杭州市锦绣中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N 塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N 塔楼的高度，他从塔楼底部B 出发，沿广场前进185米至点C ．继而沿坡度为1:2.4i =的斜坡向下走65米到达码头D ，然后在浮桥上继续前行110米至趸船E ，在E 处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得码头D 的俯角为58°，楼项A 的仰角为30°，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内．则T3N 塔楼AB 的高度约为（ ）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，3 1.73≈）
A ．319米
B ．335米
C ．342米
D ．356米 2．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )
A ．4sin 3A =
B ．4cos 3A =
C ．4tan 3A =
D ．4cot 3A = 3．下列说法中，正确的有（ ）个
①a 为锐角，则1sina cosa +>；
②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；
⑤1302
=
=︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．一段公路路面的坡度为i ＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m ，那么此人
升高了（ ）
A ．50m
B ．100m
C ．150m
D ．200m 5．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )
A ．8(31)+m
B ．8(31)-m
C ．16(31)+m
D ．16(31)-m
6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，tan ∠B ＝2，则AC 的长为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．25 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB 的值等于（ ）
A ．43
B ．34
C ．45
D ．
35
8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ） A ．a•tanα B ．a•cotα C ．a•sinα D ．a•cosα 9．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD 的内角BCD ∠的大小为（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③ 11．在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，tanA ＝
12，则sinB ＝（ ） A ．12 B ．32 C 5 D 25
12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（ ）
A ．513
B ．1213
C ．512
D ．125
二、填空题
13．某斜坡的坡度3:3i =，则它的坡角是__________度．
14．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，BC=23，则AB=_____．
15．在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长是______．
16．如图，在ABC 中,已知90,4,8C AC BC ∠=︒==，将ABC 绕着点C 逆时针旋转到''A B C 处，此时线段''A B 与BC 的交点D 为BC 的中点，那么'B D 的长度为_________．
17．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．
18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，则∠A ＝__°，∠B ＝___°．
19．如图，已知平行四边形ABCO ，以点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，AB 交y 轴于点D ，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF 垂直平分OD ，点P 为线段EF 上的动点，PM ⊥x 轴于点M 点，点E 与E'关于x 轴对称，连接BP 、E'M ，则BP+PM+ME'的长度的最小值为______．
20．如图，在1OAA △中，130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =，以1OA 为边作12Rt OA A △，使1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒；再以2OA 为边作23Rt OA A △，使2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒；再以3OA 为边作34Rt OA A △，使3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒，…，如此继续，可以依次得到12Rt OA A △，23Rt OA A △，
34Rt OA A △，…，1n n Rt OA A -△，则2020OA =__________．
三、解答题
21．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为
1.6m 求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）．
22．在平面直角坐标系xOy 中，
O 的半径为1．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果,P Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“圆距”，记作()d M ．如图，已知点()2,0A ．
（1）直接写出d （点A ）的值；
（2）设T 是直线24y x =-+上一点，以为T 圆心，1长为半径作T ．若()d T 满足()612d O ≤≤，求圆心T 的横坐标x 的取值范围；
（3）过点A 画直线2y kx k =-与y 轴交于点B ，当d (线段AB ）取最小值时，直接写出k 的取值范围．
23．如图，AD 是△ABC 的中线，12tan ,cos , 2.52
B C AC === .求：
（1）BC 的长；
（2）∠ADC 的正弦值．
24．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的高，连接DE ．
（1）求证：ABD ∽ ACE ；
（2）若∠BAC ＝60°，BC ＝2DE 的长．
25．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.
26．计算或解方程：
（111754640.583⎛ ⎝ （2360245cos 60︒+︒-︒
（3）2430x x -+=
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据题意可知CD 的垂直高度和水平宽度，即知道了BO 和OD 的长，从而得出OE 的长度，再根据正切函数和DE 长度可求出EF 长度， 正切函数和OE 长度可求出A 到F 的垂直高度，即可求出AB 的长度，即：tan30AB EF OE BO =+⨯︒-．
【详解】
由题意得：185BC m =，65CD m =，110DE m =，
根据斜坡CD 的坡度1:2.4i =得CD 的垂直高度为25m ，水平宽度为60m ， ∴25BO m =，11060185355OE m =++=．
根据tan tan58110 1.6110176EF EDF ED m =∠⨯=︒⨯=⨯=，
所以176tan30176355 1.73325356AB OE BO m =+⨯︒-=+⨯÷-≈
故选D
【点睛】
本题考查解直角三角形，根据题意结合正切函数是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．
【详解】 解：由题意可得：2222345c a b =++=，
∴3434sin ,cos ,tan ,,5543
a b a b A A A cotA c c b a =
======= ∴正确答案应该是D ，
故选D ．
【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
①根据三角函数的定义判断；
②函数值不是简单度数相加；
③至少已知一条边能解直角三角形；
④根据坡度的性质即可判定④对；
⑤只能说∠A=30°；
⑥角度数不变，函数值就不变．
【详解】
①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a b c
+>，所以①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；
③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；
④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；
⑤也不对，sinA=
1302
=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变．
综上，①④正确，共2个，
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．
4．B
解析：B
【分析】
已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度．
【详解】
解：如图，
Rt△ABC中，tan A＝
1
2.4
，AB＝260米．
设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得：
x2+（2.4x）2＝2602，
解得x＝100（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力，难度不大，注意掌握坡度的定义及数形结合思想的应用．
5．A
解析：A
【解析】
设MN=xm，
在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN
，
∴tan30∘=
16x
x
=3√3，
解得：3，
则建筑物MN的高度等于3 +1)m；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.
6．B
解析：B
【分析】
根据正切的定义得到BC=1
2
AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，∴AC
BC
=2，
∴BC=12AC ， 由勾股定理得，AB 2=AC 2+BC 2，即（5）2=AC 2+（
12AC ）2， 解得，AC=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
∴sinB=
45
AC AB = ， 故选C. 8．B
解析：B
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，
∵cotαAC BC
=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
9．D
解析：D
【分析】
作AE ⊥BC 于E ，根据平行四边形的面积=矩形面积的一半，得出AE=
12
AB ，再由三角函数即可求出∠ABC 的度数，即可得到答案．
【详解】
解：作AE ⊥BC 于E ，如图所示：
则∠AEB=90°，
根据题意得：平行四边形的面积=BC•AE=
12BC•AB ， ∴AE=12
AB ， ∴sinB=
12AE AB =， ∴∠ABC=30°，
∴∠BCD=150°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
证明AC ∥DE ，再由条件CE ∥AD 可证明四边形ACED 是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB 可得△BCE 是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=23出AB 长可得四边形ACEB 的周长是10+213
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC ∥DE ，
∵CE ∥AD ，
∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；
②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，
∴EC=EB ，
∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=cos30AD ⋅︒=23
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB ，
∴EB=4，DB=23， ∴BC=43，
∴AB=()2222243213AC BC +=+=，
∴四边形ACEB 的周长是10213+，故③正确；
综上，①②③均正确，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．
11．D
解析：D
【分析】
作出草图，根据∠A 的正切值设出两直角边分别为k ，2k ，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．
【详解】
解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝
12， ∴设AC ＝2k ，BC ＝k ，
则AB ＝22(2k)k +＝5k ，
∴sinB ＝AC AB
＝5k ＝25． 故选：D ．
【点睛】
考核知识点：勾股定理，三角函数．理解正弦、正切定义是关键．
12．B
解析：B
【分析】
先根据勾股定理求出BC=12，再利用余弦函数的定义即可求解.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，BC 22AB AC -12， ∴sin A ＝1213
BC AB =，
故选：B ．
【点睛】
此题考查勾股定理以及锐角三角函数的定义，解题关键在于计算出BC 的长度.
二、填空题
13．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键
解析：30
【分析】
根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．
【详解】
解：设斜坡的坡角为α，则有()tan i α==
∵()tan 3030α︒=∴=︒， 故答案为30 ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．
14．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD 进而可得出∠ACE=∠DCE 由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出
∠DCE=∠DCB 结合∠ACB=90°可求出∠ACE ∠A 的度
解析：4
【解析】
分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度． 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，
∴CE 平分∠ACD ，
∴∠ACE=∠DCE ．
∵CD 平分∠BCE ，
∴∠DCE=∠DCB ．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=
13
∠ACB=30°， ∴∠A=60°，
∴AB=
23 60
3
BC
sin
=
︒=4．
故答案为4．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．
15．【分析】先利用勾股定理得出AC根据翻折变换的性质可得AC⊥EFOC=AC 然后利用∠ACB的正切列式求出OF再求出△AOE和△COF全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF从而求出折痕的长【详解】解
解析：
15
2
【分析】
先利用勾股定理得出AC，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OC=
1
2
AC，然后利用∠ACB的正切列式求出OF，再求出△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而求出折痕的长．
【详解】
解：如图
∵AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵折叠后点C与点A重合，
∴AC⊥EF，OC=1
2
AC=
1
2
×10=5，
∵tan∠ACB=OF
CO
＝
AB
CB
，
∴OF
5
＝
6
8
，
解得OF=
15
4
，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中
OAE OCF OA OC
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴OE=OF=154， ∴
EF=152
故答案为152
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．【分析】根据题意先考虑多种情况①与D 重合=AB ；②与D 不重合过点C 作CE 于点E 利用的余弦值求出由等腰三角形三线合一得求出再用减去得到【详解】①如图与D 重合②如图与D 不重合过点C 作CE 于点E ∵旋转∴在 解析：12545,
【分析】
根据题意，先考虑多种情况，①A '与D 重合，B D '=AB ；②A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，利用CA B ''∠的余弦值求出A E '，由等腰三角形三线合一得2A D A E ''=，求出A D '，再用A B ''减去A D '得到B D '．
【详解】
①如图，A '与D 重合，45B D AB '==．
②如图，A '与D 不重合，过点C 作CE ⊥A B ''于点E ，
∵旋转，∴4AC A C '==，8BC B C '==，
在Rt A B C ''△中，由勾股定理，22224845A B A C B C ''''=++=
5cos 45A C CA B A B '''∠==='， 在Rt A EC '中，5cos 45A E A E CA E A C '''∠=
=='， ∴455
A E '=
∵D 是BC 中点
∴4CD CA '== 在等腰三角形ACD '中，由“三线合一”得852A D A E ''==， ∴8512545B D A B A D ''''=-=-=．
故答案是：555
． 【点睛】 本题考查图形的旋转，等腰三角形三线合一，锐角三角函数，关键在于要画出对应的图象进行分类讨论，把情况考虑全面．
17．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB 设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB 的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB 如图所示： 2 【分析】
由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB ，设小正方形的边长为1，可以求出OA 、OB 、AB 的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
【详解】
连接AB 如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴2
OA=23+1=10，22
BA=3+1=10，222
OB=4+2=20，∴ABO是直角三角形，
∴BA102
sin AOB==
OB2
20
∠=，
故答案为：2 .
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 18．6030【分析】在Rt△ABC中根据AB＝2AC可得出∠B＝30°∠A＝60°【详解】解：如图在Rt△ABC中∵∠C＝90°AB＝2AC∴sin∠B＝＝∴∠B＝30°∴∠A ＝90°﹣∠B＝90°﹣3
解析：60 30
【分析】
在Rt△ABC中，根据AB＝2AC，可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝2AC，
∴sin∠B＝AC
AB ＝
1
2
，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60，30．
【点睛】
此题考查有一个角是30°的直角三角形的性质，根据三角函数求解较简单．
19．【分析】连接OP先确定OD的长和B点坐标然后证明四边形OPME是平行四边形可得OP=EM因为PM是定值推出PB+ME=OP+PB的值最小时即当OPB共线时BP+PM+ME的长度最小最后根据两点间的距
解析：2123
【分析】
连接OP,先确定OD的长和B点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME'=OP+PB的值最小时，即当O、P、B共线时BP+PM+M E的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．【详解】
解:如图：连接OP
在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，
∴OD=4tan60°3
∴A（-4，3
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=10，
∴DB=10-4=6
∴B（6，3
∵线段EF垂直平分OD
∴OE=1
3，∠PEO=∠EOM=∠PM0=90°，
2
∴四边形OMPE是矩形，
∴3，
∵OE=0E'
∴PM=OE'，PM//OE'，
∴四边形OPME'是平行四边形，
∴0P=EM，
∵3是定值，
∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，
∴当0、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小
∴BP+PM+ME的最小值为()2
2
+=
6432322123
故答案为2123
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键． 20．【分析】在直角三角形中已知一个角是30°一边边长根据特殊角三角函数解直角三角形依次求出OA1OA2OA3OA4OA5OA6然后找到规律即可求出的值
【详解】∵∴=∵∴∵∴∵∴∵∴同理可得综上所述∴故答
解析：101023
【分析】
在直角三角形中，已知一个角是30°，一边边长，根据特殊角三角函数解直角三角形，依次求出OA 1、OA 2、OA 3、OA 4、OA 5、OA 6，然后找到规律，即可求出2020OA 的值．
【详解】
∵130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =
∴1223OA ===
∵1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒
∴12cos30332
2OA OA ====︒ ∵2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒
∴2332
82cos3033OA OA ====︒ ∵3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒
∴3428
2cos3093OA OA ====︒ ∵4330A OA ∠=︒，4590OA A ∠=︒
∴452
322cos30935OA OA ====︒
同理可得5632
cos30OA OA ====︒
综上所述，2233n n n
OA =
∴2020202023OA = 故答案为：20201010233
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数解直角三角形，是一道找规律题，本题根据已知多求出几个直角三角形斜边，然后从中找到规律是解题的关键．
三、解答题
21．约为12.3m
【分析】
过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC=MN=16m ，DE=CN=BM=1.6m ，求得CE=AE ，设AE=CE=x ，得到BE=16+x ，解直角三角形即可得到答案．
【详解】
过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，
则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，
∴BC ＝MN ＝16m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6m ，
∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝45°，
∴△ACE 是等腰直角三角形，
∴CE ＝AE ，
设AE ＝CE ＝x ，
∴BE ＝16+x ，
∵∠ABE ＝22°，
∴tan22°＝
AE BE ＝16x x
+≈0.40， 解得：x ≈10.7（m ），
经检验x ≈10.7是原分式方程的解
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m ）， 答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
22．（1）3；（2）圆心T 的横坐标x 的取值范围1405x -≤≤或1665
x ≤≤；（3）33-≤≤k ． 【分析】
（1）根据“圆距”的定义求解即可；
（2）先确定OT 的取值范围，求出T 坐标，根据勾股定理列方程求出x ，进一步确定x 的取值；
（3）先求出d (线段AB ）的最小值，再求出点B 坐标，代入2y kx k =-求出k 的值，从而确定k 的取值．
【详解】
解：（1）∵A （2，0），
O 的半径为1，
∴d （点A ）=1+2=3； ()2如图1，由题意可知，410OT ≤≤．
过T 作TH y ⊥轴于H ，
∵24y x =-+，O 的半径为1
∴(),24T x x -+，
由222TH OH OT +=得，
①当4OT =时，()222244x x +-+=，
解得12160,5
x x == ②当10OT =时，()2222410x x +-+=，
解得12146,5x x ==- ∴圆心T 的横坐标x 的取值范围1405x -≤≤或1665
x ≤≤ （3）当AB 与⊙O 相切时，d(线段AB ）取最小值=2
设切点为M ，连接OM ，则OM=1，∠OMA=90°，
∵A （2，0），
∴OA=2
∴sin ∠BOA=
12
OM OA = ∴∠BOA=30°， 在Rt AOB 中
∴OB=OAtan30°3∴B 点坐标为：（03
把B 点坐标代入解得k=3-
当B 点在x 轴下方时，k=32
； ∴当d(线段AB ）取最小值时33≤≤k 【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，图形M 的“圆距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题
23．（1）6；（25 【分析】
（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，利用锐角三角函数求出CH 的长，再算出AH 的长，再根据tan B 求出BH 的长，最后求出BC 的长；
（2）利用勾股定理求出AD 的长，∠ADC 的正弦值等于AH AD
．
【详解】
解：（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，
在Rt ACH 中， ∵2cos 2CH C AC ==，2AC =， ∴1CH =，
∴221AH AC CH =-=
在Rt ABH 中，
∵1tan 5AH B BH =
=， ∴5BH =，
∴6BC BH CH =+=；
（2）∵BD CD =，
∴3CD =，2DH =，
∴225AD AH DH =+=，
在Rt ADH 中，5sin 5AH ADH AD ∠=
=， ∴ADC ∠5． 【点睛】
本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握利用锐角三角函数求三角形边长的方法，和已知三角形边长求锐角三角函数的方法．
24．（1）见解析；（2）32【分析】
（1）找出公共角即可求出相似
（2）根据~ABD ACE ∆∆得出一个比例式AE AD AC AB
=，再根据两边对应成比例且夹角相等得出~ADE ABC ∆∆，再结合60的余弦值即可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：,BD CE 是ABC ∆的高
90ADB AEC ∴∠=∠=
A A ∠=∠
~ABD ACE ∴∆∆
（2）
~ABD ACE ∆∆
AB AD AC AE ∴= AE AD AC AB
∴= A A ∠=∠
~ADE ABC ∴∆∆
DE AD BC AB
∴= 60BAC ∠=
1cos 2AD BAC AB ∴∠=
= 又6BC =
=
DE ∴=【点睛】
本题主要考察了相似三角形，三角函数等知识点，能找出根据第一个相似三角形的比例式来证第二个相似三角形是解题关键．
25．AB=7
)1米． 【分析】
首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x （米），再利用CD=BC-BD=14的关系，进而可解即可求出答案．
【详解】
解：在Rt △ABD 中，
∵∠ADB=45°，
∴
．
在Rt △ABC 中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=AB ．
设AB=x （米），
∵CD=14，
∴BC=x+14．
∴
x
∴x=7)
1
即铁塔AB 的高为
7
)
1米． 【点睛】 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
26．（1
）2）
72；（3）1231x x ==， 【分析】
（1）先将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类二次根式即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算；
（3）利用因式分解法或配方法解方程．
【详解】
（1）解：原式
=．
=．
（2
）解：原式122
=-． 1312
72=+-
=
（3）解：243x x -=-．
()22441
2121
x x x x -+=-=-=±
∴21x -=或21x -=-，
∴1231x x ==，；
【点睛】
此题考查实数的混合计算和一元二次方程的计算，关键是根据一元二次方程、二次根式和三角函数进行解答．。