《抛物线中等腰三角形存在性问题及平行四边形存在性问题探讨》

抛物线中等腰三角形存在性问题及平行四边形存在性问题探讨

高邮市赞化学校段广猛

（题目来源：高邮市赞化学校九年级寒假检测，即寒假作业4最后一题）

题目如图1，在平面直角坐标系中，已知点C （0，4），点A 、B 在x 轴上，并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为底边的等腰三

角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点Q 为线段AC 上一点，若四边形OCPQ 为平行四边

形，求点Q 的坐标.

学生解题、教师讲题要做到以下四步：求“解”、求“思”、

求“变”、求“通”，笔者称之为“解题四部曲”.

第一步，求“解”：

对于第（1）问，可利用A、B 坐标设成“交点式”

y=a(x+1)(x-4)，代入C 点坐标，易求得解析式为

234y x x =-++.

对于第（2）问，这是一个等腰三角形存在性问题，题目强

调“△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形”，故可作出线段AC 的

垂直平分线，其与抛物线的两个交点即为所求，如图2所示.这

里可以说真是“无巧不成书”，注意到本题中OA=OC=4这个特殊

性，易求得AC 的垂直平分线的解析式为y=x，具体可“反其道

而行”，操作如下：过O 作OD ⊥AC 于D，由△AOC 为等腰直角三

角形可证OD 垂直平分AC，从而直线OD 与抛物线的两个交点P 1、

P 2即为所求，而且直线OD 的解析式显然为y=x，将之与抛物线

联立得234y x y x x =⎧⎨=-++⎩，解之得1515x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或1515

x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而要求的P 点坐标为(15,15)++或(15,15)--.

对于第（3）问，这是一个平行四边形存在性问题，题目已强调其“名字”，即“四边形OCPQ 为平行四边形”，顺序已定，并且“点Q 为线段

AC 上一点”，导致本题只有一种可能，无需分类，但需

画图分析，如图3所示.由抛物线解析式及直线AC：

y=-x+4，可设P（t,2

34t t -++），Q（t,-t+4），于是

PQ=P y -Q y =2(34)(4)t t t -++--+=24t t -+，因为

OC=4，所以PQ=4，即244t t -+=，解得122t t ==，

故要求的Q 点坐标为（2,2）.

第二步，求“思”：

学生解题后、教师改题后都需要有反思的习惯.

对于第（2）问中等腰三角形的存在性问题，本题的

解题策略是求出AC 的垂直平分线，进而与抛物线联立解方程求出P 点坐标，对于这点也可以用“确定性思想”去分析，A、C 两点是确定的，线段AC 的垂直平分线也随之确定，这样其与抛物线的交点也就确定了，即为所求，而且借助“因果关系”分析，最终的P 是由最初的A、C 两点形成的，也应该可以由AC 两点一步一步逐渐求出，先想办法求线段AC 的垂直平分线的解析式，进而联立抛物线求交点即可，这就是我所要表达的“基于确定性思想的因果关系分析法”（详见本人作品《圆与等腰三角形存在性问题综合一例———浅谈确定性思想及因果关系分析法》）.另外，此题中动点P 的确定依赖于定边AC，也体现了出了“以不变应万变——抓不变量”的重要性.

在批改学生作业的过程中，发现部分学生直接利用PA=PC，用勾股定理（或两点间距离公式）建立方程，表面上得出了一个四次方程导致无功而返.当动点P 在抛物线运动时，一般情况下不用此方法，不是因为这个方法不对，是限于学生不会解高次方程导致行不通，不是方法超纲而是解方程超纲，这一点学生也需要进行反思、琢磨，而且此法对于很多等腰三角形的存在性问题都不失为一种通法，在第三步“变”的过程中，同学们会进一步体会到什么时候均可以采用此法实现“通杀”.难道此法真的在此题中行不通吗？请往下看：

由题易知A （4,0），C （0,4），设P （t,234t t -++），则2222(t 4)(34)PA t t =-+-++，

2222t (3)PC t t =+-+，当△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形时，有PA=PC，即22PA PC =，即222222(t 4)(34)t (3)t t t t -+-++=+-+，即22(t 4)t --=2222

(3)(34)t t t t -+--++，24(2t 4)4(264)t t --=--++

，整理得2240t t --=，解之得11t =+，21t =-

故要求的P 点坐标为(1+或(1-.

上面解法中的解方程过程中巧妙利用了“移项”技巧结合“平方差公式”将四次方完美消掉，如果看不出这种技巧，将22(34)t t -++中

“23t t -+”看成一个整体，采取整体思想进行展

开，依然可以消去四次方，所以表面上是一个四次

方程，其实质根本就是一元二次方程，因而行得通，

只不过可能你缺乏了“计算到底”的耐心与信心罢

了！

另外此法里学生需关注到“两点间距离公式”

的熟练使用，即设P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)，则P 1与

P 2两点间的距离为P 1P 2，

其本质即为勾股定理，如图4所示.

对于第（3）问中平行四边形的存在性问题，本题已给出该平行四边形的“名字”，即四个字母已有顺序性，若是没有“名字”，本问应该要分类解决.首先抓住这个四边形中不变的两个顶点O 和C，采取“抓不变量——以不变应万变”的解题策略，分OC 作为边及OC 作为对角线两种情况，画图分析解决，请记住养成“没事画画图”的好习惯，只有借助于草图来分析，才能更好地找到解决问题的出路，而且“画图越准确越好”！另外，此问中还有一个简化条件“点Q 为线段AC 上一点”，若将该条件弱化成“点Q 为直线AC 上一点”，此题难度顿时提升，真正能拿到满分的同学估计会少之又少，而且此时能真正采取最佳解题策略的同学更会是“凤毛麟角”.具体如何操作我会在第三步求“变”中一一展开.

第三步，求“变”：

梁启超先生在《变法通议》中说道“变者，天下之公理也！”数学解题又何尝不是呢！上一步求“思”过程中已有一些对本题条件的变化，只有“灵活多变”，才能把握住数学规律，进而能运用自如.

对于第（2）问中等腰三角形的存在性问题，此题可以说是太“巧”了！若是△AOC 不是等腰直角三角形，又该如何确定AC 的垂直平分线的解析式，进而通过“求交点坐标”的

方法确定点P 的坐标呢？

变式1：如图5，在平面直角坐标系中，已知点A（4,0），

B （-1,0），

C （0,3），动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．是

否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形？若存在，

求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.首先求出抛物线的解析式为239344

y x x =-++.然后依然可以作出线段AC 的垂直平分线，其与抛物线的两个交点即

为所求，如图6所示.此题中不再具有OA=OC 这个特殊性，线

段AC 的垂直平分线不再过原点了，该如何求呢？这成了解题

的关键点也是难点所在了！关注到这条垂直平分线的画法：先取线段AC 的中点D，再过点