-微分方程的基本概念

微积分十①
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例1 验证下列函数都是微分方程 y－2y+y=0 的解.
(1) y Ce x; (2) y xe x; (3) y C1e x C2 xe x . 解: (1) y Ce x , y Ce x , y Ce x 代入原方程
左边 Ce x 2Ce x Ce x 0 右边 ∴ y Ce x 是原方程的解. (2) y xe x , y e x xe x (1 x)e x
并求满足初始条件
x 2, dx 0 的特解.
t0
dt t0
解
dx dt 2C1 sin 2t 2C2 cos 2t,
d2x dt 2 4C1 cos 2t 4C2 sin 2t,
将
d2 dt
x
2
和x的
表
达
式
代
入
原
方
程,
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F(x，y，y，y，…，y(n))=0
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2.3、微分方程的分类 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
y? ?( x)
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2.1、微分方程
定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
如：( x2 y2 )dx y dy 0 x
y 3xy 5 dy x y dx x y
未知函数是一元 函数的微分方程 常微分方程
y 3 y y sin x
2z 2z x2 y2
xz
⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
通解：通用的解，含有任意常数； 特解：特殊的解，不含有任意常数 例1中： y C1e x C2 xe x ——通解
y xe x ——特解
y Ce x ——既非通解，也非特解，是个解。 y 0 ——奇解（但不是特解，不研究）
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
未知函数是多元函数，即含 有偏导数的微分方程，称为 偏微分方程
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2.2、微分方程的阶
定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶
数，称为微分方程的阶。
( x2 y2 )dx y dy 0 x
y 3xy 5 dy x y dx x y
一阶微分方程
y 3 y y sin x 二阶微分方程 n阶微分方程的一般形式为：
C1e x C2 xex 0 右边 ∴解的y线性C1组e x合也C2是xe解x 是均原何为方y区=解程0别，也？的有是解解. 。
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 ⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解
称为定解条件，也称为初始条件
一般地，n阶微分方程就有n个定解条件
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求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解
中任意常数的值，可得特解。
微 Basic concept of differential equations
积
分
电
子
教 一、问题的提出
案
二、微分方程的定义 三、微分方程的解
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引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。
解：设所求曲线方程为：y = f(x)
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例3 验证:函数 x C1 cos 2t C2 sin 2t 是微分
方程
d2x dt 2
4x
0
的解.
y C1e x C2e x C2 xe x (C1 C2 )e x C2 xe x
y C1e x C2e x C2e x C2 xe x (C1 2C2 )e x C2 xe x 代入原方程： 左边 (C1 2C2 )e x C2 xe x 2(C1 C2 )e x 2C2 xe x
由题意得：dy 2x，且x 1, y 2 dx
两边对x求积分：
dydx dx
2
xdx
即 y=x2+C
将x=1,y=2代入，得：2=1+C
即 C=1 故所求曲线为：y=x2+1
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2.1、微分方程 定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
方
程代微数分方方程程------未未知知的的是是一一个个数函, 求数,x求y?,
y e x (1 x)e x (2 x)e x 代入原方程： 左边 (2 x)e x 2(1 x)e x xe x
0 右边
∴ y xe x 是原方程的Leabharlann Baidu.
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例1 验证下列函数都是微分方程 y －2y+y=0 的解.
(1) y Ce x; (2) y xe x; (3) y C1e x C2 xe x . 解: (3) y C1e x C2 xe x ,
如引例 dy 2x dx
求解得： y x2 C,
微分方程 微分方程的通解
由 x 1时, y 2 求得C 1,
定解条件
所求曲线方程为 y x2 1 .
微分方程 的特解
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3.3、微分方程解的几何意义
解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
分类3: 线性(未知函数及其导数都是一次)
非线性微分方程
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程 与微分方程组.
dy dx
3
y
2z,
dz
2y
z,
dx
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3.1、微分方程的解 定义3 若将某函数及其导数代入微分方程, 可使方 程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解