极限理论

十、无穷小量的性质(在同一变量变化过程中)
1.两个无穷小量之和是无穷小量. 2.无穷小量与有界量之积是无穷小量.
3.有极限的量总可以将它表示为该极限与无穷小量之和.
Ⅲ 、基本方法与典型例题
一、利用极限定义验证极限
例1 设 lim x n a ,证明 lim 3 xn 3 a . n
x x0 x x0
x x
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ).
x x0
lim f ( x ) A 0, 0, x : 0 | x x0 | , 有
| f ( x ) A | . | f ( x ) A | .
⑶用收敛子列的极限定义:
数列 {an } 的所有收敛子列中的最大极限值称为 {an } 的上
极限; 数列 {an } 的所有收敛子列中的最小极限值称为 {an } 的下极限.
二、函数极限
函数极限按自变量 x 的趋向来区分,有六种类型,即
x x0
x
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ),
x
x
九、不动点定理(压缩映象原理)
设函数 f ( x )满足:对任意 x, y I (其中I是区间),有
| f ( x ) f ( y ) | k | x y |,
其中 k : 0 k 1是常数,则存在唯一 x I ,使得 f ( x ) x . 这里 x称为 f ( x )的不动点.
sup E (i )x E有x ;
(ii ) 0, x0 E , 有x0 .
inf E (i )x E有x ;
(ii ) 0, x0 E , 有x0 .
5.数列 {an } 的上、下极限的定义
lim a a a max{a1 , a2 ,, ak }.
n n n 1 n 2 n k
2 x 例7 求 lim n 1 x n ( )n ( x 0). n 2 1 3 (2n 1) . 例8 求 lim n 2 4 (2n )
| f ( x ) | G .
三、无穷小量与无穷大量
极限为0的量称为无穷小量(在某一变化过程中); 有非正常极限的量称为无穷大量(在某一变化过程中).
Ⅱ 、基本理论
一、收敛数列的性质
1.收敛数列的极限是唯一的; 2.收敛数列是有界数列; 3.收敛数列具有保号性与保不等式性; 4.收敛数列的四则运算.
lim an a {ank } {an }, 有 lim ank a .
n k
七、斯笃兹(Stolz)定理
1.设{ yn }是严格递增的正无穷大数列,它与数列 { xn }
l xn 1 xn ,则 一起满足: lim n y n 1 yn
二、函数极限的性质
1.函数极限是唯一的; 2.局部有界性;
3.局部保号性与局部保不等式性;
4.函数极限的四则运算.
三、函数极限与数列极限的联系(归结原理)
x x0
lim f ( x ) A { xn } U o ( x0 ), xn x0 ( n ), 有
lim f ( xn ) A.
(2) lim g( x T ) f ( x) (3) lim , x g ( x T ) g ( x ) l f ( x) 则 lim . x g ( x )
数列 {an } 有上界(下界,有界)
M 0, n N 有an M (an M ,| an | M ).
数列 {an } 无上界(下界,无界)
M 0, n0 N有an0 M(an0 M ,| an0 | M ).
4.集合E的上、下确界定义
l f ( x T ) f ( x) (3) lim , x g ( x T ) g ( x ) l f ( x) 则 lim . x g ( x )
x
2.设 T 0 为常数,如果定义在 [a, )上的函数 f ( x ), g( x ) 满足: (1) 0 g( x T ) g( x ), x [a, ),
l xn lim . n y n
2.设数列 lim xn lim yn 0 ,且数列 { yn } 严格单调递减,
n n
l xn 1 xn ,则 若 lim n y n 1 yn
l xn lim . n y n
八、斯笃兹定理的推广
1.设 T 0 为常数,如果定义在 [a, )上的函数 f ( x ), g( x ) 满足:(1)函数 f ( x ), g( x )在[a, )的任何有限区间上有界,
(2) x [a , ), 有g( x ) g( x T )且 lim g( x ) +，
n
例14 设函数 f ( x )在[a, )上有定义,内闭有界,且
f ( x 1) f ( x ) lim l ( l 为有限数或 ), n Z . n x x f ( x) l lim n 1 . 试证明: x x n1
八、定积分法
例15 求下列极限:
o
x x0
lim g( x ) lim h( x ) A,
x x0
则 lim f ( x ) A.
x x0
六、单调有界原理
单调有界数列必收敛.
1.单调增加有上界的数列必收敛,并且数列的极限值不 小于该数列的任意项.
2.单调减少有下界的数列必收敛,并且数列的极限值不 大于该数列的任意项. 3.设数列 {an }单调,则
n
四、柯西准则
1.数列的柯西收敛准则
{an }收敛 0, N N , n, m N , 有 | an am | .

0, N N , n N 及p N , 有
| an p an | .
{an }发散 0 0, N N , n0 N 及p0 N , 有
lim f ( x ) A 0, M 0, x :| x | M , 有
x
| f ( x ) | G . lim f ( x ) G 0, M 0, x :| x | M , 有
x
x x0
lim f ( x ) G 0, 0, x : 0 | x x0 | , 有
n
例2 设函数 f ( x )满足: f (0) 0. f (0) 存在且有限,令
xn
k 1
n
k f ( 2 ), 求 lim x n . n n
二、初等方法
例3 计算下列数列的极限:
x x x (1) xn cos cos 2 cos n ( x 0); 2 2 2 1 1 1 (2) xn (1 2 )(1 2 ) (1 2 ); 2 3 n
2
例17 设 an 0( n 1, 2,),
a
n 1

n
1, An ak ,求极限
{ xn } 收敛,并求其极限.
1 例11 设 a1 1, an1 an , n 1,证明: an
(1)lim an ;
n
(2) a .
n 1 1 n

六、柯西收敛准则
1 1 例12 设 xn , yn 2 , n 1, 2, ,证明:数列 k 1 k k 1 k
| f ( x) f ( x) | .
五、迫敛性
1. 数列收敛的迫敛性定理
{ a } { b } 如果数列 n 与 n 都收敛于a,又N N , n N ,
有an cn bn ,则数列 {cn } 也收敛于a.
2. 函数极限的迫敛性定理
如果在某 U ( x0 )内,有 g( x ) f ( x ) h( x ) ,且
⑴ N 语言 0, N N , n N , 有 | an a | ; ⑶子列形式 {an } 的任意子列 {ank } 都收敛于 a.
⑵邻域形式 0, U (a, ) 之外至多只有 {an }中的有限项.
3.数列有上、下界,有界,无上、下界,无界的定义
{ xn }发散,{ yn }收敛.
七、斯笃兹定理的应用
例13 设 lim xn a 0 ,证明:
n
x1 x2 xn (1) lim a; n n
(2) lim
n
n 1 1 1 x1 x2 xn
a;
(3) lim n x1 x2 xn a( xn 0).
第一章
极限理论
Ⅰ、基本概念
一、数列极限
1.数列 {an } 收敛与发散的定义
数列 {an } 收敛 a R, 有lim an a; 数列 {an } 发散 a R,有lim an a .
n n
an a 的定义,有如下等价形式: 2.数列 {an } 的极限 lim n
1 2p np (1)lim ( p 0); p 1 n n 2 n sin sin sin n n n ). (2) lim( n n 1 1 1 n n 2 n
九、中值定理法
a a ). 例16 求极限 lim n (arctan arctan n n n1
| an0 p0 an0 | 0 .
2.函数极限的柯西准则
x x0
lim f ( x )存在 0, 0, x, x U o ( x0 , ), 有
| f ( x) f ( x) | .
x x0
lim f ( x )不存在 0 0, 0, x, x U o ( x0 , ), 有
(3) xn sin 2 ( n 2 n ).
三、变量替换法
2 例4 求 lim( n 2 2 2 2 2 2 ). 2 2
1 n 1 n1 n
例5 设 x 0 ,求 lim n 2 ( x x
).
四、迫敛性定理
例6 设 a1 , a2 ,, ak 为k个正数,证明:
sup{an , an1 ,}存在,则称其 ⑴用确界定义: 若极限 lim n
为数列{an } 的上极限,记为 lim an .
n
inf{an , an 1 ,} 存在,则称其为数列 {an } 若极限 lim n
an . 的下极限,记为 lim n
⑵用聚点定义: 数列 {an } 的最大聚点称为{an } 的上极限, 最小聚点称为 {an } 的下极限.
例9 设数列{an },{bn },{cn } 满足: an
2 2 bn cn
4 bn 5,4 cn 5,求 lim a n .
n
bn cn
an1 , a1 0,
五、单调有界定理
例10设x1
A( A 0), xn1 A xn , n 1, 2, ,证明