第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则.

确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
x 2e t 例11 求曲线 在点（2，1）处的切线方程 t y e 和法线方程
解 对应于点（2，1）的参数 t=0,所以
/ t y e (1) 1 / t k yx / |t 0 t xt 2e 2
故切线方程为 即 即 x+2y-4=0
1 y 1 ( x 2) 2 y-1=2(x-2)
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x) x x ( ln x 1)
反函数的求导法则
设单调函数
/ ( y ) x= 在某区间内可导，并且 ( y ) 0
，
则它的反函数 y=f(x)在对应区间内也可导，并且
1 f ( x) / ( y) dy 1 或 dx dx dy
/
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d wenku.baidu.comdx dx cos sin d
), M ( 0 , 当 时对应点 2 2
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2
x)/
(1 3 ) . ( a r c s i n x ) / (1 5 ) . ( a r c t a n x ) /
（ 1 4 ） . ( a r c c o s x )/ (1 6 ) . ( a r c c o t x ) /
1 1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
4
因x=0时y=0, 故
例4. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三节 隐函数及参数方程确定的函数 的求导法则
• 隐函数的求导法则 • 参数方程确定的函数的求导法则 • 初等函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
1 ln y [ln x ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3)] 4 1 / 1 1 1 1 1 两边对x求导得 yx ( ) y 4 x x 1 x 2 x 3 1 1 1 1 1 / 所以 yx y( ) 4 x x 1 x 2 x 3 1 x(x 1) 1 1 1 1 4 ( ) 4 (x 2)(x 3) x x 1 x 2 x 3
2
2
y

o
x
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g
落地时刻 抛射最远距离
o
v2 t g 2v t g2

x
x t 2 2 t (0 1) 例13. 设由方程 2 t y sin y 1
当 a e时 ， (e ) e
x /
x
例8 证明(arcsin x)
/
证明 1=cosy y / x
/ yx
1 1 x
2
设y=arcsinx，则x=siny，两边对x求导得 1 cos y (
cos y 1 sin 2 y 1 x 2
/ yx

2
y
x
(3 ).(s in x ) / c o s x (5 ).(ta n x ) / s e c 2 x ( 7 ).(s e c x ) / s e c x ta n x (9 ).( a x ) / a (1 1 ) . ( l o g
a x
ln a 1 x ln a 1 x2 1 1 x2
法线方程为
2x-y-3=0
例12. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
故抛射体速度大小
垂直分量为
v1 (v2 gt )
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
dy dy d t dx dx dt
2. 设 y (sin x)
tan x

x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数微分法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
或
dy dy du dx du dx / / / yx yu u x
4、参数方程所确定的函数的求导法则
x (t ) 若参数方程 y f (t ) 确定了 y 关于 x 的函数，
/ 其中 (t ), f (t ) 都可导，且 (t ) 0 ，t 为参数，
例1
求由方程x2 y 2 R2所确定的隐函数的导数
解 将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函 数，y2 是 x 的复合函数，根据复合函数求导法则得 (x2)/+(y2)/=（R2）/
dy 2x 2 y 0 dx dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐 / 函数的导数 yx
设 u=u(x),v=v(x),则
(1).(u v) u v
/ / / / / /
/
(2).(cu ) cu （c为常数） （3）.(uv) u v uv
/ / /
u / u v uv (4).( ) (v 0) 2 v v
3.复合函数的求导法则
设 y=f(u),而 u=g(x),则复合函数 y=f[g(x)]的导数为
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
例10 求由参数方程 x a cos t 确定的函数的导数 y b sin t 解
dx dy 因为 a sin t , b cot t dt dt dy dy dt b cos t b cot t dx dx a sin t a dt

2
)
1 1 x2 1 1 x2
/
类似可证明（arccos x) / 1 (arv tan x) 1 x2
/
1 (arc cot x) 1 x2
例6. 求下列导数: 解: (1) ( x ) (e
ln x
)
( ln x)


x
x 1
/
即反函数的导数等于其原函数导数的倒数。
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
三、初等函数的导数
1、 常用公式
（ 1） C
/
0
（ 2） ( x a ) / a x a 1 ( 4 ).(c o s x ) / s in x ( 6 ).(c o t x ) / c s c 2 x （ 8 ） . ( c s c x )/ c s c x c o t x （ 1 0） . ( e x ) / e (1 2 ) . ( l n x ) / 1 1 x 1 1 x2
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
按指数函数求导公式
例7 指数函数 y a (a 0, 且a 1)的导数
x
解 把 y=ax 改写成 x log a y
( x ) / (log a y ) / 1 1 y x/ y ln a y x/ y ln a a x ln a ( a ) a ln a
x / x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
1 / y sin x y cos x y x 0 y
/ x 2 y cos x / 整理得 yx 1 y sin x
例3. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
u ( ln u ) u



1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
即
例5. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
例6 函数求
y
4
x( x 1) 的导数 ( x 1)( x 3)
解 将等式两边取对数得
则
dy / dy dt f (t ) / dx dx (t ) dt
5、反函数的求导法则
设 单 调 函 数 x ( y) 在 某 区 间 内 可 导 ， 并 且
( y) 0 ， 则它的反函数 y=f(x)在对应区间内也可
/
导，且
1 f (x) /(y) dy 1 或 dx dx dy