场论与矢量分析

说明: 散度是通量对体积的变化率, 且 div A > 0 表明该点处有正源, 散度绝对值的大小 div A < 0 表明该点处有负源, 反映了源的强度.
∆V
div A = 0 表明该点处无源,
若向量场 A 处处有 div A = 0 , 则称 A 为无源场.
定理: 在直角坐标系中，矢量场 � � � � A = P ( x, y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k 在任一点M(x, y, z)的散度为 � ∂P ∂Q ∂R � =∇⋅A div A = + + ∂x ∂y ∂z 证明： 由奥-高公式 � � ∆Φ = � ∫∫ A ⋅ d S = � ∫∫ P d y d z + Q d z d x + Rdx d y
得
c1 = c2 = 3
所以所求矢量线方程为：
⎧ y2 − z 2 = 3 ⎨ 2 2 x + ( y − z ) =3 ⎩
第二节
1.方向导数
数量场的方向导数与梯度
定义1： 设 M 0 是数量场u = u ( M ) 若沿方向 l 中的一点，
u(M ) − u(M 0 ) ∆u lim = lim M →M0 ρ M →M0 M 0M
例4. 作出数量场 u = xy 所产生的梯度场的矢量线. 解: 数量场 u = xy 所产生 的梯度场为 � � grad u = y i + x j 其矢量线满足微分方程
y
dx dy = y x
所以矢量线方程为：
o
x
x − y =C
2
2
第三节
简单曲线: 简单曲面: 1.通量
矢量场的通量与散度
� ∂u 2) = grad u ⋅ l0 = grad l u ∂l 3) grad u M为等值面 u ( x , y , z ) = C
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u=C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
� (1) ∇C = 0 (2) ∇(Cu ) = C ∇u (3) ∇(u ± v) = ∇u ± ∇v (4) ∇(uv) = u∇v + v∇u
u v∇u − u∇v (5) ∇( ) = v v2 (6) ∇f (u ) = f ′(u)∇u
例3. 设 f (r ) 可导, 其中 r =
x + y + z 为点 P ( x, y, z )
2
2
2
0 ′ 处矢径 r 的模 , 试证 g rad f ( r ) = f ( r ) r . x x ∂ f (r ) ∂ r 证: ∵ = f ′( r ) = f ′(r ) = f ′(r ) 2 2 2 r ∂x x +y +z ∂x ∂ f (r ) y ∂ f ( r ) z = f ′(r ) , = f ′(r ) ∂y r ∂z r ∂ f (r ) � ∂ f (r ) � ∂ f (r ) � ∴ grad f (r ) = j + k i+ z P ∂y ∂z ∂x r � � 1 � = f ′(r ) ( x i + y j + z k ) o r y 1� �0 x = f ′(r ) r = f ′(r ) r r
与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.
2. 数量场的等值面 在数量场 u = u ( x, y, z ) 中， 称曲面 u ( x, y, z ) = c 为该 数量场的等值面. 在平面场 u = u ( x, y ) 中，称曲线
u( x, y) = c 为它的等值线,如等温线、等高线等 .
等值面
例2. 求矢量场 � � � � 2 3 2 2 A = (3 x − 2 yz ) i + ( y − yz ) j + ( xyz − 3xz ) k 所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 M (2,-1,1) 的梯度。 � ∂ P ∂Q ∂ R + + 解: div A = = 6 x + 3 y 2 − z 2 + xy − 6 xz ∂x ∂ y ∂z � 令 u = div A � ∂u � ∂u � ∂u grad u = i + j +k ∂x ∂y ∂z � � � = (6 + y − 6 z )i + (6 y + x) j + ( −2 z − 6 x) k � � � grad u M = −i − 4 j − 14k
由
dy dz = z y
得
y − z = c1
2
2
又由合比定理
dx d ( y − z) = 2 z−y ( z − y)
可得 有
dx = −( y − z )d ( y − z )
2 x + ( y − z) 2 = c2
2 2 ⎧ y − z = c 1 (1, 2,1) 将点 代入 ⎨ 2 2 x + ( y − z ) = c2 ⎩
l
M
M0
存在， 则称此极限为 u ( M ) 在点 M 0
∂u 记作 处沿 l 方向的方向导数， ∂l
M0
定理1:若函数 u = u ( x , y , z ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处可微， 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 ∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
∆S ∆S
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ ( + + )d v ∂x ∂y ∂z ∆Ω
又由中值定理得
⎡ ∂P ∂Q ∂R ⎤ ∂P ∂Q ∂R + + ⋅ ∆V ( + + ) dV = ⎢ ⎥ ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ M * ∆Ω
其中 M *为 ∆Ω 中的某一点, 所以
S
=� ∫∫ x d y d z + y d x d z + z d x d y
S
= ∫∫∫ 3d x d y d z = π H 3
Ω
� 定义： 设有矢量场 A( M ) ，若
∆Φ lim = lim ∆Ω → M ∆ V ∆Ω → M
2.散度
� ∫∫
∆S
� � A ⋅ dS
∆Ω
M
� � 记作 div A. 则称此极限为 A( M ) 在点 M 处的散度， 存在，
等值线
由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有 一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间， 而且互不相交.
� � 矢量线: 设 C 为矢量场 A = A( x, y , z ) 中的曲线，如果C � 上每一点对应的矢量 A 都与 C 相切,则称之为矢量线.
设 M ( x, y , z ) 为曲线上一点， � � � � � ���� r = OM = xi + yj + zk � � � � d r = dxi + dyj + dzk � � 因为 d r A , 所以矢量线满足
S
� � � � 例1. 设由矢径 r = x i + y j + z k
z
H
构成的矢量场中， 有一由圆锥面 x 2 + y 2 = z 2 及平面 z = H ( H > 0)
� 所围成的封闭曲面S, 试求 r 从S内
� r
o x
y
穿出S的通量. 解: 由奥-高公式 � � Φ=� ∫∫ r ⋅ d S
3.矢量场的矢量线
z
M ( x, y, z )
� r
� A
o x
y
� � A = A(M )
dx dy dz = = Ax Ay Az
� � � � 2 例1. 求矢量场 A = ( z − y) i + zj + yk 过点 (1, 2,1)
的矢量线方程. 解：矢量线所满足的微分方程为
dx dy dz = = 2 z y (z − y)
其中α , β , γ 为l 的方向角.
证明: 由函数 u ( x, y, z) 在点 M 0 可微 , 得 ∂u ∂u ∂u ∆u = ∆x + ∆y + ∆z + o( ρ ) ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u = ρ ( cos α + cos β + cos γ ) + o( ρ) ∂x ∂y ∂z ∂u ∆u ∂u ∂u ∂u = lim = cos α + cos β + cos γ 故 ∂l ρ →0 ρ ∂x ∂y ∂z
= ( −3 , −2 , 2) 2 17
cos 17
= 6,
M
=6
M
M
∂u ∂u ∂u = ( cos α + cos β + cos γ ) ∂x ∂y ∂z
=
27 17
例2. 求函数 z = 3 x 2 y − y 2 在点P(2, 3)沿曲线 y = x 2 − 1 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用矢量形式表示为
� ∆Φ div A = lim ∆Ω → M ∆ V
⎡ ∂P ∂Q ∂R ⎤ = lim ⎢ + + ⎥ ∆Ω→ M ∂x ∂y ∂z ⎦ M * ⎣ ∂P ∂Q ∂R = + + ∂x ∂y ∂z
推论1： 奥-高公式的矢量形式 � � � � ∫∫ A ⋅ d S = ∫∫∫ div A d v
� � � � dS = d y d zi + d z d xj + d x d yk
� � Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ P d y d z + Q d z d x + Rdx d y
S S
所以通量为
通量的物理意义:(当S为封闭曲面时) 当Φ > 0 时, 表明S 内有正源; 当Φ < 0 时, 表明S 内有负源 ; 当Φ = 0 时, 不能判定S内有无源.
没有重点的连续曲线； 没有重点的连续曲面；
� 定义：设有矢量场 A( M ) ， 沿其
中有向曲面S某一侧的曲面积分 � � Φ = ∫∫ A ⋅ dS
S
� 叫做矢量场 A 向积分所沿一侧 穿过曲面S的通量.
S
通量的表示 � � � � 设 A = P ( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k 又
� 推论2： 若在封闭曲面 S 内处处有 div A = 0 ， 则 � � � ∫∫ A ⋅ d S = 0
S
Ω
� � 推论3： 或 若在矢量场 A 内某些点上有 div A ≠ 0 ，
S
� � div A 不存在， 而在其他点上 div A = 0 ， 则穿出包围
这些点的任一封闭曲面的通量都相等 .
∂u = ∂l
=
M
⎡ ⎢6 xy ⋅ ⎣
2. 梯度 定义： 设有矢量场 u = u ( x , y , z ), 在点 M ( x , y , z ) 处,
� ∂u � ∂u � ∂u � i + j+ k 为数量场 u(M) 在 称向量 G = ∂x ∂y ∂z
点 M 处的梯度, 记作 gradu,即
设 M 0 是数量场u = u ( M ) 定义2： 若沿曲线C 之正向 中的一点， u(M ) − u(M 0 ) ∆u lim = lim M → M 0 ∆s M →M0 � M 0M
l M
M0
C
则称此极限为 u ( M ) 在点 M 0 处沿曲线C(正向)的 存在， ∂u 方向导数，记作 M ∂s 0 定理2:若在点 M ( x , y , z ) 处函数 u = u ( x , y , z ) 可微、 曲线C光滑， l 为 C 在 M 处 的切线方向（正向）， 则 ∂u ∂u = ∂s ∂l
� 例1. 设 n 是曲面 2 z − xy = 0 在点 M (2,3,3)处指向下侧 � 的法向量，求函数 u = xyz 在点M处沿 n 的方向导数 .
解: 法向量为 ( − y, − x, 2) M � n = (3 , 2 , − 2) 所以 3 , 方向余弦为 cos α = 17 ∂u 而 = yz = 9, M ∂x M ∂u 所以 ∂n
第二章
场论
第一节
场
1. 场: 如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着 某个物理量的一个确定的值， 则称在该空间定义了关于 该物理量的一个场. 如果该物理量是数量，称它为数量 场；如果该物理量是矢量，称它为 矢量场或向量场. 分别用
u = u ( x, y, z )
表示.
及
� � A = A( x, y, z )
� � � � � 2 r = x i + y j = x i + ( x − 1) j
y o
P
2
它在点 P 的切向量为 � � � � � r ′ P = (i + 2 x j ) P = i + 4 j
−1
x
1 ∴ cos α = , 17 ∂u ∂s
M
4 cos β = 17
1 4 ⎤ 60 2 + (3 x − 2 y ) ⋅ = ⎥ ( 2 , 3 ) 17 17 ⎦ 17
∂u � ∂u � ∂u � i + j+ k grad u = ∂x ∂y ∂z
∂ � ∂ � ∂ � 引入哈密顿算子： ∇ = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
有
grad u = ∇ u
性质： 1) 方向：u 变化率最大的方向 grad u : 模 : u 的最大变化率之值
� n = grad u