两条直线的交点坐标_课件PPT

题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使点 P 到点 M(－ 2，－4)，N(4,6)的距离相等．
思路点拨：有以下两种思路：①设出 P 点坐标，根据条件列 出方程，由此求出 P 点坐标；②由条件求出线段 MN 的中垂线方 程，与已知直线方程联立，可得 P 点坐标．
自学导引
1．两条直线的交点坐标
(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 就 是 方 程
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
(2)两直线位置关系与方程组 的解的关系：
a＝－2 或 a＝1.故当 a≠1 且 a≠－1 且 a≠－2 时，这三条直线能
围成一个三角形．
纠错心得：三条直线构成三角形，则任何两条直线都相交，且 不能相交于一点，这是解本题的依据．同时，在解决本题类似的题 目时，直接求解有困难，可考虑用间接法．
课堂总结
1．两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交 点取决于它们组成方程组的公共解的个数：若只有一解，则 l1 与 l2 相交；若无解，则 l1∥l2；若有无数解，则 l1 与 l2 重合．解方程 组时，要注意对含字母的系数能否为 0 作适当的讨论．
法二：
∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
1．求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直 线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
解： 法一：设所求的直线为 l，
由方程组2x＋x－y＋3y－2＝3＝0 0， 得xy＝ ＝－ －5753， . ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴直线 l 的斜率 k＝－3. ∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
【答案】C
2．已知点 A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则 a 的值为( ) A．4 B．－4 或 2 C．－2 D．－2 或 4
【答案】D
3．经过两条直线 2x＋y＋2＝0 和 3x＋4y－2＝0 的交点，且垂 直于直线 3x－2y＋4＝0 的直线方程为________．
【答案】2x＋3y－2＝0
3．两点间的距离 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
典例剖析 题型一 直线的交点问题 【例 1】 求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的 交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
解： 法一：由直线 x－y＋4＝0 得 y＝x＋4， 因为点 P 在该直线上，所以可设 P 点的坐标为(a，a＋4)． 因为|PM|＝|PN|， 所以 [a－－2]2＋[a＋4－－4]2 ＝ a－42＋a＋4－62， 即 a＋22＋a＋82＝ a－42＋a－22， 所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2， 解得 a＝－32，从而 a＋4＝－32＋4＝52， 所以点 P 的坐标为－32，52.
∴62xx00＋－130y－0－4529y＝0＋01. ＋10＝0，
解得x0＝123， y0＝2.
∴B(10,5)．
设 A 关于∠B 的平分线的对称点为 A′(m，n)，则 A′在直线 BC 上．如图所示．由
mn＋－13＝－4， m＋2 3－4·n－2 1＋10＝0，
可得 A′(1,7)．
∴BC 所在的直线方程就是 A′B 所在的直线方程为 y－7＝17－－150(x－1)，即 2x＋9y－65＝0.
思路点拨：先解由两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标， 然后代入求方程．
解：
法一：解方程组xx－＋2y－y＋24＝＝00， 得 P(0,2)．
因为 l3 的斜率为34，且 l⊥l3，所以直线 l 的斜率为－43，由斜截 式可知 l 的方程为 y＝－43x＋2，即 4x＋3y－6＝0.
法二：设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 解得 λ＝11，∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
2．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最 重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距
离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐
标．
3．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以通过建 立适当的坐标系，并设出相关点的坐标，利用两点间的距离公式证 明．
又因为点 P 在直线 x－y＋4＝0 上， 所以点 P 为直线 x－y＋4＝0 与 y＝－35x＋85的交点．
x－y＋4＝0， 由y＝－35x＋85
得xy＝＝－52. 32，
所以点 P 的坐标为－32，52.
2．已知△ABC 的顶点坐标是 A(0,5)，B(－2，－1)，C(6,7)．求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程．
解：先求出 BC 边的中点 M 的坐标，再求|AM|，最后由两点式 写出 AM 所在直线的方程．
设 M(x，y)，∵M 是 BC 的中点， ∴x＝－22＋6＝2，y＝－12＋7＝3.∴M(2,3)． ∴|AM|＝ 2－02＋3－52＝ 8＝2 2. 由两点式得 AM 所在直线的方程为3y－－55＝2x－－00. 即 x＋y－5＝0.
错因分析：要使三条直线围成一个三角形，除这三条直线中任 两条不能平行外，还要满足三条直线不能交于一点，错解中漏掉了 这种情况．
正 解 ： ( 接 错 解 )(4) 当 l1 与 l2 ， l3 相 交 于 同 一 点 时 ， 由
x＋ay＋1＝0， x＋y＋a＝0
得交点(－1－a,1)，将其代入 ax＋y＋1＝0 中，得
【答案】由AA21xx＋＋BB21yy＋＋CC21＝＝00，， 消 y 得(A1B2－A2B1)x＝C2B1 －C1B2，当 A1B2－A2B1≠0 时，方程组有唯一解，则直线 l1 与 l2 相 交．
预习测评 1．直线 x＋2y－2＝0 与直线 2xLeabharlann Baiduy－3＝0 的交点坐标为( ) A．(4,1) B．(1,4) C．43，13 D．13，43
法二： 因为|PM|＝|PN|，所以点 P 在线段 MN 的垂直平分线上． 因为 kMN＝64－ －－ －42＝160＝53， 所以线段 MN 的垂直平分线的斜率 k＝－35. 又 MN 的中点为(1,1)，所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y －1＝－35(x－1)，即 y＝－35x＋85.
2.直线系方程 (1)平行于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线：Ax＋By＋m＝0(m 为参 数且 m≠C)． (2)垂直于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线：Bx－Ay＋m＝0(m 为参 数)． (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点 的直线：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 为参数且这些直线 中不包含 l2)．
8ba×·－2a＋34＝6×－b21＝，25，
解得ab＝ ＝43， .
∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)，又由反射光线过 P(－4,3)， 两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为 y＝3.
由方程组y8＝x＋3，6y＝25，
解得x＝78， y＝3.
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y＝3x≤78.
①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)；
②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′( －a，b)；
③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)；
误区解密 因分类讨论不全致错
【例 4】 是否存在实数 a，使三条直线 l1：ax＋y＋1＝0，l2： x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0 能围成一个三角形？请说明理由．
错解：
(1)当 l1∥l2 时，－a＝－1a，即 a＝±1； (2)当 l1∥l3 时，－a＝－1，即 a＝1； (3)当 l2∥l3 时，－1a＝－1，a＝1. ∴当 a≠1 且 a≠－1 时，这三条直线能围成一个三角形．
自主探究 探究 1：两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写 成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22的形式？
【答案】 可以，原因是 x2－x12＋y2－y12＝ x1－x22＋y1－y22，也 就是说公式中 P1，P2 两点的位置没有先后之分．
探究 2：A1B2－A2B1≠0 是两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2： A2x＋B2y＋C2＝0 相交的条件．为什么？
⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
3．设△ABC 的顶点 A(3，－1)，内角 B 的平分线所在直线方 程为 x－4y＋10＝0，AB 边上的中线所在直线方程为 6x＋10y－59 ＝0，求 BC 边所在直线的方程．
解：
设 AB 边的中点为 D(x0，y0)，则 B(2x0－3,2y0＋1)． ∵D，B 分别在两条已知直线上，
4．已知点 P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则 x ＝________.
【答案】－92
要点阐释
1．点与坐标的一一对应
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线 l
l：Ax＋By＋C＝0
点 A 在直线 l 上
Aa＋Bb＋C＝0
直线 l1 与 l2 的 交点是 A
方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解是xy＝ ＝ab，
方法点评：光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使
它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
可由方程组Ayx－ －·x＋yx200·x0－＋ABB＝·y＋－2 y10＋ABC≠＝00，
求得．
(2)常用对称的特例有：
题型三 对称问题
【例 3】 一束平行光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x＋ 6y＝25 反射后通过点 P(－4,3)，求反射光线的方程．
思路点拨： 通过“形”与“数”的转化，将几何问题化为代数问题．
解：设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得
①方程组 有唯一的解⇔两直线__相__交____；
②方程组 无解⇔两直线__平__行____；
③方程组 有无数解⇔两直线___重__合___．
2．两点间的距离公式 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1，P2 两点间的距离为
|P1P2|＝_____x_2_－__x_1_2_＋__y_2_－__y_1_2_______.