椭圆的标准方程-苏教版选修2-1

第一课时 椭圆的标准方程

一、教学目标

1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程； 2．根据条件确定椭圆的标准方程；

3．熟练运用这两个公式解决问题

二、教学重点、难点

重点：椭圆的标准方程的应用； 难点：椭圆标准方程的推导； 三、教学过程

1．复习回顾

上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？

平面内到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1、F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？

(1)平面内；若把“平面内 ”去掉，则轨迹是什么？ (2)到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数； (3)常数2a ＞F 1F 2

思考：（1）2a= F 1F 2，则轨迹是什么？ (线段F 1F 2) （2）2a< F 1F 2, 则轨迹是什么？ (无轨迹) 2．椭圆的标准方程的推导

问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？ （建系、设点、列式、化简）

问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？

设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，它们之间的距离为2c ，椭圆上任意一点到F 1、F 2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．

方案1：如图，焦点落在x 轴上

⑴建系：以F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建

立直角坐标系xOy ．

⑵设点：设点P （x ，y ）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为

()()120,0F c F c - , 、．

⑶列式：依据椭圆的定义式PF 1 + PF 2 = 2a 列方程，并将其坐标化为

2a ．

这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？ ⑷化简：通过移项、两次平方后

得,()()22222222a c x a y a a c -+=-，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b ，令2

22

b a

c =-，可的椭圆的标准方程

为

()22

2

210x y a b a b

+= >>． 总结含有根式的化简步骤：

（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一

边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方； （2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，

并使其中一边只有一项，再两边平方．

方案2：类似地，如图，焦点落在y 轴上

试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？

焦点()()1

2

0,

0,F c F c - 、，焦距为2c ，椭圆的方程为()22

2

210x y a b b a

+= >> 根据所学知识让同学们完成下表

0a b >>222a b c =+222c a b =+③是定方程“型”与曲线“形”．

3．典型例题：

例1． 化简（110 化简（26=

例2．（1）已知5a =,3c =，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程 （2）已知椭圆的焦点坐标是()14,0F -，()24,0F ，椭圆上的任意一点

到1F 、2F 的距离之和是10，求椭圆的标准方程．

例3．

（1）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。

1

211(2)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)Q(0,-)的椭圆的标准方程

33

例4．已知三角形ABC 的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程

变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB 的长组成一个等差数列，求点A 的轨迹方程。

变式2：在△ABC 中， B(-3,0)，C(3,0)，sin sin 2sin C B A +=，求A 点的轨迹

四、小结：

（1）椭圆的定义及标准方程；

（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中,,a b c 的关系； （3）掌握判断焦点的方法；

22Ax By C +=在一定的条件之下可以表示椭圆，有时利于解题；

如何来求椭圆方程？

（4）用定义法求椭圆的方程

五、作业

1．判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标：

221144169

x y +=，2212516x y +

=，22

2211x y m m +=+。 2.已知椭圆方程,22236x y +=，则这个椭圆的焦距为( )

A 2

B 3

C D

3．下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 （ ）

4．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆经过两点P （-，0），

(2)焦点坐标是（-，0）和（0） 5．已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为

2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程．

6．在三角形ABC 中BC=24,AB 、AC 边上的中线长之和等于39，求三角形ABC 的重心的轨迹方程