扩张原理与F数

第六章 扩张原理与F 数

()()R

T F X F Y →，R T 换成其它函数能否将X 上的F 模糊集变成Y

上的F 集。 一、普通扩张原理 1．给定映射

: |()

f X Y

x y f x →→=

则

f

可以诱导两个新映射，分别记作

f

和

1

f

-，

:()()

A |(){|,()

f P X P Y f A B y x A y f x ∆

→→==∃∈=

1

1

:()()

|(){|()}

f

P Y P X B f B x f x B -∆

-→→=∈

()f A 称为A

的像，

1

()f

B -为

B

的逆(原)像。

2．用特征函数表示

11

()()0, ()()()()(), ()f x y

f x y

f

y f A y A x A x f y φφ

--==⎧=⎪=

∨

=⎨

∨≠⎪⎩

1()()(())f B x B f x -=

3．性质

P 394，性质①至⑩，如：

1

1

1212()()B B f

B f

B --⊆⇒⊆；

1212()()()f A A f A f A ⋂=⋂

11

1

1212()()()f B B f

B f

B ---⋃=⋃；

1

(())f

f A A -⊇

…… 例1 设

{0,1,2,3,4,5}X =

{,,,}Y a b c d =

, 0,1,2(), 3,4, 5a x f x b x c x =⎧⎪==⎨⎪=⎩

{2,3,4}, {,,}A B b c d ==

求

1

(), ()f A f

B -

解：

(){,}() f A a b P Y =∈

1 (){3,4,5}()f B P X -=∈

二、模糊扩张原理 1．定义1 (扩张原理1)设:f

X Y →，由f

可以诱导出两个映射

f

和

1

f

-：

:()()

|()()

f F X F Y A f A F Y →→∈

11

:()() |()()

f F Y F X B f

B F X --→→∈

其中：

1

()1

(), ()()()0, ()f x y

A x f y f A y f

y φφ

-=-⎧∨≠⎪=⎨

=⎪⎩

1

()()(())f

B x B f x -=

()f A 称为A

的像，

1()f B -为B

的像。

例2 设

{0,1,2,3,4,5}X =

{,,,}Y a b c d =

, 0,1,2

(), 3,4, 5a x f x b x c x =⎧⎪

==⎨⎪=⎩

10.20.10.90.40.90.3, 0245A B b c d

=

+++=++求

1(), ()f A f B -

解：

()()()()

max{(0),(1),(2)} 1

f x a

f A a A x A A A ==

∨== 同理

()()0.1()()0.7()()0

f A b f A c f A d === 1

()(0)((0))()0f

B B f B a -===

同理

11()(1)()(2)0

f B f B --==

11()(3)()(4)

()

0.4

f B f B B b --=== 1

()(5)()0.9f

B B c -==

所以：

10.10.7

()f A a b c

=

++

1

0.40.40.9()345

(0, 0, 0, 0.4, 0.4, 0.9)

f

B -=

++= 2．扩张原理可视为F 变换（另一表示） （1）:f X Y →

确定X 到Y 的F 关系R ：

1, ()(,)0, ()

y f x R x y y f x =⎧=⎨

≠⎩

由R 可确定X 到Y 的F 变换

()f A A R

=

()()[()(,)]x X

f A y A x R x y ∈=∨∧

()(()1)f x y

A x ==

∨

∧

()()f x y

A x ==

∨

（2）同样，令

S

表示

Y

到

X

的F 关系,

1, ()(,)0, ()

y f x S y x y f x =⎧=⎨

≠⎩

1

()f B B S -=

1

()()[()(,)]y Y

f

B x B y S y x -∈=∨∧

()(()1)f x y

B y ==

∨∧