第12讲 一次函数教案

一次函数教案
适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）120
知识点一次函数的概念及其性质
教学目标1.理解正比例函数的性质，会画出它的图象并能结合图象回答问题。

2.会画出一次函数图象，理解一次函数的性质，并能结合性质解决图象位置、面积等问题。

3.能根据问题的信息确定自变量在不同范围内的一次函数关系式。

教学重点 1.正比例函数的概念、图象与性质
2 .一次函数（包括正比例函数）图象与性质。

教学难点
1.体验研究函数的一般思路与方法。

2.理解一次函数、正比例函数的概念及关系。

在探索过程中，发展抽象思维及概括能力。

3.如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质，并培养属性结合解决问题的能力。

4．对数学建模的过程、思想、方法的领会，提升分析解决问题的能力。

教学过程
一、课堂导入
世界不断变化发展，生活中充满许多变化的量，而这些变化的量之间往往存在这样活那样的关系，为了研究和揭示变量的变化规律，我们将系统地学习函数的相关知识——正比例函数、一次函数。

二．复习预习
1.变量：在某个变化过程中，可以去不同值的量叫做变量。

2.常量：在某个变化过程中，保持同一数值的量或数，叫做常量或常数。

如在圆的面积公式中S=πR²中，S与R为变量，π为常量
3.函数概念：在某个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个正确的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x是自变量，y是x的函数。

注意：（1）在某个变化过程中，有两个变量；
（2）理解“x的每一个正确的值”；
（3）理解“对于x的每一个正确的值，y都有唯一确定的值与之对应”；
（4）注意正确判断“谁是谁的函数”；
（5）正确确定自变量的取值范围；（6）理解函数与函数值的区别和联系。

三、知识讲解
1.一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连
b，成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-
k 0）.即横坐标或纵坐标为0的点.
2.k 、b 符号对一次函数图象的影响：
一次函数
正比例函数
b 0> b 0< b 0=
k 0>
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大
k 0<
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
从上表可以看出k、b对函数图像的影响，我们也得到判断k、b符号的方法：
(1)判断k正负的方法
①从图像倾斜方向上看：左低右高形如“∕”，k＞0；
左高右低形如“﹨”，k﹤0.
②从图像经过的象限看：图像如果过第一、三象限k＞0；
图像如果过第第二、四象限象限k﹤0.
③从增减上看：x增大y也增大，k＞0；
x增大y反而减小，k﹤0.
(2)判断b正负的方法：b是直线与y轴交点的纵坐标，所以通过直线与y 轴交点判定b的符号：
b 0,= 直线与y 轴交于原点
b 0＞，
直线与y 轴交点在x 轴上方 b 0﹤， 直线与y 轴交点在x 轴上方
3.正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y kx b =＋的图象是一条直线，它可以看作是由直线y kx =平移b 个单位长度而得到（当b 0>时，向上平移；当b 0<时，向下平移）.
4．直线=+11y k x b 与=+22y k x b 的几种位置关系
（1）两直线平行：1212k k b b =且 （2）两直线相交：12k k
（3）两直线重合：121k k b b ==且 2 （4）关于y 轴对称：120k k ＋＝，12b b ＝；
（5）关于x 轴对称：120k k ＋＝，120b b ＋＝； （6）垂直：121k k •＝－
5.与一次函数有关的面积问题求解：
当一次函数图象与两坐标轴相交或两条相交直线与坐标轴相交时就会得到
封闭图形，形成面积问题。

面积问题有两种类型：
一是封闭图形是规则图形，这时可以直接使用面积公式。

二是封闭图形不规则，我们可以将一个不规则图形或难于不易求面积的规则图形，分解成几个易于求面积的规则图形，求出各部分面积后相加.
一次函数y=kx+b 与两坐标轴围成的三角形的面积：S=k
b 22
四、例题精析
【例题1】
【题干】函数y ax b
=+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）=+与y bx a
A B C D
【答案】C
【解析】先规定一条直线解析式为y ax b
=+，由一条直线的图像确定a和b的符号，再与另一条对
=+另一条为y bx a
比，看是否一致.
【例题2】
【题干】若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a
【答案】16
【解析】由已知得，{88m a m b=-+=+两式相加，得16
+=
a b
【例题3】
【题干】已知函数y3x1
＝，当自变量增加m时，相应的函数值增加
【答案】3m
【解析】把()
+
＝
＝，则y3x+13m
+代入，y3(x+m)1+
x m
【例题4】
【题干】若m＜0, n＞0, 则一次函数y mx n
=+的图象不经过
．．．（）
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】C
【解析】y kx b =＋图像⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限
【例题5】
【题干】已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）
【答案】C
【解析】有图形可知，b=1,k>0,且y=0时，-1<x<0,2k>0,故选择C.
【例题6】
【题干】已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(-1，3)和点B(2，-3)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】
（1）12+-=x y （2）4
1 【解析】⑴依题意得{332=+--=+b k b k 解得 {21
-==k b ∴所求一次函数的表达式是12+-=x y ⑵令X ＝0，由12+-=x y 得，y ＝1，令y ＝0，由12+-=x y ，得X ＝
2
1 ∴直线AB 与坐标轴的交点坐标分别是()1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 所以所围成的三角形面积为：由 S=k b 22可得S=4
12212=⨯
【例题7】
【题干】将直线y 2 x- 4
向上平移5个单位后，所得直线的表达式是
【答案】y 2 x1
=+
【解析】直线y 2 x- 4
=与y轴的交点坐标为（0，-4），则向上平移5个单位后交点坐标为（0,1），则所得直线方程为y 2 x1
=+
【例题8】
【题干】在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交与A，B两点.
（1）求直线l的函数关系式；
（2）求△AOB的面积.
【答案】
（1）.4+-=x y （2）8 【解析】（1）设直线l 的函数关系式为)0(≠+=k b kx y ， ①
把（3，1），（1，3）代入①得⎩
⎨⎧=+=+,3,13b k b k 解方程组得⎩⎨⎧=-=.
4,1b k
∴直线l 的函数关系式为.4+-=x y ②
（2）在②中，令)0,4(,4,0),4,0(,4,0A x y B y x ∴==∴==得令得
.8442
121=⨯⨯=⋅=∴∆BO AO S AOB
【例题9】
【题干】如图，在平面直角坐标系中，直线4:43l y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A B 、，将 AOB △绕点O 顺时针旋转90°后得到A OB ''△.
（1）求直线A B ''的解析式；
（2）若直线A B ''与直线l 相交于点C ，求A BC '△的面积
C A
y x
O l A '
B '
【答案】（1）334y x =-. （2）184294722525A CB S =
⨯⨯=△′ 【解析】（1）由直线l ：4
43y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A B 、，
可知；()()3004A B ，，， ∵AOB △绕点O 顺时针旋转90°而得到A OB ''△
∴AOB A OB ''△≌△ 故()()0340A B ''-，，，
设直线A B ''的解析式为y kx b =+（0k k b ≠，，为常数）
∴有340b k b =-⎧⎨+=⎩解之得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
∴直线A B ''的解析式为334y x =- （2）由题意得：334443y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解之得：842512
25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴84122525C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又7A B '= ∴184294722525
A C
B S =⨯⨯=△′
【例题10】
【题干】如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）求点的坐标； （2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得 与的面积相等，请直接．．写出点的坐标．
1l 33y x =-+1l x D 2l A B ，1l 2l C D 2l ADC △2l C P ADP △ADC △P C y
x
o 3 1 4 A
B
3 23
- D
【答案】（1）D(1,0) (2) (3) (4) ． 【解析】 （1）由，令，得．
．． （2）设直线的解析表达式为，由图象知：，；，． 直线的解析表达式为． （3）由
解得 ．，
． （4）． 362y x =-193322
ADC S ∴=⨯⨯-=△(63)P ，33y x =-+0y =330x -+=1x ∴=(10)D ∴，
2l y kx b =+4x =0y =3x =32
y =-4033.2k b k b +=⎧⎪∴⎨+=-⎪⎩，326.k b ⎧=⎪∴⎨⎪
=-⎩，∴2l 362
y x =-333 6.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，23.x y =⎧⎨=-⎩，(23)C ∴-，3AD =193322
ADC S ∴=⨯⨯-=△(63)P ，
课程小结
1.本节课主要学习函数的概念；
2.主要学习了正比例函数、一次函数的图象和性质；
3.根据正比例函数、一次函数的图象和性质进行计算和解答。