探究不动点的奥秘

探究不动点的奥秘
一．不动点引入
在研学课的课堂上老师向我们简单的介绍了在数学函数中的不动点的性质，是指“被这个函数映射到其自身一个点”。

老师举了一个简单的例子：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。

可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。

把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。

拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。

通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。

纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的影子。

纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。

那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。

（因为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定对应于一部分纸团）
假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。

（因为它是在整个纸团之内）。

那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。

我们再次把多余的纸去掉。

就是说：
整个纸盒对应于纸团
纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块
纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块
纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块
…………………………
不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。

这是生活中不动点的例子。

老师接下来又举了个函数的例子：定义在实数上的函数f，
f(x) = x^2 - 3x + 4，
则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。

也不是每一个函数都具有不动点。

例如f(x) = x + 1就没有不动点。

因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。

用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。

这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

下面老师讲了不动点在函数迭代中的应用。

迭代时只有函数单调才有不动点，并
讲了一些例题。

二．不动点定理
如果f 是n+1维实心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射（n=1，2，3…），则f 存在一个不动点x∈Bn+1（即满足f（x0）=x0）。

此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。

不动点问题实际上就是各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）的求解问题，在数学上非常重要，也有很多的实际应用。

不动点定理- 定理启示
建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点．康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的．1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数．实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性．
这些都是不动点定理的一种延伸。

不动点定理- 等价形式
不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。

本文首先整合了以往文献关于不动点定理的一些等价形式，然后在H-空间中建立了新型的不动点定理、截口定理及应用。

全文共分为三章：第一章，简要介绍本文将要用到的凸分析，拓扑空间和集值映射中相关的概念和性质。

第二章，整合了不动点定理的一些等价形式。

首先，简单介绍了Brouwer不动点定理的几个重要的推广形式，然后通过一系列证明得出不动点定理的若干等价形式：Brouwer不动点定理KKM定理FKKM定理Ky Fan极大极小不等式Browder不动点定理Ky Fan 不等式ⅠKy Fan极大极小不等式的几何形式Ky Fan截口定理Fan-Browder不动点定理Ky Fan不等式Ⅱ。

第三章，首先，介绍了H-空间中一些重要的概念。

其次，在H-空间中建立了新的Fan-Browder型不动点定理及其几种等价形式。

不动点定理- 历史
布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就，还是更多更一般的不动点定理的基础，在泛函分析中尤其重要。

在1904年，首先由Piers Bohl 证明n = 3 的情况（发表于《纯綷及应用数学期刊》之内）。

后来在1909年，鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）再次证明。

在1910年，雅克·阿达马提供一般情况的证明，而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。

这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明，与数学直觉主义理想矛盾。

现在已知如何构造（接近）由布劳威尔不动点定理所保证的不动点，见例子(Karamadian 1977) 和(Istrăţescu 1981)。

不动点定理- 示例
这个定理可以通过很实际的例子来理解。

一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。

如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

地球绕着它的自转轴自转。

自转轴在自转过程中的不变的，也就是自转运动的不动点。

不动点定理- 理论
克纳斯特-塔斯基定理（Knaster–Tarskitheorem）在数学领域序理论和格理论中，克纳斯特-塔斯基定理，得名于克纳斯特（Bronis?awKnaster）和阿尔弗雷德·塔斯基（AlfredTarski），它声称：设L是完全格并设f:L→L是次序保持函数。

则f 在L中的不动点的集合也是完全格。

因为完全格不能是空的，这个定义特别保证f的至少一个不动点的存在，甚至一个“最小”（或“最大”）不动点的存在。

在很多实际情况中，这是这个定理最重要的蕴涵。

λ演算（lambdacalculus）是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。

它由丘奇（AlonzoChurch）和他的学生克莱尼（StephenColeKleene）在20世纪30年代引入。

Church运用λ演算在1936年给出判定性问题（Entscheidungsproblem）的一个否定的答案。

这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。

关于两个lambda演算表达式是否等价的命题无法通过一个“通用的算法”来解决，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。

Lambda演算对函数式编程语言有巨大的影响，比如Lisp语言、ML 语言和Haskell语言。

Lambda演算可以被称为最小的通用程序设计语言。

它包括一条变换规则（变量替换）和一条函数定义方式，Lambda演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。

因而，它是等价于图灵机的。

尽管如此，Lambda演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。

可以认为这是一种更接近软件而非硬件的方式。

邱奇-图灵论题（TheChurch-Turingthesis）是计算机科学中以数学家阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和阿兰·图灵命名的论题。

该论题最基本的观点表明，所有计算或算法都可以由一台图灵机来执行。

以任何常规编程语言编写的计算机程序都可以翻译成一台图灵机，反之任何一台图灵机也都可以翻译成大部分编程语言程序，所以该论题和以下说法等价：常规的编程语言可以足够有效的来表达任何算法。

该论题被普遍假定为真，也被称为邱奇论题或邱奇猜想和图灵论题。

不动点定理- 其它
克莱尼不动点定理（Kleenefixed-pointtheorem）在数学中，序理论的克莱尼（Kleene）不动点定理声称给定任何完全格L和任何连续的（因此单调的）函数f:L→L
f的最小不动点（lfp）是f的升Kleene链的最小上界
三．不动点的数学应用
不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或Banach不动点定理,完整的表达：完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理连续映射f的定义域包含值域,则存在一个x使得f(x)=x
不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上.假设X是拓扑空间,f:X→X是一个连续映射,且存在x∈X,使得f(x)=x,就称x是不动点
1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）
2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式
3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题
4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）
5 求解一阶递归数列的极限
这是利用不动点开立方（牛顿切线法）的例子
开方：
公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3设A=5，开3次方
5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。

例如我们取2.0.按照公式：
第一步：X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，输入值大于输出值，负反馈
2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。

第二步：X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，输入值小于输出值正反馈
1.7+0.01=1.71。

取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}输入值大于输出值，负反馈第四步：X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值正反馈
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。

X_4=1.7099.
当然也可以取1.1，1.2，1.3，。

1.8，1.9中的任何一个。

当你打开地图，找到你所在的位置，也许你不知道，但是你验证了一个数学中重要的定理——“不动点原理”中的“压缩影像定理”。

如果你的地图还很不规则，严重的变形，那么你还做了数学家认为很困难的事—在复杂的情况下，找到了不动点。

解方程无疑是数学中非常重要的问题，诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，这些方程都能改写成ƒ(x)=x形式，这就是不动点原理，数学家证明了很多不动点存在定理，但是具体找到不动点，除了特殊情况，依然是十分困难的事情。

不动点原理有很多种形式，涉及到很多数学分支，有关科普性的介绍可以参见前文，在此我们不展开详细讨论。

不动点原理有着很直观的几何意义，本文我们通过几个例子，试图使大家对不动点原理抽象的概念有一个直观的理解。

例一
假设你有一把精确的理想米尺A、将A缩小为B（不要求均匀按比例），再任意的放到A上，这时在相同的位置上，A与B刻度很可能不同，例如B的10cm也许在A的15cm上。

但是，不动点原理告诉我们，B上必有一点，在A，B上有相同的刻度，即所谓的“不动点”。

用数学语言描述这一过程：如果一条线段经过连续变换F，但其每个点仍然在这个线段上，也就是F(A)包含在A中，则必有一点位置c不变，即F(c)=c。

如果是按比例缩小，我们可以用几何方法很容易证明这一命题。

对一般情况，我们可以这样直观的证明：
设A的参数是t，压缩变换F: A→B（A包含B），假设F可微分，v=dF/dt。

想象两只蚂蚁a、b分别在A，B的起始端向终端爬行，a以速度1匀速运动，b以速度v（变速）运动，则a，b在相同的时刻分别在A，B的相同刻度上，直观的看，必有某个时刻T，a，b相遇，相遇的点就是“不动点”。

（但是要是具体找出这个点，随着F的复杂性会变得很困难。

）
例二
我们再看二维的情景：将地图A，例如中国地图，缩小（不要求均匀按比例）后记为B，将B任意地放到原图A上，地图B的每一个点在A上都有了新的位置，也许B的北京在A的上海位置，南京在成都位置。

但不动点原理告诉我们：B上必有一个点位置没有动，即该点在两张地图A、B上表示相同的位置。

X
如果按比例缩小，我们可以用平面几何（不很容易）证明【3，p138】。

对一般情况，这个例子我们很难给出一个简单直观的证明（如果学过区间套定理，可以利用该定理证明，证明思路可参考后面列举的一段微博对话），但我们可以给出一个很直观的解释：
想象你有一台精确的理想GPS，但是屏幕严重变形，如此，屏幕上显示一个变形且缩小的中国地图。

如果我们把中国国土看作一个大的地图A，GPS屏幕上的地图看作这个地图的缩小B，那么屏幕上显示你当前位置的点就是这个所谓的“不动点”。

事实上，当你用地图查找你所处的位置，就是寻找不动点（附近）的过程，假若你的地图又很不规则，那么你正在做一件数学上很困难的事情，找到不动点（附近）。

例三
再看三维的例子：我们把一块理想的蛋糕A从各个方向（不一定各向均匀）压缩成B，并在A内部任意移动，则不动点原理告诉我们：蛋糕中必有一个点没有位移，即不动点。

类似例二，直观上，我们可以这样理解：
把中国国土连同1000米上空看作一个大的蛋糕，假设你有一台未来的三维精确理想的GPS，而且假设你在空中悬浮（坐飞机，热气球？），你可以想象这个三维的GPS就是那个压缩后的蛋糕，这个GPS显示的你当前位置就是这个不动点。

看过上述3个例子，我们可以发现它们只是同一个问题在一、二、三维空间的直观描述。

在这个过程中“图像压缩”了，因而，这一现象在数学中称作“压缩影像定理”，它是诸多“不动点原理”中的一个，“压缩影像定理”有更一般的表述方式。

四．不动点的生活意义
回家后，对不动点问题的好奇促使我们对其继续深入的了解。

我发现不动点在经济中的用处也很大：近些年来, 经济形势发生了深刻的变化, 生产规模扩大, 垄断势力增强, 人们要谈判、合作、讨价还价, 但所有这一切都建立在个人理性的基础之上, 建立在竞争的基础之上. 随着这种竞争的日益加剧, 各种策略和利益的对抗、依存和制约, 使博弈论(主要是非合作博弈, 而非合作博弈理论中最重
要、最核心的概念是Nash均衡)达到了全盛时期, 由它的概念、内容思想和方法出发, 已经并将继续几乎全面地改写经济学, 也并将得到更加广泛的应用.Von Neumann就零和(所有局中人的收支和为零)的情况证明了非合作博弈均衡点的存在, 在1944年宣告了博弈论的诞生.1950年, Nash考虑了人非零和的情况, 他研究了人有限非合作对策(每个局中人的纯策略均为有限个, 均考虑混合策略), 分别应用Brouwer不动点定理和Kakutani不动点定理证明了Nash均衡的存在性.这一模型实际上假定：(1)对每个局中人来说, 所有信息都是公共的、完全的、对称的；(2)每个局中人都是完全理性的, 都能在各自策略集中选择对自己最有利的策略.对应用来说, 以上两个假设太理想了, 也太苛刻了, 因为它要求每个局中人都是神——无所不知且无所不能. 因此, 相当一段时间以来, 关于博弈论的研究就主要是数学家们的“专利”, 大量的论文也主要发表在数学杂志上, 经济学家们并没有表现出很大的兴趣和很高的热情, 而数学家们则总在日夜辛劳, 不断地改进和推广着各种定理.Harsanyi和Selten的工作分别在这两个方面提出了新的思想, 大大扩展了博弈论的应用(他们二位都是有数学背景的经济学家), 正因为如此, 他们才与Nash一起, 获得了1994年的经济学Nobel奖.。