热学第3章

3
v 2 4
m
2
2kT
mv 2
e 2kT
v 4dv
0
3kT m
3RT
v2
3kT m
3RT
一般情况：
(v)
0 (v)
f
vdv
最概然速率
vp
2kT 1.41 RT
m
平均速率
v
8kT 1.60 RT
m
方均根速率 v 2 3kT 1.73 RT
f (v)
m
vp
v
O
v v2
氧气摩尔特质征量 速率3.2例0 题10 mol
作业：
2、4、5、6、9、10、11、12、17、 18、21、22、23、24、26、28、 29、30
答疑地点：榆中校区东教学区四 楼中间教师休息室
周五 第8节答疑
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
第一节 气体分子的速率分布律
分布函数 速率分布函数 速率分布函数的归 一化条件
小球 随机事件的概率分布
（1）它们的速率分布；2）平均速率
f1(v)dv
dN1(v) N1 N2
1 1 2
4 (
m1
)3
2
e
m1v 2 2kT
v2dv
2kT
f2 (v)dv
dN2 (v) N1 N2
2 1 2
4 (
m2
)3
2
e
m2v 2 2kT
v
2dv
2kT
2）平均速率
v
0
vf1vdv
0
vf
2
v
dv
（1）曲线 ①
（2）曲线 ②
结束选择
随机事件 与概率
随机现象：有可 能出现多种结果的 现象。
随机事件：随机 现象的每一表现或 结果。
频率：某事件出 现次数对总次数的 比率。
概率：某事件频 率在总次数趋于无 限大时的极限。
不可能事件 的概率为零。
必然事件的 概率为一。
概率加法定理： 互不相容（互斥） 事件出现的概率的 和等于出现其中任 一事件的概率。
3
dN 4 m 2 emv 2 2kT v 2dv
N
2kT
Maxwell速率分布的约化形式
F(x) 4 ex2 x2 , 其中x= v
vp
dN =f (v)dv F(x)dx N
f (v)dv F(x)dx
注意：F(x) f (v)
分子速率间隔很小的情况：
v1 v
若v dv时，Nv1~v2 Nf (v)dv Nf (v1)v
泻流现象的广泛使用
1，同位素分离
n1'
n
' 2
J1 J2
1 4
n1
v1
1 4
n
2
v2
n1 n2
( m2 m1
)1/2
经过泻流后质量小的气体相对富集起来
2，分子束的研究------证实电子自旋和自旋磁
矩存在
注
U238 99.3% U235 0.7% 1次泻流后，0.7%---0.703% U235 99% 2232级 UF6，室温是气体
m 2kT
(vx2
vy2
vz
2
)
N 2 kT
v2dv
速度分布的三个分量的分布函数
f(vx
)
(
m
2 kT
)1
2
e
m 2kT
vx2
f(vy
)
(
m
2 kT
)1
2
m
e 2kT
vy2
f(vz )
vx
( m
2 kT
=0,
)1
2
m
e 2kT
v
2 x
vz2
kT m
vxp 0
f (v)dv=f (vx )dvx f (vy )dvy f (vz )dvz
麦克斯韦速率分 布律的适用范围
麦克斯韦速率分布 曲线的特征
速率分布函数
玻耳兹曼常数，若m、T 给定，
函数的形式可概括为
曲线
速率分布曲线 有单峰，不对称
快减 快增 两者相乘
速率 恒取正
Maxwell速率分布的几点说明：
1，dN是宏观小而微观大的数
2，对于混合气体，由于不同组分的分 子质量不同，混合气体没有统一的速率 分布，但对各组分分别适用
vz
dv x dv y
dvz
速度空间、相空间
v vz o
分子的速度分量限制在
vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz
vx vy
v x v y 内的分子数占总分子数的百分比
dN N
(
m
2kT
)3
2
e
m 2kT
(vx2
vy2
vz2
)
dvx dv y dvz
f (v) dN
在伽
............
尔顿
...........
板中 的分
............ ........... ............
布规
...........
律.
............
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
链接：卡文迪什的后代亲属德文郡八世公爵S.C.卡文迪什将自 己的一笔财产捐赠给剑桥大学，于1871年建成以H.卡文迪什命 名的实验室。近百年来卡文迪什实验室培养出的诺贝尔奖金获 得者已达26人。麦克斯韦、瑞利、J.J.汤姆孙、卢瑟福等先后 主持过该实验室。
气体分子的最概然 速率
最概然速率
物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小
温度 27 C 处于平衡态
气体分子的
和
27 273 300 （ k ）
394 ( m s ) 447 ( m s )
483 ( m s )
三种速率大小比较的定性分析
试证明，方均根速率总大于等于均方根 速率
对称分布求平均值的 作图法
三种速率与压强、密度的关系
例：某种气体的压强300mmHg、密 度0.3g/l,求此时气体分子的三种速率
罗伯特·奥本海 默 ，试制原子
弹计划的负责 人。“曼哈顿 计划”实验室 主任
美籍意大利裔物 理 学 家 恩 里 科 ·费 米的“链式反应”理 论使原子核裂变反 应成为现实。
分子射线束 与麦克斯韦发射分布
J 1 nv 4
dJ
1 4
nf
(v)vdv=f B (v)dv
单位时间通过 单位面积速率 区间的分子数
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
求平均值的问题
-----平均速率、方均速率 …
由于 f v dN 则 dN Nf vdv Ndv
有 vdN vNf vdv
v
1 N
0 vNf
vdv
0
vf
v dv
v 8kT 8RT
m
-----方均根速率
v2 v2 f vdv 0
3，适用于理想气体、非理想气体、液体、 固体及在恒定外力场中的经典系统
4，非平衡态不适用
麦克斯韦
（James Clerk Maxwell 1831-1879）
英国伟大的理论物理学家。 剑桥大学 的实验 物理学教授，卡文迪什实验室主任。麦克斯韦 是集电磁学大成的伟大科学家。
1879年11月5日麦克斯韦因癌症不治于剑桥 逝世，终年49岁。
可以计算：分子数介于v1~v2即x1~x2之 间的分子数的比率
可以计算：分子数介于v~无穷之间
的分子N数v~的 比1率 erf (x) 2 xex2
N
高例 速如 分 子 数 量
v=10.2vp
v=13.7vp
N 1.541043 N
N 51081 N
科学家简介
王竹溪，物理学家、教育家。 北京大学副校长。 1935年留 学剑桥大学。是我国热力学 统计物理研究的开拓者。王 竹溪著的《热力学》和《统 计物理学导论》，是 经典的
理论物理教材。成为在我国 物理学界教科书的典范。
补充：积分公式
I ex2 dx
I2 ex2 dx ey2 dy e(x2 y2 )dxdy
2 er2 rdrd 00
2 er2 rdr 0
I ex2 dx , ex2 dx
0
2
练习
利用麦克斯韦速率分布推导动量分布的 表达式
1 8kT 2 8kT
1 2 m1 1 2 m2
二维速度分布和速率分布
例：真空系统中固体表面形成一 个单分子层，这层分子可自由的 在固体表面滑动，可以十分近似 的看成二维理想气体如分子是单 原子分子，吸附层的温度T。给出 表示分子处于速率为v-v+dv范围 内的概率f(v)dv的表达式
v1
例气体分子速率区间vp～1.01vp分子数的比率
N 4 x e2 x2 x, x 1, x 0.01
N
8.310 3
分子速率间隔大的表达式
N0~v 4 x x2ex2 dx 2 x xex2 d (x2 )
N
0
0
2 x xd (ex2 )
0
erf(x)
2
xex2
2
0
n(
m
)1 2
2 kT 0
e
m 2kT
vx2
v
x
dv
x
1 nv
1 nv
4
6
dtdA
碰壁数 J 1 nv
4
单位时间碰到 单位面积的分
子数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dJ 1 nvf(v)dv 4
dJ nvxf(vx )dvx
单位时间碰到 单位面积v速率 区间的分子数
举 例
T3-19
练习1
一容积为一升的容器，盛有温度为 300K、压强为3.0×104Pa的氩气，器
速度分量的约化形式
Fx (x)
1 ex2 , 其中x= vx
vp
麦克斯韦速度分布函数与速率分布函数：
dN 4 (
m
)3
2
e
m 2kT
v
2
v2dv
N
2 kT
分量分布函数与总分布函数的关系
dN N
f
(v)dv=f
(vx
)f
(vy )f
(vz )dvxdvydvz
独立事件概率的乘法定理
有关麦氏分布的两种说法：
核燃料的生产
离心法、气体扩散法、电磁分离法， （以上三种方法是富集铀235）
铀-石墨核反应堆、铀-重水核反应堆， （以上两种方法是生产钚239） 负责扩散法分离核素的是化学家尤里 负责电磁法分离核素的是物理学家劳伦斯
负责实施链式反应和提取钚的是 物理学家康普顿
1938 年 ， 德 国 物 理 学 家 奥 托 ·哈 恩发现核裂变 ，开 创了人类利用原子 能的新纪元。
间 v~v+dv 的分子数占总分子数的比率为
3
f v 4 m 2 emv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦 速率分布
函数
3
dN 4 m 2 emv 2 2kT v 2dv
N
2kT
f(v) 称为麦克斯 韦速率分布函数， 式中的 T 为气体的 热力学温度，m 为 气体分子质量。
概率的乘法定理
*麦克斯韦发射分布 *分子束中分子的平均速率
麦克斯韦发射分布
vB = vfB (v)dv=
0
0
v2f(v)dv
v
v2 v
9 RT 8
v2 4kT m
vBp
3RT
例题
已知：温度为T的混合理想气体由分子质量为 m1、物质的量为v1的分子及分子质量为m2、 物质的量为v2的分子所组成，试求
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比 .
区间的分
f(v):速率分布函数
dN f (v)dv
N
N v2 f vdv
N
v1
物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间 的分子数占总分子数 的比率。
0
f
v dv
1
归一化条件
麦克斯韦气体速率分布律
Maxwell
在平衡态下，当气体分子分布在任一速率区
区间，则分布在 vP所在区间的分子数比率最大。
d dv
f v vvp
0
解得
或
相同
〉
相同
〉
请在放映状态小下议点击链你接认为1是对的答案
f (v)
①
②
o
v
则代表氢的分布函数曲线为
（1）曲线 ①
（2）曲线 ②
结束选择
请在放映状态小下议点击链你接认为2是对的答案
f (v)
①
②
o
v
则代表氢的分布函数曲线为
速度空间单位体积元内的分子数
Ndvxdvydvz 占总分子数的比率，即速度概率
密度
dN N
(
m
2kT
)3
2
e m 2kT
(vx2
v y2
vz2
)dv
xdv
ydvz
速度分布在球坐标下的表示
dN (
m
)3
2
e
m 2kT
(vx2
vy
2
vz
2
)
v2
sin
dvd
d
N 2 kT
速
率 分 布
4 dN ( m ) e 3 2
壁上有一面积为1.0×10-3 平方厘米的
小孔，气体将通过小孔从容器中逸出， 经过多长时间容器里的分子数(压强） 减为原来的1/e？
答案 101秒
练习2：书中第11题
应用之二： 泻流、泻流条件、分子射线束
泻流条件
里面是平衡态在小孔处不和分子发生碰 撞，不会形成密度梯度，保证内部是平 衡态
出来的分子满足什么条件?
以下各量代表的含义
（A） v2 Nf v dv （B） vf v dv
v1
0
v2 vf v dv
（C） v1
v2 f v dv v1
（D）
v2 vf
v1
v dv
麦氏速率分布函数求分子数 应用之二：求气体分子数 两种情况： 分子速率间隔很小的情况：
误差函数
分子速率间隔大的情况：
Maxwell速率分布的约化形式 推导
x
ex2 dx
0
N0~v erf (x) 2 xex2
N
N0~v erf (x) 2 xex2
N
误 0~v
差 vp
函 数
v中
x
1
1.0876
erf(x) 0.8427 0.8759
N0 x N
0.4276 0.5000
v 1.128 0.8893 0.5329
v2 1.225 0.9168 0.6084
大量分子在v~v+dv区间的dN/N
长期跟踪一个分子，看它在v~v+dv 区间出现的dN/N
麦克斯韦速度分布应用举例 碰壁数、泻流 应用之一
碰壁数—单位时间碰到单位面积上的分子数
碰壁数公式推导
用麦克斯韦速度分布函数推导分子通量公式
分子通量公式（碰壁数）J
J= nf (vx )dvx vxdtdA