内的频率特
性. 例如 ,处理一个音乐或语音过程时 ,我们关心的是全过程中任一时刻音调或声调的构成情
况 ;对地震信号处理时 ,关心的是什么位置出现什么样的反射波 ;又如用计算机做图象处理时 ,
需要在图象信号输入的每一瞬间 ,及时地对处于不同空间频率的图象信号作不同方式的处理.
析.
第 1 期 刘崇春等 :小波变换理论及其在信号处理中的应用
23
3 小波理论发展史
小波变换继承和发展了 Gabor 的窗口傅立叶变换的局部化思想 ,其思想来源于可变窗口 的伸缩与平移 ,其方法的提出可追溯到 1910 年 Haar 提出的 Haar 基就是最简单的小波基 ,由 于 Harr 基的不连续性 ,它未能得到广泛的应用. 1936 年 Littlewood - Paley 对傅立叶级数建立 了 Littlewood - Paley 理论 ,是多尺度分析的思想雏形[4 ] . 1952 年至 1962 年 , Calderon - Zyg2 mund , Stein , Weiss 等建立了奇异积分算子理论与 Littlewood - Paley 理论的高维推广[5 ,6 ] ,
1974 年 R. Coif man 对一维的 Hp 空间给出了原子分解[7 ] ,以后 Latter 将其推广到高维 Hp 空 间[8 ] ,1975 年 A. P. Calderon 用他早年发现的 Calderon 再生公式 ,给出了抛物型空间 H1 的原 子分解[9 ] ,它的离散形式已接近小波展开. 以后 ,许多数学家为了各种不同的目的 ,给出了各 类函数空间的“原子分解”“, 分子分解”“, 拟正交展开”“、伪正交分解”“、弱正交展开”“、几乎弱 正交展开”“、框架展开”等[10 - 16 ] . 其中值得指出的是 :J . Peet re 于 1976 年 ,在使用 Littlewood Paley 方法给出 Besov 空间的统一刻划的同时 ,引进了 Besov 空间的一组基 ,其展开系数的大小 刻划了 Besov 空间本身[17 ] ,1981 年 O. St romberg 通过对 Haar 系的修正 ,引入了 Sobolev 空间 Hs 的正交基 ,1982 年 G. Battle 在构造量子场论中使用了类似 Calderon 再生公式的展开[18 ] ,这 些为小波分析的发展奠定了坚实的数学基础. 1984 年法国地球物理学家 Morlet 在分析地震波 的局部性时 ,发现传统的傅立叶分析难以达到要求 ,因而引入了小波概念用于信号分析 ,并对 信号 进 行 分 解 , 随 后 Grossman 对 Morlet 的 这 种 信 号 按 一 确 定 函 数 的 伸 缩 、平 移 系
傅立叶分析就是根据上述二种展开 ,通过 Ck 和 ^f 来研究 f 的性质. 它在信号处理及其它
领域内成为强有力的工具 ,关键在于 :
(1) ei kt是 L 2 ( T) 的一组规范化正交基 , Ck 是 f 在这组正交基上的“坐标”, Ck 的大小在 L 2
+∞
+∞
∑ ∑ 内完全刻划了 f , f ( t) ∈ L 2 ( T) Ζ
信号分析的一个重要特征是刻划信号的频率特性 ,传统的频率分析是傅立叶分析.
不妨设输入信号 f ( t) 为能量有限信号 , 即 f ( t) ∈L 2 ( T) , 其中 T 为复平面上单位圆周 ,
记 L 2 ( T) 等价于以 2π为周期的平方可积函数. 则有
+∞
∑ f ( t) =
Ckei kt
∫ ∫ + ∞
+∞
( nt0 , mω0)
=(
t|
-∞
gm , n ( t) | 2d t ,
ω|
-∞
^g m , n (ω) | 2dω,
其中 gm , n ( t) = e - i mw0 t g ( t - nt0) ,其时频宽度为 Δh 、Δ^h1 设窗函数 g ( t ) 的中心为 ( 0 ,ω0) , 时频宽度为
Abstract Practical background and t he state of wavelet t heory is reviewed. Definition , time - f requency locations and abilit y to process singularity signal of wavelet t ransform are analy sed and researched. Finally , t he application to t he signal processing are dis2 cussed. and it s prospect s are looked into. Key words wavelet t ransform Fourier t ransform signal processing
199 第 21
7年 卷第
2 1
月 期
J
北 方 交 通 大 学 学 OU RNAL OF NOR THERN J IAO TON G
报 UN IV
ERSI T
Y
Feb. 1997 Vol. 21 No. 1
小波变换理论及其在信号处理中的应用
刘崇春 裘正定 杜锡钰
| Ck | 2 < + ∞且 ‖f ‖2 ≈
| Ck | 2 1
k=- ∞
k=- ∞
(2) Ck 与 ^f (ω) 有着重要的物理意义 ,许多在时域里不清的问题通过频域变换来解释就变
得清晰可见 ,如取样 、滤波等.
(3) 导数运算在 Ck 和 ^f 表现变为乘积运算 ,给傅立叶分析在微分方程中应用带来方便.
对信号 f ( t) 实行时频局部化 ,就是把 f ( t) 按一簇 (连续的或离散的) 窗口函数展开 , 而根
据展开的系数 (连续的或离散的) 可以知道信号 f 在某一局部时间内 , 位于某局部频段的信号
成分有多少.
为了解决信号的时频局部化问题 ,1946 年 D. Gabor 首先引入了窗函数对信号作局部化分
信号要高 ,也就是说变换的窗口大小应随频率而变 ,频率越高窗口越小.
在实际处理过程中 ,需将 Gabor 变换的参数离散化 ,这就是离散加窗傅立叶变换
∫+ ∞
Cm , n ( f ) =
f ( t) g( t -
-∞
nt0) e- i mw0 td t ,
由信号分析理论 ,离散加窗傅立叶变换在相平面上的局部化格点为 (如图 1) ,
是系数 Cm , n ( f ) 总量很大 , 表明要取得相当多的样
本点. 同时当窗口太小时 , 会降低低频信号的分辨 率 ,对低频分量不适合. 因此 , 加窗傅立叶变换在处 理奇异信号和非平稳信号时不是很有效 , 而在语声
图 1 相平面上离散傅立叶变换的 局部化格点 ( t = nt0 ,ω= mω0)
本文收到日期 1995212204 刘崇春 男 1967 年生 博士生 email bfxxssys @center. njtu. edu. cn
第 1 期 刘崇春等 :小波变换理论及其在信号处理中的应用
21
2 小波理论产生的实际背景
211 傅立叶分析在信号处理中的优势和局限性
+∞
f ( t)
g( t
- τ) e - iωt d t
,从Baidu Nhomakorabea
-∞
定义可知 , G (ω,τ) 反映信号 f ( t) 在 t =τ附近的频谱特征 , 而且 Gabor 变换的窗口位置随参
数τ而变 (平移) ,符合研究信号不同位置局部性的要求 , 确实比傅立叶变换优越. 但是 , Gabor
变换窗口的形状大小与频率无关 ,保持不变. 这不符合实际问题中高频信号的分辨率应比低频