高考链接：直线、圆的位置关系

高考链接

直线与圆的方程的应用是高考的重点内容，在历届的高考试卷中几乎年年都考，学习时要引起足够的重视．

例1 已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为( )

A ．1)1(22=++y x

B ．122=+y x

C ．1)1(22=++y x

D ．1)1(22=-+y x

精析 ⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为1，所以⊙C 的方程为1)1(22=++y x ． 答案C

例2 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为( )

A ．03222=--+x y x

B ．0422=++x y x

C ．03222=-++x y x

D ．0422=-+x y x

精析 设圆心坐标为(0x ，0)(00>x )

∵直线0443=++y x 与圆C 相切

∴圆心C 到直线的距离d 为半径长 即2434

3220=++x ，解得20=x ,或3140-=x (舍去)即圆心C 的坐标为(2，0)

又半径为2，∴圆C 的方程为2222)2(=+-y x

即0422=-+x y x

答案D

例3 光线从点A(1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：4)7()5(22=-+-y x 的最短路程等于________．

精析 ∵A(1，1)关于y 轴对称点A '(－1，1) ∴所求的最短路程为2-'C A ，266622=+='C A

∴所求的最短路程为226-． 答案226-

例4 已知C ：034222=+-++y x y x ．

(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C 外一点P(1x ，1y )向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．

精析与解答 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等 ∴当截距不为零时，设切线方程a y x =+ 又∵圆C ：2)2()1(22=-++y x

∴圆心C(－1，2)到切线的距离等于圆半径2 即12221-=⇒=-+-a a

或3=a

当截距为零时，设kx y = 同理可得62+=k 或62-=k

则所求切线的方程为：01=++y x 或 03=-+y x 或 x y )62(+=或x y )62(-=．

(2)∵切线PM 与半径CM 垂直， ∴222CM PC PM -=

∴212121212)2()1(y x y x +=--++，

∴034211=+-y x

∴动点P 的轨迹是直线0342=+-y x ∴PM 的最小值就是PO 的最小值 而PO 的最小值为点O 到直线0342=+-y x 的距离1053=

d

∴由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+034220

9

112121y x y x ，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=53

10311y x 则所求点坐标为P(103-，53

)． 例5 如图4—2—18所示，圆1O 和圆2O 的半径都等于1， 421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN(M 、N 为切点)，使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．

精析与解答 以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的直线为x 轴，建立如图4—2—18所示的平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，)0,2(2O 由已知PN PM 2=，得222PN PM = 因为两圆的半径均为1

所以)1(212221-=-PO PO

设P(x ，y )则

]1)2[(21)2(2

222-+-=-++y x y x

即33)6(22=+-y x

所以所求轨迹方程为33)6(22=+-y x (或031222=+-+x y x )．