线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第六章、二次型习题答案

∴ f 2 = 2 y − 2 y + y + 2 y − 2 y3 y 4
2 1 2 2 2 3 2 4
= 2 y − 2 y + ( y − 2 y3 y 4 + y ) + y
2 1 2 2 2 3 2 4
2 4
= 2 y − 2 y + ( y3 − y 4 ) + y
2 1 2 2 2
2 4
T
为正定矩阵， （2）因为D为正定矩阵， ）
f = X T DX
为正定矩阵. ∴ P DP 为正定矩阵
T
X = PY
=
Y T P T DPY
O A ∴ λE − O B − C T A−1C = 0
中所有特征值都大于0.
O λ Em − A =0 ∴ T −1 O λEn − ( B − C A C )
令
x1 = y1 + y2 x = y − y 2 1 2 x3 = y3 x4 = y 4
1 2 3 2 = 2 y − 2 y + 2( y + y3 y4 + y4 ) + y4 4 2 1 3 2 2 2 2 = 2 y1 − 2 y2 + 2( y3 + y4 ) + y4 2 2
( k + 2)
2
2 ( k + 2)
正定， （2）要使B正定，则 ）
λ1b > 0 λ2b > 0 λ > 0 3b
k2 > 0 k ≠0 ⇒ ⇒ 2 (k + 2) >百度文库0 k ≠ −2
5、 、
O A (1) P DP = O B − C T A−1C
∴ λE − ( B − C T A−1C ) = 0 中所有的 λ > 0
∴ B − C T A−1C 为正定矩阵。
0 0 1 0 0 1 0 0 −1 A1 −1 = 0 0 1 − 1 A = − A2 1 3 3 1 2 0 0 − 3 3 1 2 2 2 2 T −1 f 2 = X A X = x3 + x4 + 2 x1 x2 − x3 x4 3 3 3 x1 = y1 + y2 令 x2 = y1 − y2 x3 = 3 y3 x4 = 3 y 4
2 1 2 2 2 3
2 2 2 ∴ f1 = 2 y12 − 2 y2 + 2 y3 + 2 y4 + 2 y3 y4
令 x3
z1 = y1 z 2 = y2 1 = y3 + y 4 2 x4 = y 4
2 1 2 2 2 3
3 2 ∴ f1 = 2 z − 2 z + 2 z + z 4 2
第六章
二次型习题答案
一、二次型的 概念 二、化二次型为 标准型 三、正定二次型
复习题六
1、 令 、
f = X BX = X (λE + AA ) X
T T T
= X T λEX + X T AT AX = λX T X + ( AX )T ( AX )
= λ X + AX
2 T
>0
2 2 2、 f1 = X T AX = 2 x3 + 2 x4 + 2 x1 x2 + 2 x3 x4 、
Q X = PY 为正交矩阵，
1 b 0 ∴ A = b 1 − 1 的特征值为1，2，0 1 2 0 0 −1 a
A =0 ∴ 1 + 1 + a = 1 + 2 + 0
a = 1 ∴ b = 0
4、 、 （1）令 λE − A = 0 ）
λ −1
0 −1
0
−1 0 =0 λ −1
λ −2
0
λ (λ − 2) 2 = 0
2
λ1a = 0, λ2 a = λ3a = 2
B = ( KE + A) 的特征值为
λ1b = k 2 , λ2b = λ3b = (k + 2) 2
Q B = ( KE + A) 为实对称矩阵， 为实对称矩阵，
2
k2 ∴Λ =
令 z1 = y1 z =y 2 2 x3 = y3 − y4 x4 = y 4
∴ f2 = 2z − 2z + z + z
2 1 2 2 2 3
2 4
2 2 2 2 2 3、 、 解：x1 + x2 + ax3 + 2bx1 x2 − 2 x1 x3 = y1 + 2 y2