正定二次型
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5..4 正定二次型
一、定义：假设12(,)(),T n f x x x f X X AX == 为实二次型，T
A A =，12(,)T n X x x x O =≠ ，则
1、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==> ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵。
2、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==< ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵。
3、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≥ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半正定二次型，矩阵A 称为半正定矩阵。
4、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≤ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半负定二次型，矩阵A 称为半负定矩阵。
二、判定定理：
1、二次型12(,)n f x x x 正定A ⇔为正定矩阵12(,)()0T n f x x x f X X AX ⇔==> 12(,)n f x x x ⇔ 的标准型222
1122n n d y d y d y +++ 中的系数0,1,2i d i n >= 12(,)n f x x x ⇔ 的正惯性指数等于n 12(,)n f x x x ⇔ 的规范性为222
12n y y y +++ A ⇔合同于单位矩阵E ⇔存在可逆矩阵C 使得T
A C C =A ⇔的顺序主子式全大于零12(,)n f x x x ⇔- 负定。
证明：（1）二次型222
1122n n
d x d x d x +++ 正定0,1,2i d i n ⇔>= 事实上，如果0,1,2i d i n >= ，则对任意的12(,)n x x x O ≠ ， 22211220n n d x d x d x +++> ，即222
1122n n
d x d x d x +++ 正定。
反之，如果222
1122n n d x d x d x +++ 正定，则对于向量12(1,00),(0,10)(0,01)n εεε=== 有()0,1,2i i f d i n ε=>= （2）非退化现行替换不改变二次型的正定性
当1n =时，
111()f x a =假设命题对于1n -由于A 1211(,)T T
n n nn n f x x x X AX X aX x a x =+ 2、二次型12(,f x x 的标准型222
1122n n
d y d y d y +++ 中的系数0,1,2i d i n ≥= f ⇔)的规范性为
2221
2
r y y y +++ A ⇔)n 半负定。