21随机变量及其分布

非离散非连续型 随机变量
例 10个产品中有3个次品, 从中任取2个,其中
的次品数为X , X是随机变量.
X 的取值范围是 ?0,1,2?
? ? P
X?0
?
C
0 3
C72
C120
P ?X ? 1??
? ? P
X?2 ?
C32
C
0 7
C120
可以统一表示为 P ?X
? i??
C
i 3
C
2? 7
i
C120
实值函数 X ? X (? ), 称之为随机变量.
例如, 抛掷一枚硬币,Ω={正面,反面}，令
X
?
?1
?
?0
ω=“正面” ω=“反面”
X 为随机变量.
例如 掷一颗骰子, 令
?1
X
?
?? ?
2
?
?? 6
X 为随机变量.
? ?“掷出1点” ? ?“掷出2点”
? ?“掷出6点”
又如,某气象站 在一天中任选一个时刻, 记录下 当时的气温.
第二章 随机变量的分布与数字特征
§2.1 随机变量及其分布
一、随机变量的概念
掷一颗骰子,观察其点数. ? ? ?1,2,3,4,5,6 ?
任选一个人,测量其身高. ? = (0, 3) 记录某交叉路口在任意一个小时内通过的车辆数.
? = {0,1, 2,..., n,...}
在一批灯泡中任取一个,测试其使用寿命.? ? [0,?? ) 发射炮弹, 记录弹着点与目标的距离.? ? [0,?? )
? p{X ? x1}? p{X ? x2 }?... ? p{X ? xk }? ...
? ? p1 ? p2 ? ... ? pk ? ...? pk k
例 已知 随机变量X 的取值范围为?1, 2,..., 100? 且 P?X ? k?? ck , k ? 1,2,...,100, 求c.
? ? ?正,反正,反反正, 反反反正,反反反反正,... ?
令X为 抛掷的次数,则 X 的取值范围为
?1,2,3,4,..., n ,... ?
事件 “反反反正”就表示为{X ? 4}
定义2.1 设Ω为某一随机试验的样本空间, 如果对每一个样本点 ?? ? , 有一个实数 X (? ) 与之对应, 这样就定义了一个 定义域为Ω的
解
1 ? P{X ? 1}? P{X ? 2}? P{X ? 3}? ... ? P{X ? 100}
? c ? 2c ? 3c ? ... ? 100c
? c( 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 100 )? 5050c
1
? c?
5050
例 已知 随机变量X的取值范围为 所有正偶数，
且 P?X ? k?? pk , k ? 2,4,6,..., 其中 p ? 0, 求p.
? ? ? ? ? ? ??
0 1 234
定义2.3 设X 是离散型随机变量,它的一切可能 取值为 x1 , x2 ,..., xn ,..., 且 X 取各个值的概率为
pi ? p( xi ) ? P ?X ? xi ?, i ? 1,2,3,... (2.1)
称(2.1)式 为 X 的概率分布,简称 X 的分布. 记 pi ? p( xi ), X的概率分布也可以用列表法表示：
有些随机试验，虽然其结果没有直接表现为数量, 但通过适当的规定，也可以用数量表示.
例如, 抛掷一枚硬币一次,Ω={正面, 反面}
令
X
?
?1
Baidu Nhomakorabea
? ?
0
ω=“正面” ω=“反面”
于是事件 “硬币出现正面”就表示为 ?X ? 1?
“硬币出现反面”就表示为?X ? 0?
抛掷一枚硬币, 直到首次出现正面为止. 样本空间为
任一时刻的气温用X表示, X为随机变量.
随机变量通常用大写英文字母 X ,Y , Z 等表示, 有时也用小写希腊字母 ξ,η等表示.
小写英文字母 表示随机变量所取的值. 随机变量X 也记为 r,v.X
( random var iable )
随机变量的分类:
随机变量
离散型随机变量 非离散型随机变量
连续型随机变量
解 X1234
pk 0.7 0.21
设 Ai 表示 “第 i 次投中篮框” ，( i ? 1,2,3,4 ) A1, A2 , A3 , A4 相互独立.
p1 ? P{X ? 1}? P( A1 )? 0.7 p2 ? P{X ? 2}? P( A1 A2 )? P( A1)P( A2 ) ? 0.3 ? 0.7
C31
C
1 7
C120
( i ? 0,1,2 )
二、离散型随机变量的概率分布 定义2.2 如果随机变量X 只可能取有限个
或可数 无穷多个值,则称 X 是离散型随机变量.
离散型随机变量的特点是它的所有取值 可以逐 个一一列举出来.
如 “取到次品的个数”“掷骰子出现的点数” “某电话交换台 任一小时内收到的呼叫次数”
概率分布的性质： 1. 非负性 pk ? 0
2. 归一性 ? pk ? 1 k
证 (1) pk ? P ?X ? xk ?? 0
(2) ? ? {x1, x2 ,..., xk ,...}? ?x1? ?x2? ... ?xk ? ... 1 ? P(? )? P ???x1? ?x2? ... ?xk ? ... ??
? 0.21
例 某人投篮，命中率为 0.7, 规则是：投中后 或投了4次后 就停止投篮，设 X 表示 “此人投篮 的次数”，求 X 的概率分布.
A xk pk
则对于集合?xn n ? 1,2,3,... ?的任一子集 A, 事件
“X 在 A 中取值”,即“X ? A ”的概率为
P{ X ? A }? ? pk
xk ? A
例 某人投篮，命中率为 0.7, 规则是：投中后 或投了4次后 就停止投篮，设 X 表示 “此人投篮 的次数”，求 X 的概率分布.
X x1 , x2 , x 3 , ..., x n , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
有时也写成
X
~
? ? ?
x1 p1
x2 p2
... ...
xk pk
...? ...??
X x1 , x 2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
解
1 ? P{X ? 2 }? P{X ? 4 }? P{X ? 6}? ... ? P{X ? 2n }? ...
? p2 ? p4 ? p6 ? ... ? p2n ? ... ? p2 1? p2
1? p2 ? p2,
2 p2 ? 1,
p? 1 2
若离散型 r,v.X 的概率分布为
X x1 x2 p p1 p2