数学建模中的层次分析法

一致性指标 CI

5.073 5 5 1
0.018
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标） ( 的权向量为 w( 2) ( w1( 2) ,, wn2) )T
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
1 3 1 3 1 3
1
1 3
e0
0.733 e1 Ae0 0.788 3
e1 4.511
0.733 0.162 1 e1 0.788 0.172 4.511 3 0.665
w
wn w2

成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况
满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n 的正互反阵A称一致阵，如 一致阵 性质
w1 w 1 w2 w1 A wn w1
w1 w2 w2 w2


wn w2
对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如
下所示：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 甲 5 5 5 5 4 3 4 5
乙 3
丙 3
2
3
4
4
5
2
5
5
5
5
4
5
3
4
按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286， 由高到低排序为乙、丙、甲。
对权重系数的量化过程
（1）成对比较 从 x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重 要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是
w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659 相应的综合评价公式是 Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以 上公式算出的便是作品综合评分y。
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 • 便于定性到定量的转化： 尺度 aij 1 2 3 4
Ci : C j的重要性
5 强
6
7
8
9 绝对强
相同
稍强
~ Ci : C j
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9
的重要性与上面相反
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
• 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵， 算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。

w1 wn w2 wn wn wn
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
Aw w

层次分析法简介
一、层次分析法基本原理
分解
建立 多个因素 层次结构
实际问题
确定
诸因素的 相对重要性
计算 权向量
判断 综合决策
二、层次分析法基本步骤
1、建立层次结构模型 结点（变量） 第一层
结点
结点
结点
第二层
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
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结 点
第三层
例 对学生的评价
对学生的评价 目标层
0.5 0.154 0.346
0.348 能力
0.250 0.750
0.415 表现
0.492 0.361 0.147
x1 语 文 知 识
x2 外 语 知 识
x3
政治 经济 时事 知识
x4 计算 机操 作能 力
x5 公 关 能 力
x6
x7
x8 音 色
容貌 体形 与气 高矮 与胖 质 瘦
评价指标
( x1 , x2 ,, x8 )
数学建模中的 层次分析法
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂（saaty) 等人于20世 纪70年代提出的一种决策方法。它是将 半定性、半定量问题转化为定量问题的 有效途径。它将各种因素层次化，并逐 层比较多种关联因素，为分析和预测事 物的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。 主要用于确定综合评价的权重系数。层 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
一致性检验
对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 n 定义一致性指标: CI CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量
C i : C j a ij
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
一致比较
a 23 8 ( C 2 : C 3 )
不一致
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
w1 w 1 W ( 1) w1 , w2 , wn w2 w A 1 令aij wi / w j T w ( w1 , w2 , wn ) ~ 权向量 n w1 w1 w2 w2 w2 w1 wn w2 wn wn wn
3 5 1 / 3 1 1
A~成对比较阵 A是正互反阵
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况
a12 1/ 2 (C1 : C2 )
a13 4 (C1 : C3 )
1 A 2
1/ 2 1
4 7

德
智
体
准则层
思 想
道 德
语 文
数 学
…
眼
…
肺
项目层
(指标层)
二、层次分析法基本步骤
2、确定权系数w1， w2， … ，wn，其满足： wi0 ,
w
i 1
n
i
1
3、建立综合评判函数 设x1, x2, … xn为对应各因素的决策变量， 其线性组合： y = w1x2 + w2x2 + … + wn xn
准则层对目标的成对比较阵
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1 / 3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
于是取权重系数wi=ai
例：评价影视作品
在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：
x1表示教育性 x2表示艺术性
x3表示娱乐性
有一名专家经成对赋值：
x1/x2=1
x1/x3=1 /5
x2/x3=1/3
于是得到成对比较矩阵
1 A 1 5 1 5 1 3 1
例2. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、费用、居 住条件等因素选择.
目标层 O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
―选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。
1 B2 3 8 1/3 1 3 1/8 1/3 1
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵
1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
…Cn
…Bn … n
（2）建立成对比较矩阵
由xi/xj建立n阶方阵A
(3)
迭代
按下列方法求向量迭代序列： e0=( 1/n 1/n … 1/n)T e’k=Aek-1 || e’k||为Aek-1 的n个分量之和 ek= e’k / || e’k|| , k=1,2, … 数列｛ ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1 a2 … an)
0.467 0.155 e2 0.565 , e2 3.014, e2 0.184 1.991 0.661 0.471 0.156 e3 0.559 , e3 3.018, e3 0.185 1.998 0.659 0.473 0.156 e4 0.561 , e4 3.028, e4 0.185 1.994 0.659
最大特征根 1
2
w2(3)
权向量
w1(3)
… wn(3)
（2）考虑第3层对第2层 由1–9尺度得
2 1 B1 1 2 1 1 5 1 2 5 2 1 1 1 3 1 8 B2 3 1 1 3 8 3 1 1 1 B3 2 1 1 3 1 3 3 3 1
对应于目标层的权向量（系数）
( w1 , w2 ,, w8 )
T
(0.119, 0.036, 0.082, 0.087, 0.261, 0.204, 0.150, 0.061)
T
评价公式 即
y w1 x1 w2 x2 w8 x8
y 0.119 x1 0.036 x2 0.082 x3 0.087 x4 0.261x5 0.204 x6 0.150 x7 0.061x8 （分）
1 B4 1 3 1 4
3 1 1
4 1 1
1 B5 1 4
1 1 4
1 4 14 1
max (3.006, 3.002, 3, 3.009, 3)
( 3)
权向量矩阵
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167 0.128 0.682 0.142 0.174 0.667
是综合评判函数。
例 对学生的评价
对学生的评价 0.3 0.55
0.15 体
德
0.5 思 想 道 德 0.5 0.2 语 文
智
0.15
0.25
0.15 眼
0.1
计 数 … 算 学 机
…
肺
语文成绩对学生评价中的权系数为：0.2×0.55=0.11
例 某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型
对象的评分 0.237 知识
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3 4 5 6 7 8 9
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
A (aij ) nn , aij 0, a ji 1 aij
选 择 旅 游 地
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
4 7 1 2 3
3 5 1/ 2 1 1