复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

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第四章解析函数的幂级数表示法

§1.复级数的基本性质

αn ∞

n =1

=α1+α2+⋯+αn +⋯

f z = f n (z )∞

n =1

1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。

2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的ε>0，存在正整数N(ε)，当n>N 且p 为任何正整数时，

|αn +1+αn +2+⋯+αn +p |<ε

注1：收敛级数通项必趋近于零；

注2：收敛级数各项必有界；

注3：级数省略有限个项不改变敛散性。

3.（定理

4.3） |αn |∞n =1 → αn ∞n =1收敛

4.（定理4.4）

（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；

（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于s 1s 2。

5.一致收敛的定义：对任给的ε>0以及给定的z ∈E ，存在正整数N=N(ε,z)，当n>N 时，有

f z −s n z <ε

式中s n z = f k (z )∞k =1

6.不一致收敛的定义

7.（定理4.5 柯西一致收敛准则）：级数 f n (z )∞n =1收敛的充要条件是：任给ε>0，存在正整数N=N(ε)，使当n>N 时，对一切z ∈E ，均有

|f n +1(z )+f n +2(z )+⋯+f n +p (z )|<ε

8.（定理4.5’不一致收敛准则）：

9.（优级数准则）：如果有正数列M n ，使对一切z ∈E ，有|f n (z )|≤M n ，且正项级

数 M n ∞n =1收敛 → 复级数 f n (z )∞n =1在集E 上绝对收敛且一致收敛。

10.优级数定义： M n ∞n =1称为 f n (z )∞n =1的优级数。

11.（定理4.6）级数 f n (z )∞n =1各项在点集E 上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数f z = f n (z )∞n =1也在E 上连续。

12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数 f n (z )∞n =1的各项在曲线C 上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C 可逐项积分

f z dz C = f n z dz C

∞

n =1

13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛

14.（定理4.8） f n (z )∞n =1在圆K ：|z-a|

对任意正整数ρ，只要ρ

15.（定理4.9 魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数 f n (z )∞n =1 (n =1,2,…)在区域D 内解析；（2） f n (z )∞n =1在D 内内闭一致收敛于函数f(z):

f z = f n (z )∞

n =1

则：

（1）f(z)在D 内解析；

（2）f (p ) z = f n

(p )(z )∞n =1 （3） f n

(p )(z )∞n =1在D 内内闭一致收敛于f (p ) z

§2.幂级数

c n (z −a )n ∞

n =0

=c 0+c 1 z −a +c 2(z −a )2+⋯

1.（定理4.10 阿贝尔定理）：幂级数在某点z 1(≠a)收敛 → 它必在

圆K ：|z-a|<|z 1-a|（以a 为圆心，圆周通过z 1的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。

2.（推论4.11）：幂级数在某点z 2(≠a)发散 → 在以a 为圆心，圆周通过z 2的圆周外发散。

3.收敛半径：圆周内部绝对收敛，圆周外部发散。

4.（定理4.12 收敛半径R 的求法柯西-阿达马公式）：（不能缺项）如果幂级数

c n (z −a )n ∞n =0的系数c n 满足：

lim n→∞ c n +1c n

=l 或lim n→∞ |c n |n =l

或lim n→n |c n |n =l

则幂级数 c n (z −a )n ∞n =0的收敛半径：

R = 1l , l ≠0,l ≠+∞0, l ≠+∞ +∞ , l =0

注：上极限：收敛子数列的极限值的上确界值。

5.例4.5：（4） 3+4i n (z −i )2n ∞n =0（缺项幂级数）

6.（定理4.13）：

（1）幂级数

f z = c n (z −a )n ∞

n =0

的和函数f(z)在其收敛圆K ：|z-a|

（2）在K 内，幂级数f z = c n (z −a )n ∞n =0可逐项求导至任意阶，且收敛半径相同；

（3）c p =

f p (a )p !（p=0,1,2,…），即f p a =p !c p

§3.解析函数的泰勒展开式

1.（定理4.14 泰勒定理）：设f(z)在区域D 内解析，a ∈D ，只要圆K ：|z-a|

f z = c n (z −a )n ∞

n =0

其中系数c n =12πi f (ζ)

(ζ−a )dζΓp =f n (a )n !

(Γp ：| ζ-a|=ρ，0< ρ

2.（定理4.15）函数f(z)在区域D 内解析的充要条件：D 内任一点a 的邻域内可展开成z-a 的幂级数，即泰勒级数

3.柯西不等式：泰勒系数c n 满足： c n ≤max z−a =ρ|f (z )|

ρn （0< ρ

4.（定理4.16）：幂级数 c n (z −a )n ∞n =0收敛半径R>0，且f z = c n (z −a )n ∞n =0在

收敛圆周C ：|z-a|

注：找收敛半径=找最近奇点

5.一些初等函数的泰勒展式：