习题课12--曲线积分部分

宁波工程学院 高等数学AI 教案

习题课12 曲线积分部分

1、L 为圆周122=+y x ，求ds x L

⎰2

2、计算⎰++L

ds z y x )2(22，其中L 为0,2

222=++=++z y x R z y x

3、将⎰+L

ds y x )(2

2，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化

为定积分 4、计算⎰+L

y

x ds e

2

2

，其中L 为圆周2

22a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇

形的边界。

5、⎰+L

ds y x )(2

2

=（ ），其中L 为圆周122=+y x

6、 , 其中L 为连接点(1,0)与(2,1)的直线段

7、把第二类曲线积分dy y x Q dx y x P L ),(),(+⎰化成对弧长的曲线积分，其中

L

为 从点

(0,0)沿上半圆周2

2

2x y x +=到点(1,1)的有向弧段.

8、 算⎰--+L

dy y x dx y x )4()23(，L 为

12

22

2=+

b

y a

x 取逆时针方向。

9、dz y x dy y dx x )1(-+++⎰Γ，Γ为由点(1,1,1)到点(2,3,4)的有向直线段.

10、过点O （0，0）和A （π，0）的曲线族)0(sin >=a x a y 中求出一条曲线L 使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y OA

)2()1(3

+++⎰的值最小。

11、设函数f(x)在),(+∞-∞内具有一阶连续导数，L 是y>0是的有向分段光滑曲线，起点

A （1，2），终点

B （4，2

1），记dy xy y y

x dx xy f y y

I L

]1)([)]((1[12

2

2

-+

+=

⎰

（1）．求证：曲线积分与I 的路径无关。 （2）。计算I 的值。

12、⎰Γ

-+ydz zdy dx x 2

，

其中Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上对应θ从0到π的一段弧。 13、

⎰-+-+L

x

x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222，L 为星形线：

⎰-L

s d y

x 1

)0(32

3

23

2>=+a a y

x

的正向边界。

14、⎰+-+-L

dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2

2

2

3

，L 是抛物线22y x π=上从点

)0,0(A 到点)1,2

(

π

B 的弧段。

15、证明：积分⎰

-++-)

1,2()

0,1(3

24)4()32(dy xy x dx y xy 与路径无关，并计算该积分。

16、验证dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++是某函数),(y x U 的全微分，并求出),(y x U 。

17、⎰⋅Γl d F ,其中k y x j x z i z y F

)()()(2

22222-+-+-=, 为球面1222=++z y x 在第一卦

限部分的边界曲线, 且从指向坐标原点的方向看去, 即逆时针方向. 18、计算⎰

-+-=

L

x

x

dy y y e dx y e I )(sin )cos 1(,其中L 为从()0,0O 到()0,πA 的正弦

曲线x y sin = 。

19、确定λ的值,使曲线积分

dy y y x

dx xy x B A

)56()4(4

21

34-++-⎰

λ与路径无关，并求

当点A 、B 分别为)0,0(、)2,1(时曲线积分的值。

备用题

1、计算下列对弧长的曲线积分：

（1）⎰+L

n

ds y x )(2

2

，其中L 为圆周)20( sin ,cos π≤≤==t t a y t a x .

答案：1

2+n a

π

（2）⎰+L

ds y x )(，其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.

答案：2

（3）⎰L

xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2

x y =所围成的区域的整个边界.

答案：

()

12655

12

1-+

（4）⎰+L

y

x ds e

2

2

，其中L 为圆周2

2

2

a y

x

=+，直线x y =及x 轴在第一象限内所

围成的扇形的整个边界.

答案：242-⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

a e a

π