湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考文科数学试卷及答案解析

湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高

三下学期六月联考文科数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

一、选择题

1.已知集合}0,1,3,5,7M =，(){}

50N x x x =-<，则M N =（ ）

A.{}1,3

B.

{}0,1,3 C.{}1,3,5

D.{}0,1,3,5

2.已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（ ） A.2-

B.3i

C.1

D.3

3.已知()4cos π5α+=，则3πsin 2α⎛⎫

+

⎪⎝⎭

的值为（ ） A.

3

5 B.

35

C.

45

D.45

-

4.设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ） A.2

B.-2

C.6

D.-6

5.记曲线221x y a -=-（0a >且1a ≠）所过的定点为P ，若点P 在双曲线C ：

()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（ ）

D.2

6.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ 6.59y

x =+，则表中m 的值为（ ）

A.22

B.25.5

C.28.5

D.30

7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，

且短轴长为C 的标准方程为（ ）

A.22112x y +=

B.22143x y +=

C.22

134x y += D.22

1163

x y += 8.将函数()3

2

sin x x f x x

+=的图象向下平移1个单位长度.得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

9.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为（ ）

A.

2

B.2

-

C.

13

D.

13

10.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔

顶C 到点D 的距离不超过19.9 1.414≈）（ ）

A.66.1米

B.67.3米

C.68.5米

D.69.0米

11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()30f x xf x '+<，且

()210f =，则不等式()()280

0x f x x x

>

≠的解集为（ ） A.(),0-∞

B.()0,2

C.()2,+∞

D.()

(),00,2-∞

12.已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 的值域为90,8

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

；

③()f x 在5π,π4⎡⎤

-

-⎢⎥⎣⎦

上单调递减；④()f x 在[]

2π,2π-上恰有8个零点， 其中所有正确结论的序号为（ ） A.①③

B.②④

C.①②③

D.①③④

第II 卷（非选择题）

二、填空题（题型注释）

13.命题“01,x ∃∈+∞，2

002x x +≤”的否定为______.

14.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =，34527a a a ++=，则10S =______. 15.已知长方体1111ABCD A B C D -的共顶点的三条棱长度之比为1:1:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______.

三、解答题（题型注释）

16.记n 为等比数列}n 的前n 项和，且2

42a a =，532a =.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求使得2020n S <成立的n 的最大值0n .

17.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，

[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中m 的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；

（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 18.在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC CC ===，3π

4

ACB ∠=，点D ，E 分别为棱1CC ，AB 的中点.

（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求三棱锥1D AC E -的体积.

19.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点.

（1）若直线l 与圆2

2

1

:4

O x y +=

相切，求直线l 的方程； （2）若直线l 与x 轴的交点为D ，且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.