湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考文科数学试卷及答案解析

湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高
三下学期六月联考文科数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合}0,1,3,5,7M =，(){}
50N x x x =-<，则M N =（ ）
A.{}1,3
B.
{}0,1,3 C.{}1,3,5
D.{}0,1,3,5
2.已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（ ） A.2-
B.3i
C.1
D.3
3.已知()4cos π5α+=，则3πsin 2α⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为（ ） A.
3
5 B.
35
C.
45
D.45
-
4.设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ） A.2
B.-2
C.6
D.-6
5.记曲线221x y a -=-（0a >且1a ≠）所过的定点为P ，若点P 在双曲线C ：
()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（ ）
D.2
6.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ 6.59y
x =+，则表中m 的值为（ ）
A.22
B.25.5
C.28.5
D.30
7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，
且短轴长为C 的标准方程为（ ）
A.22112x y +=
B.22143x y +=
C.22
134x y += D.22
1163
x y += 8.将函数()3
2
sin x x f x x
+=的图象向下平移1个单位长度.得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A.
2
B.2
-
C.
13
D.
13
10.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔
顶C 到点D 的距离不超过19.9 1.414≈）（ ）
A.66.1米
B.67.3米
C.68.5米
D.69.0米
11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()30f x xf x '+<，且
()210f =，则不等式()()280
0x f x x x
>
≠的解集为（ ） A.(),0-∞
B.()0,2
C.()2,+∞
D.()
(),00,2-∞
12.已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 的值域为90,8
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
③()f x 在5π,π4⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减；④()f x 在[]
2π,2π-上恰有8个零点， 其中所有正确结论的序号为（ ） A.①③
B.②④
C.①②③
D.①③④
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13.命题“01,x ∃∈+∞，2
002x x +≤”的否定为______.
14.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =，34527a a a ++=，则10S =______. 15.已知长方体1111ABCD A B C D -的共顶点的三条棱长度之比为1:1:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______.
三、解答题（题型注释）
16.记n 为等比数列}n 的前n 项和，且2
42a a =，532a =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求使得2020n S <成立的n 的最大值0n .
17.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，
[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中m 的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 18.在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC CC ===，3π
4
ACB ∠=，点D ，E 分别为棱1CC ，AB 的中点.
（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求三棱锥1D AC E -的体积.
19.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点.
（1）若直线l 与圆2
2
1
:4
O x y +=
相切，求直线l 的方程； （2）若直线l 与x 轴的交点为D ，且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.
20.已知函数()()()2
11x
f x mx x e m =+-+∈R .
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()23
f x mx x >+.
21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,
3sin x y αα=⎧⎨
=⎩
（α为参数）.以坐标原
点为极点x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求证：25
PQ ≤+. 22. 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；
（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求22
42a b b a
+
的最小值.
四、新添加的题型
A 、
B 、
C 的对边分别为a 、b 、c ，且
sin cos cos b A A C =2cos A ，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范
围为______.
参考答案
1.A
【解析】1.
解一元二次不等式可得集合N ，再由交集运算即可得解. 集合{}0,1,3,5,7M =，
(){}
50N x x x =-<，则{}05N x x =<<，
所以由交集运算可得{}1,3M N ⋂=. 故选：A. 2.D
【解析】2.
由复数的除法运算化简，即可得z 的虚部. 由复数除法运算化简可得
()133213233213
i i i z i i +=
==-+-， 由复数的概念可知z 的虚部为3. 故选：D. 3.C
【解析】3.
首先利用诱导公式得到()4cos πcos 5αα+=-=，再利用诱导公式计算3πsin 2α⎛⎫
+
⎪⎝⎭
即可.
因为()4
cos πcos 5
αα+=-=， 所以3π4sin cos 25αα⎛⎫
+=-= ⎪⎝⎭
.
故选：C 4.D
【解析】4.
根据//m n 可知,m n R λλ=∈，再根据2m a b =-，3()n a kb k R =+∈代入求解即可.
因为//m n ，故,m n R λλ=∈，故()
323a kb kb a b a λλλ-==++，因为a ，b 是两个
不共线的平面向量，故132k λλ=⎧⎨-=⎩，解得136
k λ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩.
故选：D 5.B
【解析】5.
易知()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率
1
2
b a =，根据公式即可求得结果. 221x y a -=-,当20x -=时，即2x =，1y =，
所以定点()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率
12
b a =，
所以双曲线的离心率为e ==
2=. 故选：B. 6.D
【解析】6.
根据回归直线方程经过样本中心点()
,x y ，即可代入回归方程求得y ；进而由表中数据求得m 的值. 因为01234
25
x ++++=
=，
代入回归直线方程ˆ 6.59y
x =+，可得 6.52922y =⨯+=， 结合表中数据可知10152035
225
m ++++=，
解得30m =. 故选：D. 7.B
【解析】7.
根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为,a b 的值，进而由焦点在
x 轴上可得C 的标准方程.
由题意可得,π2ab b ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
解得2a =
，b =
因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为22143
x y
+=.
故选：B. 8.D
【解析】8.
由条件可得()3
2
sin 1x x g x x
+=-，又()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，则()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ，根据()1sin10g =>，可排除C ，从而得到答案.
易知()32sin 1x x g x x +=-，由()()()()3
2sin x x f x f x x
-+--==- 所以函数()3
2
sin x x f x x
+=为奇函数，其图象关于原点对称， 故函数()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ； 又()sin11
11sin101
g +=-=>，排除C. 故选：D. 9.A
【解析】9.
根据三视图还原空间几何体，由几何体可知PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角，结合线段关系即可求得PBA ∠的值，进而得异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值. 由四棱锥的三视图，还原几何体如图，
其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD .
因为//AB CD ，所以PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角
.
因为tan 1PA
PBA AB
∠=
=，所以45PBA ∠=︒，
所以cos 2
PBA ∠=. 故选:A. 10.B
【解析】10.
CD
，再根据木塔底层的边AB 不少于47.5米，即可求解. 解：设木塔的高度为h
，有图可知， 1.41447.567.165h =
≥⨯=（米），
同时CD h =
19.9
67.918
1.414
12
h ==≈-
（米）， 即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B. 11.B
【解析】11.
构造函数()()3
g x x f x =，利用所给不等式求出()g x '的符号从而判断()g x 的单调性，
由()210f =知()280g =，分0x >、0x <两类情况求解不等式. 构造函数()()3
g x x f x =，则()()()2
3
3g x x f x x f x ''=+，
()()30f x xf x '+<，()()()230x f xf g x x x '=+∴≤⎡⎤⎣⎦'
，
∴函数()()3g x x f x =在R 上单调递减.
()210f =，∴()280g =，解不等式()()280
0x f x x x
>
≠， 当0x >时，得()3
80x f x >，则()()2g x g >，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以
02x <<；
当0x <时，得()3
80x f x <，则()()2g x g <，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以
2x >，不合题意，舍去.
所以不等式()()2
80
0x f x x x
>
≠的解集为()0,2.
故选：B 12.A
【解析】12.
由偶函数的定义可判断①正确，借助二倍角公式将函数化简为()2
192cos 48f x x ⎛
⎫=+-
⎪⎝
⎭利用二次函数性质计算可得②错误，利用复合函数的单调性可判断2
2cos cos 1y x x =+-在5ππ,
4⎡
⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且2
2cos cos 10y x x =+-<，则()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，根据偶函数性质可得出③正确，利用函数与方程的思想解方程即可判断④错误.
由()()()()cos 2cos cos2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 为偶函数，①正确；
()2
219cos 2cos 2cos 1cos 2cos 48f x x x x x x ⎛
⎫=+=-+=+- ⎪⎝
⎭，
记[]cos 1,1t x =∈-，则2
2
192cos cos 1248
y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，
当1t =时，y 取得最大值2，当1
4t =-
时，y 取9得最小值98
-， 即2
2
192cos cos 1248
y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的值域为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为[]0,2，②错误；
()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性与它在5ππ,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性刚好相反，
当5ππ,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，cos t x =单调递增，且1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦
，而
2
2
1921248y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭在1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦
时单调递减，
故2
2cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又此时2
21,02y t t ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦
，故函数()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是得()f x 在5π,π4⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
单调递减，③正确； 令2210t t +-=，得1t =-或
1
2，而当[]0,2πx ∈时，cos 1x =-及1cos 2
x =恰有3个
不等的实根π，
π3
，5π3，
即()f x 在区间[]0,2π上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即()f x 在区间[]2π,2π-上恰有6个零点，④错误. 故正确的是①③. 故选:A.
13.()1,x ∀∈+∞，22x x +>
【解析】13.
根据特称命题的否定形式及定义即可得解.
由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()01,x ∃∈+∞，2
002x x +≤”的否定为
“()1,x ∀∈+∞，22x x +>”. 故答案为：()1,x ∀∈+∞，22x x +>. 14.120
【解析】14.
根据等差数列通项公式及前n 项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前n 项和公式即可求得10S 的值. 设等差数列{}n a 的公差为d ，
根据题意得()14
13315
33327a d a a d +=⎧⎨=+=⎩
解得13a =，2d =， 所以101109
102
S a d ⨯=+
109
10322
⨯=⨯+
⨯ 120=.
故答案为：120. 15.803
【解析】15.
计算出长方体外接球的半径，根据题意设出长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、
k 、()20k k >
，可得出24R ==k 的值，进而可求得该长方体的
全面积.
设长方体外接球的半径为R ，则2416R ππ=，2R ∴=，
设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，
于是得24R ==
，k ∴=
因此，该长方体的全面积为(
)
222
222225k k k
k ++=⨯803
=
. 故答案为：
803
. 16.（1）2n
n a =（2）09n =
【解析】16.
（1）根据等比数列通项公式，设{}n a 的公比为q ，代入已知条件即可求得首项与公比，进而得{}n a 的通项公式；
（2）由等比数列通项公式，代入即可得n S 的表达式，结合不等式即可试解得最大值0n . （1）设{}n a 的公比为q ，
由已知条件得32211a q a q =，4
132a q =， 解得12a q ==.
故112n n
n a a q -==. （2）因为2n
n a =，
所以()12122212
n n n
S +-==--，
由2020n S <，得1222020n +-<，即122022n +<， 而10210242022=<，11220482022=>， 所以110n +≤，即9n ≤， 所以09n =.
17.（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）3
5
【解析】17.
（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.
（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. （1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=， 得0.030m =.
（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，
则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得220
73.333
n =
≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.
记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，
其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，
(),c e .共6种.
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105
P =
=.
18.（1）证明见解析；（2）48
【解析】18.
(1)本题首先可以取1AB 的中点F 并连接EF 、1C F ，然后通过证明1//C D EF 即可得出四边形1C DEF 是平行四边形以及1//DE C F ，最后根据线面平行的相关判定即可得出结果； (2)本题首先可结合题意与图像将三棱锥1D AC E -的体积转化为112
C ACE V -，然后通过三棱锥的体积公式即可得出结果.
（1）取1AB 的中点F ，连接EF ，1C F ，
则在1ABB △中，1//EF BB ，11
2
EF BB =， 又点D 是1CC 的中点， 所以11111
22
C D CC BB =
=. 而且11//C D BB ，所以1//C D EF ，
所以四边形1C DEF 是平行四边形，1//DE C F ， 又DE ⊄平面11AC B ，1C F 平面11AC B ，
所以//DE 平面11AC B . （2）因为点D 是1CC 的中点， 所以11111
22
D AC
E C AC E C ACE V V V ---=
=，
111
11
113π1sin 11132
62412224
C ACE ABC V S
CC CA CB CC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，
所以三棱锥1D AC E -的体积为1
48
D AC
E V -=.
19.（1）1y =+；（2）λμ+为定值1-.
【解析】19.
（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由直线l 与圆O 相切，得出圆心到直线l 的距离等于半径，进而可求得直线l 的方程；
（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，可知当直线l 的斜率不存在时不满足题意，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出关于λ、μ的表达式，代入韦达定理化简计算可求得
λμ+的值.
（1）由已知得()0,1F .
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时，直线l 与圆O 相交，不合乎题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，
由直线l 与圆2
2
1:4O x y +=
12
=
，解得k =综上所述，直线l
的方程为1y =+；
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意；
当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y . 若0k =，则直线l 与x 轴平行，不合乎题意，所以0k ≠.
联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩
，消去y 并整理得2440x kx --=，由韦达定理得121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，
易知1,0D k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，由DA AF λ=，得()111111,,x x k y y λ⎛⎫=-- ⎪⎝+⎭
，
则111
x x k λ+
=-，111kx λ∴=--，同理可得2
11kx μ=--，
所以12121211422214x x k
kx kx kx x k
λμ++=--
-=--=--=--， 所以λμ+为定值1-.
20.（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；
【解析】20.
（1）求出导数，对0m ≥、0m <两类进行分类讨论判断导数符号从而确定单调性；（2）设()()2
3
F x f x mx x =--，通过导数判断函数()F x 的单调性，证明()0F x >在
1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上成立即可得证.
（1）()()
22x x
f x mx xe x e m '=+=+.
①当0m ≥时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <， 故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增. ②当0m <时，令()0f x '=，得0x =或()ln 2x m =-. 当12
m =-
时，()()10x
f x x e '=-≥，故()f x 在R 上单调递增.
当1
02
m -
<<时，令()0f x '>，得0x >或()ln 2x m <-；令()0f x '<，得()ln 20m x -<<，
即()f x 在()()
ln 2,0m -上单调递减，在()()
,ln 2m -∞-，()0,∞+上单调递增. 当1
2
m <-
时，令()0f x '>，得0x <或()ln 2x m >-；令()0f x '<，得()0ln 2x m <<-，
即()f x 在()()
0,ln 2m -上单调递减，在(),0-∞，()()
ln 2,m -+∞上单调递增. （2）设()()()2
3
3
11x
F x f x mx x x e x =--=--+，
则()()()
2
133x
x
x
F x e x e x x e x '=+--=-，
设()3x
x e x ϕ=-，则()3x
x e ϕ'=-，
∵1,13x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，∴()30x e ϕ'<-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，
又1103ϕ⎛⎫
=
-> ⎪⎝⎭
，()130e ϕ=-<，
∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在唯一的零点，设为0x . 则当
01
3
x x <<时.()0x ϕ>，()0F x '>，()F x 单调递增； 当01x x <<时，()0x ϕ<，()0F x '<，()F x 单调递减， 又113
3
126226*********
e F e -⎛⎫=-=> ⎪
⎝⎭
，()10F =，
∴()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上成立，
∴当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()23
f x mx x >+.
21.（1）22
149
x y +=；2240x y x +-=（2）证明见解析；
【解析】21.
（1）消去参数α即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标与直角坐标的转化公式即可得曲线
2C 的直角坐标方程；
（2）由参数方程可设()2cos ,3sin P αα，由两点间距离公式可求得2PC ，并求得
2PC 的最大值，由点和圆的位置关系即可证明结论.
（1）由2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数）消去α，得22
149x y
+=，
即曲线1C 的普通方程为22
149
x y
+=，
由4cos ρθ=得24cos ρρθ=， 而222,cos x y x ρρθ==+，
所以曲线2C 的直角坐标方程为2
2
40x y x +-=.
（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设点()2cos ,3sin P αα，
则2PC =
=
当4cos 5α=-
时，2max 5
PC =，
故max 2PQ =+，
即2PQ ≤
+. 不等式得证.
22.（1）{
3x x ≤-或}1x ≥-；（2）2.
【解析】22.
（1）可知所求不等式为122x x x -++≥-，然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=，然后将所求代数式变形为
2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，利用基本不等式可求得22
42a b b a +的最小值. （1）根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.
当2x -≤时，则有122x x x ---≥-，解得3x ≤-，此时3x ≤-；
当21x -<<时，则有122x x x -++≥-，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，则有122x x x -++≥-，解得1
3
x ≥
，此时1x ≥. 综上所述，不等式()2f x x ≥-的解集为{
3x x ≤-或}1x ≥-；
（2）()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+，当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立，
0a >，0b >，函数()y f x =的值域为[)2,+∞，即22a b +=.
()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()22222a b ≥=+-=，
当且仅当21a b ==时取等号，因此，2242a b b a
+
的最小值为2.
(
4⎤⎦
【解析】23.
利用正弦定理边角互化思想结合()sin sin B A C =+可得出关于角A 的三角等式，进而可求得tan A 的值；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出4sin 3b B c π⎛
⎫
+
= ⎝
+⎪⎭
，根据ABC 为锐角三角形求得角B 的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得b c +的取值
范围.
由2sin cos cos cos b A A C A =及正弦定理，
得()sin sin sin cos sin cos B A A A C C A =+，
即()sin sin sin B A A A C =+
，sin sin sin B A A B ∴=，
02
B π
<<
，sin 0B ∴>
，可得tan A =02
A π
<<
，3
A π
∴=
.
又
ABC 是锐角三角形，02
2032B B πππ
⎧
<<⎪⎪∴⎨
⎪<-<⎪⎩
，解得62B ππ<<，
由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====
，
21sin sin sin sin 32b c B B B B B π⎫⎡⎤⎛⎫∴+=
+-=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
3sin cos 4sin 3226B B B π⎫⎛
⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
62
B π
π<<，2,
633B π
ππ
⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛
⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
，(
b c ⎤∴+∈⎦.
(
4⎤⎦.。