第八章 采样系统1

= x(0)δ (t) + x(T)δ (t −T) + x(2T)δ (t − 2T) +L
而
= x(0) ⋅ z + x(T) ⋅ z + x(2T) ⋅ z +L
0 −1 −2
X (z) = ∑x(nT) ⋅ z−n
n=0
∞
因此， 因此，若
bmz +bm−1z +L+b z +b0 1 X(z) = , n n−1 an z + an−1z +L+ a1z + a0
离散时间信号： nT) 变换： 离散时间信号：x(nT) → Z 变换： X(z)
定义
已知连续时间信号 x(t) ，其采样信号 x(nT)， ， 定义 z 变换
X (z) = Z[x (t)] = ∑x(nT) ⋅ z
∗ n=0 ∞ −n
证明： 证明：采样信号 x∗(t) = ∑x(nT) ⋅δ (t − nT)
连续时间信号x(t) ，其付立叶变换为 ω) 其付立叶变换为X( 连续时间信号 其频谱分量中的最高频率成分为ωa 对连续时间信号采样, 对连续时间信号采样,采样频率为ωs ,采样后的离 散时间信号x*(t) ,若 散时间信号
ω s > 2ω a
则可以从离散时间信号x 中将原连续时间信号 则可以从离散时间信号 *(t)中将原连续时间信号 x(t) 恢复。否则，会发生频率混迭，从离散时间 恢复。否则，会发生频率混迭， 信号中不能将原连续时间信号恢复。 信号中不能将原连续时间信号恢复。
1 1 1 X(s) = = − s(s +1) s s +1
1 1 x(t) = L [ − ] =1(t) − e−t s s +1
−1
1 1 z(1−e−T ) x(z) = Z[1(t) −e−t ] = − = −1 −1 −T 1− z 1− z e (z −1)(z −e−T )
4.Z 4. 变换的基本定理 线性定理
∑
∞
e − jnω s t
2π = Ts
Ts 2
---采样角频率 采样角频率
1 Cn = Ts
∫δ
Ts 2
T
(t ) ⋅ e
− jnω s t
−
1 = Ts
连续信号频率特性 X ( jω )
离散信号频率特性
1 * X ( jω ) = Ts
n = −∞
∑ X ( jω + jnω )
s
∞
定理内容
1 •• xn (t) = x(nT) + x(nT)(t − nT) + x(nT)(t − nT)2 +L t = nT 2
•
1 & x(nT) = {x(nT) − x[(n −1)T)]} T
1 &&(nT) = {x(nT) − x[(n −1)T)]} & & x T
零阶保持器： 零阶保持器：将前一时刻的采样值不增不 地减的保持到下一时刻 不仅保持样点的幅值， 不仅保持样点的幅值，而且保 一阶保持器: 一阶保持器 持采样点的斜率至下一时刻。 持采样点的斜率至下一时刻。
Ts
1−e−Ts 1 1 T Gh (s) = = (1− Ts ) ≈ s s e 1+Ts
1 1+ Ts 2 Gh (s) ≈ T ⋅ 1 2 2 1+Ts + T s 2
1. z 变换
采样信号的Z变换 §8.3 采样信号的 变换
拉氏变换： → 拉氏变换：X(s)
连续时间信号： 连续时间信号：x(t)
而不带有原信号采样点之间的任何信息。 而不带有原信号采样点之间的任何信息。
Z 变换的时间特性
时域离散信号
x (t) = ∑x(nT) ⋅δ (t − nT)
∗ n=0 ∞
= x(0)δ (t) + x(T)δ (t −T) + x(2T)δ (t − 2T) +L
离散信号的 Z 变换
X (z) = ∑x(nT) ⋅ z−n
§8.2 信号复现与零阶保持器
1.基本概念 1.基本概念 信号复现： 信号复现：从采样信号中复现连续时间 信号。 信号。 保持器：将采样信号恢复为连续时间信号 保持器： 的器件， 的器件，其任务就是解决各采样 时刻之间的差值。 时刻之间的差值。
2.保持器 2.保持器 在采样点附近将信号展成泰勒级数
∆ xn = ∆ xn+1 − ∆ xn
2
= [x(n) − x(n −1)] −[x(n −1) − x(n − 2)]
= x(n) − 2x(n −1) + x(n − 2)
n阶差分 阶差分
∆ xn = ∆ xn − ∆ xn−1
n
n−1
n−1
差分的方向： 差分的方向： 当前时刻为n 当前时刻为n 前向差分
∆xn = x(n +1) − x(n)
3.零阶保持器的传递函数 3.零阶保持器的传递函数
零阶保持器 G (s )
gh (t) =1(t) −1(t −T)
零阶保持器传函
1 1 −Ts 1− e−Ts Gh (s) = − e = s s s
零阶保持器频率特性
1− e Gh ( jω) = jω
− jωT
=
e
1 − jωT 2
(e
1 jωT 2
−αt
αT
变换域微分定理
d Z[t ⋅ x(t)] = −Tz ⋅ [X (z)] dz
初值定理
x(0) = lim x (t) = lim X(z)
t→ 0 z→ ∞ ∗
终值定理
x(∞) = lim x (t) = lim(z −1)X(z)
t→ ∞ z→ 1 ∗
5.Z 5. 反变换 已知 X(z) 反演积分法 幂级数法 部分分式法
z >1
2.典型信号的 2.典型信号的 z 变换 典型信号 理想单位脉冲信号
A = ∫ δ (t)dt =1
0− 0+
Z[δ (t)] = ∑x(nT) ⋅ z−n
n=0
∞
x(nT)=δ (t )
=1
单位阶跃信号
X(z) =
∑x(nT)⋅ z
n=0
∞
−n
=
∑1(nT)⋅ z =1+ z + z +L
n=0
∞
拉式变换 令：z = e 得：
X ∗(s) = L[
Ts
∑
n=0
∞
x(nT) ⋅δ (t − nT)] =
∑
n=0
∞
x(nT) ⋅ e−nTs
X (z) = Z[x (t)] = ∑x(nT) ⋅ z
∗ n=0
∞
−n
Z 变换说明
X1(z) = X2 (z) = X3(z)
z变换所处理的对象是离散时间序列， 变换所处理的对象是离散时间序列，
第八章 采样控制系统分析
目的
初步掌握采样系统的数学描述方法及采样系 统的基本分析方法
内容
掌握采样系统的数学描述方法 掌握采样定理 掌握采样系统的分析方法
引言： 引言：
ugd
uf
电 位 器 V+ 率 功率 功 放大 大 放 器
u
动 电 机
载 负
电动机
n
测 速 电 反馈元件 发 机
r(t)
e(t) _
x(nT) = −10+10⋅ 2
n
6.差分方程 6.差分方程
微分方程 差分方程
差分： 差分：两个样点信息之间的微商即称为 差分
忽略T 忽略
差分的阶： 差分的阶：采样点间信号平均变化率的 不同称为差分的阶。 不同称为差分的阶。
一阶差分 二阶差分
∆xn = x(n) − x(n −1)
∆ xn = ∆xn − ∆xn−1
−n n=0
∞
−1
−2
为等比级数
1 X (z) = 1− z−1
或
X(z) =
z z −1
单位斜坡信号
∞
x(t) = t ⋅1(t)
−n
Tz X (z) = ∑(nT) ⋅ z = (z −1)2 n=0
正弦信号
1 z z z ⋅ sin ωT X(z) = [ − ]= 2 jωt − jωt 2 j z −e z −e z − 2cosωT ⋅ z +1
n = −∞
∑ X (s + jnω )
s
采样信号的频率特性
1 * X ( jω ) = Ts
n = −∞
∑ X ( jω + jnω )
s
∞
将理想单位脉冲序列展成傅氏级数
δ T (t ) =
ωs
n = −∞
∑
∞
δ (t − nT ) =
n = −∞
∑
∞
Cn e
− jnω s t
1 = Ts
n = −∞
采样过程
采样开关
x(t)
x*(t)
把连续信号转 换成离散信号 的过程
采样信号的数学表示
x (t ) =
*
∑
n=0
∞
x( nT ) ⋅ [1(t − nT ) − 1(t − nT − τ )]
1
τ
x * (t ) =
∑
n =0
∞
源自文库
x (nT ) ⋅ δ (t − nT ) = x ( nT ) ∗ δ T ( nT )
Z[a1 ⋅ x1(t) + a2 ⋅ x2 (t)] = a1X1(z) + a2 X2 (z)
实位移定理
Z[x(t − mT)] = z ⋅ X(z)
Z[x(t + mT)] = zm ⋅ X (z) − zm ⋅ ∑x(mT) ⋅ z−m
m=0 m−1
−m
复位移定理
Z[x(t) ⋅ e ] = X(z ⋅ e )
→ 求 x(nT) nT)
反演积分法
x(nT) = ∫ X(z) ⋅ (z −1) ⋅ dz
c
由留数定理
x(nT) = ∑Re s[X(z) ⋅ z ]
n−1 k
z = zk z = zk
= ∑(z − zk ) ⋅[X(z) ⋅ zn−1]
k
幂级数法 由
x * (t ) =
∑
n =0
∞
x(nT ) ⋅ δ (t − nT )
指数信号
1 X (z) = −αT −1 1−e z
z X(z) = −αT z −e
3.已知 3.已知 X (s)，求 X (z) ，
x(t) = L [X(s)]
−1
X(z) = Z[x (t)]
1 X(s) = s(s +1)
∗
例：已知时间函数的拉式变换为 试求其 Z 变换 解：
拉式反变换 则：
n=0 ∞
= x(0) + x(T) ⋅ z + x(2T) ⋅ z +L
Z-1 又称为一步延迟因子， z变换算子 又称为一步延迟因子， 带有明确的时间信息
−1
−2
Z 变换的收敛和特性
X (z) = ∑x(nT) ⋅ z−n
n=0 ∞
以z为自变量的罗朗级数。其收敛条件为 为自变量的罗朗级数 罗朗级数。
δT (t) = ∑δ (t − nT)
n=0
∞
2.香农采样定理 Shannon） 2.香农采样定理 （Shannon）
x (t ) = x(t )∑
* n =0 ∞
1 δ (t − nT ) = Ts
∞
n = −∞
∑ x(t ) ⋅ e
∞
− jnω s t
采样信号的拉式变换
1 * X (s) = Ts
3.采样定理讨论 3.采样定理讨论
采样定理从理论上指明了从采样信号x*(t)中恢复 中恢复 采样定理从理论上指明了从采样信号 的条件。 原连续时间信号 x(t) 的条件。对于频谱丰富的时 间信号，频谱成分的上限频率 是不存在的 间信号，频谱成分的上限频率ωa 是不存在的。另 理想的低通滤波器也是不存在的 外，理想的低通滤波器也是不存在的。 采样定理的物理意义是：若选择这样一个采样角 采样定理的物理意义是： 频率，使其对连续信号所含的最高频率分量来说， 频率，使其对连续信号所含的最高频率分量来说， 能做到一个周期采样两次以上 一个周期采样两次以上， 能做到一个周期采样两次以上，那么经采样所获得 的脉冲序列就包含了连续信号的全部信息。 的脉冲序列就包含了连续信号的全部信息。
−e
1 − jωT 2
)
jω
sin( ωT 2) =T ⋅ ⋅e ωT 2
−j
ω π ωs
ω 2π sin(π ωs ) Gh ( jω) = ⋅ ⋅e ωs π ωs ω
−
πω 2 ωs
T=
2π
ωs
4.零阶保持器的近似实现 4.零阶保持器的近似实现 由于 而
1 2 2 e =1+Ts + T s +L 2!
再乘以因子 Z 查表
例：求如下z域函数的反变换 求如下 域函数的反变换
10z X (z) = (z −1)(z − 2)
解：部分分式法
X(z) 10 10 10 = =− + z (z −1)(z − 2) z −1 z − 2
10z 10z X (z) = − + z −1 z − 2
Z反变换为
e*(t) A/D 数字控制器 数字计算机
u*(t) D/A
uh(t)
被控对象
c(t)
测量元件 计算机控制系统典型原理图
§8.1 信号的采样和采样定理
1.信号的采样 1.信号的采样 连续时间系统： 连续时间系统：系统各处的信号均为时间 的连续函数 连续函数 离散时间系统： 离散时间系统：系统中一处或几处的信号 为时间的断续函数 为时间的断续函数 断续
m m−1
n≥m
= c0 + c1z + c2z +L+ cn z +L
−1
−2
−n
则：
x(nT) = c0δ (t) + c1δ (t −T) + c2δ (t − 2T) +L+ cnδ (t − nT) +L
部分分式法
X (z) 分解为部分分式和的形式， 将 分解为部分分式和的形式，分解后 z