高等数学-第九章 三重积分及应用

( R > 0 )的公共部分.
D 2z
z R
R
2
提示: 被积函数缺 x , y
D1z
o x
y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1z
R R
z2 dz
2
dxdy
D2z
0R2z2(2Rzz2)dzR R2z2(R2z2)dz
59 R5
480
3、柱坐标代换
14dz (x2y2)dxdy 21 D z
1 21 4dz0 2d02zr3dr21
4
1
Dz
oy x
小结：
重积分计算的基本方法 —— 累次积分法 1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法
x2 y2
11
x2 y2
原式 dxdy z dz d x d y z d z
Dxy
0
1 x 2
0
2、 截面法 (“先重后单” “先二后一”)
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
适用范围：
Dz
y
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
例(截面法): 计算积分 z2dxdydz, 其中是两个球
x2y2z2R2及 x2y2z22R z
例. 计算 I (x 2 5 x2 s yix 2 n y 2 )d x d y d z ,其中
由 z1(x2y2)z , 1 ,z4围 . 成 2
解: Ix2dxdydz 5 xy 2six n 2y2dxdydz
利用对称性
z
1 2 (x2y2)dxdydz0
r2sindr
59
480
R5
0
0
0
2
d 0

2d
R r2cos2
2Rcos
r2sindr
3
例(球坐标法): 计算积分 (xyz)2dxdydz,
x2y2z22及x2 y2 z 的公共部分.
解: 对称性 (2xy2yz2xz)dxdydz0 ,
平z 面 0围.成
解: 两球面方程分别为: r=b和r=a,(a<b).
: 0 2
0
2
ar b
z r=a r=b
0a b y x
例(球坐标法): 计算积分 z2dxdydz,其中是两个球
x2y2z2R2及 x2y2z22R z ( R > 0 )的公共部分.
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V dxdydz
例. 求球体 x2y2z24a2被圆柱面 x2y22ax
(a0)所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D:02acos,0
z
2
由对称性可知
V4D 4a22dd

4 2 d
适 用 范 围 :
积 分 区 域 为 球 形 区 域 、 被 积 函 数 为 f(x 2 y 2 z2 )型
若 { (r,,)| ,1() 2(), r 1(,)rr2(,)}
f(x,y,z)dxdydz
d 1 2 ( ( ) ) d r r 1 2 ( ( , , ) )f ( r s i n c o s , r s i n s i n , r c o s) r 2 s i n d r
例. 计算积分 zdxdydz 其中由曲面
zx2y2,yx2及平面 y1,z0所围 .
法一: 积分域为
0zx2y2 : x2 y1
1x 1
x2 y2
原式 dxdy z dz
Dxy
0
11
x2 y2
d x d y zdz
①柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极 坐标计算 ②柱面坐标适用范围：
积 分 区 域 为 柱 体 区 域 或 投 影 域 适 用 极 坐 标 表 示 ; 被 积 函 数 为 f(x2 y2)型
例. 计算三重积分
dxdydz 1x2 y2
,
其中由抛物面
x2y24z与平面 zh(h0)所围成 .
适 用 范 围 : 积 分 区 域 为 球 形 区 域 、 被 积 函 数 为 f ( x 2 y 2 z 2 ) 型
确定r, , 的变化范围的方法:
： 根 据 投 影 区 域 ： 从 原 点 出 发 穿 过 立 体 的 射 线 于 z 轴 正 向 的 夹 角
r ： 从 原 点 出 发 穿 过 立 体 的 射 线 于 边 界 曲 面 的 交
解: 在球坐标系下
F (t) 0 2 d 0 s id n 0 tf(r)r2d r 4 t f(r)r2dr
0
F(0)0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F

(t ) t4
tl im044f (tt3)t2
limf (t) f (0) t0 t0
f(0)
04
0rR
z rR
4
oy x
例.由球面x2+y2+z22Rz=0和圆锥面cot2(x2+y2)=z2
围成的立体。
x2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos
cot2(x2+y2)=z2: =.
: 02，
0 0r2Rcos
z


0
y
x
例. zb2x2y2,za2x2y2(0ab)及
zR R
2
提示:
rR
r 2R cos
r2rcos
3
o x
y
原式 = 2d 3dRr2cos2r2sindr
或 =
00 2d0 2d00 2Rcosr2cos2 r2sindr
2
d
3
2d
Rr2cos2
根据图形 根据方程
三、重积分的应用 1. 几何方面
面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面
质量, 转动惯量, 质心, 引力
注：一定要用对称性结论 3. 其它方面
证明某些结论等
一、几何方面 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 zf(x,y)(,x,y)D, 则其体积为
VD f(x,y)dxdy
z
2 4
zh
h
解: 在柱面坐标系下 : 02 h
0 2
原式 =
2
d
0
2 0
h 1 2
d
h
2 d z
4
202 h12(h42)d
[1 (4h)ln 1(4h)4h]
4
o x
y
4、球坐标代换
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令OM r,
1 x 2
0
z
x
y
例. 计算积分 zdxdydz 其中由曲面
zx2y2,yx2及平面 y1,z0所围 .
法二: 找上下半曲面： 0zx2y2
找投影区域：
z0

z

x2

y2
z0

y

x2
z 0

y

1
D x y : 1x 1 x2 y1
2acos
4a22 d
0
0
o
2a
x
y
3a 23 2(1si3n)d32a3(2)
30
3 23
注 :V
4 a 2 x2 y2
d v4 d xd y
d z

D
0
曲面的面积
•曲面 :zf(x,y), (x, y)Dxy, 的面积公式：
S D xy
例. x2y2z2R 2(R0) z
: 0 2,
0 ,
0rR
o Ry
x
例. x2y2z2az(a0)
: 0 2,
02,
0racos
z a
r y x
例 ： 锥 面z x2y2 与球面 x2y2z2R2所围立体.
:
0 2
zz2(x,y)
z
②投影点的全体即为投影区域。 方法二:根据方程:
①已给边界曲面方程中含z的若只有 两个，则其必分别为上、下曲面,其它 不含z的方程必对应柱面。
zz1(x,y)
y xD
dxd y
②投影区域可由含z的某曲面与其它曲面交线的投 影曲线所围。
即：可选定一个含z的方程然后再和其它所有方程 （包含柱面方程和另一个含z的方程）相交。
注：如果图不好画则可根据方程： 1．先利用对称性：所有方程中若某个变量都是平方 形式，则图形一定关于相应坐标面对称，利用对称性 后只需考虑正半部分 2．求投影区域应利用所求曲面和其它相交
例. 求圆柱面 x2 y2 ax 含于球面 x2y2z2a2
2r2r2sindr
0
0
0
2
d 0

2d
2 r2r2sindr
coscsc2
4
例. 设 f(u ) C ,f(0 ) 0 ,f(0 )存 ,求tl在 im01t4 F(t )，
其中F(t) f( x2y2z2)dxdydz x2y2z2t2
f(x,y,z)dv
dxdy z2(x,y)f(x,y,z)dz
Dxy
z1(x,y)
关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域.
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zz2(x,y)
z
zz1(x,y)
y xD
dxd y
方法一: 根据图形: ①利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出 和穿入点就对应上、下曲面，注：中 间所夹立体的边界应为柱面。
ZOM , 则(r,,) 就称为点M 的球坐标.
xrsinco s yrsin sin
zrco s

0 r
0 2 0

z z
rM
o
f(x,y,z)dxdydz
y
x
f(rs in c o s ,rs in s in ,rc o s )r2sindrdd
若 { (,,z)| ,1 ()2(), z1 (,)zz2(,)}
f(x,y,z)dxdydz
d 1 2 ( ( )) dz z 1 2 ( ( , ,) )f(c o s, s in,z )d z
第九章 重积分 知识总结
一. 二重积分的计算 二. 三重积分的计算 三. 重积分的运用
二. 三重积分的计算
1、投影法 (“先单后重” “先一后二”) 2、截面法 (“先重后单” “先二后一”) 3、柱坐标代换 4、球坐标代换 5、利用三重积分的对称性
1、 投影法 (“先单后重” “先一后二”)
{(x,y,z)|z1(x,y)zz2(x,y), (x,y)Dxy}
z
2
1
r 2
r
2
sin2


r
cos
rcoscsc2
o
x2y2z2dV 2d4d 2r2r2sindr x

0
0
0
y
2
d 0

2d
coscsc2r2r2sindr
0
或=
2d2d
4
1fx 2(x,y)fy 2(x,y)d
•曲面 :xg(y,z), (y,z)Dyz, 的面积公式：
S D yz
1gy2(y,z)gz2(x,y)d
•曲面 :yh(x,z), (x,z)Dxz, 的面积公式：
S D xz
1h x 2(y,z)h z 2(x,y)d
5、 利用三重积分的对称性
设 f ( x , y , z ) C ( ) , 且 域 关 于 x o y 面 对 称 , 则
f(x,y,z)dv
2上
0 f(x,y,z)dv
f(x,y,z)关于z为奇函数 f(x,y,z)关于z为偶函数
当区域关于yoz 轴对称, 函数关于x 有奇偶性时, 当区域关于xoz 轴对称, 函数关于y 有奇偶性时, 仍有类似结果.