5自由度-广义坐标-质量几何

m y
i 1 i
n
i
m
, zC
m z
i 1
n
i i
m
注意： 质心为质量分布中心，质点系不一定受重力作用，比重心概念适用范围广。
在均匀重力场中，质心与重心的位置是重合的。
如何计算？
积分、分割
13
二、转动惯量 定义：
J l mi
2 i
Jl d m
2
z
hzi M i
－与质量大小及分布有关 物理意义: 刚体转动时的惯性度量 1.刚体对正交三轴的转动惯量
理论力学
约束、自由度与广义坐标
质点系
•自由质点系： 质点可“自由”运动， 不受任何预先给定的限制
•非自由质点系： 质点运动受到预先给定 的强制性限制 ——约束
2
一、约束与约束方程
•约 束(constraint)： 对非自由系统各质点位置和速度所加的 几何学或运动学限制。 •约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式。 x
(2) 半径为R的匀质圆盘对z轴的转动惯量
y
y
x
1 J z mR 2 2
(3)细圆环对质心坐标系的转动惯量
y
2
x
Βιβλιοθήκη Baidu
J z mR
x
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2、回转半径(惯性半径)表示转动惯量
刚体的回转半径 定义:
l
Jl m
物理意义: 如果保持刚体对某轴的转动惯量不变，而将 质其量集中于一个质点，则该质点到转轴的距离就是刚体 对该轴的回转半径。
1 (J x J y J z ) 2
14
2 J x m i h xi m i ( y i2 z i2 )
2 J y m i h yi m i ( z i2 x i2 )
J z m i h z2i m i ( x i2 y i2 )
J z 2 J zC mh
2
如何求匀质杆对端点的转动惯量。
1 l 1 ml 2 m( ) 2 ml 2 12 2 3
y
J A JC mh2
4、组合体的转动惯量
A
C
O
m1, l
A
组合法：组合体对某轴的转动惯量等于 所有组成物体对该轴的转动惯量的和。 1 7 2 J O J OA J AB m1l m2l 2
J OA 1 m1l 2 3
3
3
m2, 2l B
J AB
1 7 m2 (2l ) 2 m2 ( 2l )2 m2l 2 12 3
20
x
xA
A
xA sin t
x
l
y
2 2
l
M M
l
y
M
y
2
x y l
x y l
2 2
2
( x sin t )2 y 2 l 2
3
写出纯滚动轮的约束方程：

R
纯滚动
o
I
约束方程:
yC R
vI 0
4
二、自由度与广义坐标
•自由度数（degree of freedom)： 确定质点系位置所需独立坐标的个数。 问题： 一个自由质点的自由度是多少？ 3
z2
O
z1
J z2 m i ( x 22i y 22i )
m i [( x1i x 0 ) ( y1i y 0 ) ]
2 2
J z1 m ( x 0 2 y 0 2 ) m i (2 x1i x 0 2 y1i y 0 )
mh 2
O’
x1
y 1 y 2
x
y

l
M1
l
M2
自由度数：
n 2 2 2 2
( x1 , x2 ); ( y1 , y2 );( x1 , y2 );( x2 , y1 )


广义坐标：独立参数→ 角度→
( , ) ; ( , ) ; ( , )
7
问题: 确定系统的自由度和广义坐标

R
纯滚动
o
•简单的判断方法（完整、定常约束）： 自由度数＝变成不动的结构所需限制的未知坐标数目
掌握:
独立加速度量：
1、自由度和广义坐标的概念 2、会判断质点系的自由度，并会选择广义坐标 明确: 若自由度为k，则: 确定质系位形、速度、加速度均需k个独立运动量.
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理论力学 质量几何
质量几何
研究物体的质量分布特性
一、重心、形心与质心
重心：物体重力的合力作用点。
作用在刚性连接质点系上平行力系的简化相关
z
L
M
例：求图示受约束质点M的自由度数。
自由度： k
y
3 1 2
x x2 y 2 z 2 L2
• 若有n个质点构成的质点系，存在r个约束方程，则自由度数为：
k 3n r
5
•自由度数（degree of freedom)： 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。


x2 l sin l sin y2 l cos l cos
问题： 质系独立的速度(加速度)量有多少个？ 各质点速度：
与广义坐标和k个广义速度相关。
广义速度
质系独立的速度(加速度)量有k个。
9

R
纯滚动
自由度：
o
广 义 坐 标 ：
1
独立速度量：
z
L
M
•广义坐标(generalized coordinate)： 描述体系运动状态的独立参数。
y
x
x2 y 2 z 2 L2
广义坐标：
x、y 或 x、z 或 y、z或…
6
例：写出以下双连刚杆质点系的约束方程，并判断自由度。
解：双连刚杆双质点系的约束方程：
x12 y12 l 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) l 2 1 2 1
m i gxi mi g i yi m i gz i xC , yC , zC mg mg mg
Ai x i Ai y i Ai z i 形心：形状几何中心。满足： x C , yC , zC A A A
连续体： xC

A
xd A A
yC

A
yd A A

R
非纯滚动
y
A B
o
O


x
8
y
O
A
x

B

x y

l
M1
广义坐标： 、
广义坐标：

A OA sin x OA cos y
A
l
M2
x1 l sin y1 l cos
xA OA cos y A OA sin
x 0
y2
y1
2 mx 0 x1C 2 my 0 y1C
2
x2
h为z1和z2之间的距离
J z 2 J z1 mh 2 mx 0 x1C 2 my 0 y1C
若z1轴过质心：
x 1
y 0
0
2
O'
h
x 2
J z 2 J zC mh
平行轴定理
19
问题：对于一组平行轴，对哪根轴的转动惯量最小？
zC

A
zd A A
问题：什么情况下形心、重心重合？
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重心：物体重力的合力作用点。xC 形心：形状几何中心。 质心：几何体质量中心。满足：
m i gxi mi g i yi m i gz i , yC , zC mg mg mg
xC
m x
i 1
n
i i
m
, yC
2 J x mi hxi mi ( yi2 zi2 )
2 J y mi hyi mi ( zi2 xi2 )
2 J z mi hzi mi ( xi2 yi2 )
i
l
hxi
O
hyi r i z i
yi
xi
y
x
2.刚体对一点的转动惯量
J O mi ri2 mi ( xi2 yi2 zi2 )
x 0
O'
y 0
x 2
O’
J z2 m r
2 i 2i
2 2i 2 2i
x2i x1i x0 y2i y1i y0
x1
y2
y1
x2
mi ( x y )
m i [( x1i x0 ) 2 ( y1i y 0 ) 2 ]
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J z1 m i r12 i
不计厚度的平面刚体
J x mi y
2 i
z
O
2 i 2 i
J y mxi2
J oz mi ( x y ) J x J y
yi r xi
i
x
mi
y
计 算
1、积分法——适用于规则、简单形状
(1)匀质等截面杆对z轴的转动惯量(坐标系建立在质心处)
1 J z ml 2 J y 12
Jz m z2
z ——回转半径
工程中，标准形状构件的回转半径可以查表得到。
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3、利用平行轴定理 刚体对平行的两根轴的转动惯量之间有没有关系？
设有两根平行的轴z1 和z2, 则
y 1 y 2
2 1i
z2
x 1
z1
O
J z1 mi r12 i
mi ( x y )
2 1i