第十章 差错控制编码概要

第十章 差错控制编码

图见附图：10 ①、19、20 未做：11、16 ②、

10-1 请说明随机信道、突发信道、混合信道各自的特点。 答：随机信道的特点是错码的出现是随机的。且错码之间是统计独立的。

突发信道的特点是错码集中成串出现。

混合信道的特点是既存在随机错码又存在突发错码。

10-2 请说明差错控制方式的目的是什么？常用的差错控制方式有哪些？

答：差错控制方式的目的是在数字通信过程中发现（检测）错误，并采取措施纠正，把差错限制在所允许的尽可能小的范围内。 常用的差错控制方式包括：ARQ 、反馈校验、FEC 、HEC 。 10-3请说明ARQ 方式有哪几种？

答：停止等待ARQ 、连续ARQ 、选择重发ARQ 。

10-4 已知线性分组码的八个码字为：000000，001110，010101， 011011，100011，101101，110110，111000，求该码组的最小码距。 解：线性分组码的最小码距等于码的最小码重，故30=d 。

10-5 上题给出的码组若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错， 能纠几位错？若同时用于纠错，检错如何？ 答：1230+≥=d ，故可检出2个错。 11230+⨯≥=d ，故可纠正1个错。

11130++≥=d ，（1≥1）故纠检结合时可检1个错同时纠正1个错。 10-6 若两个重复码字0000，1111，纠检错能力如何？

解：d=4,故可检出3个错，纠正1个错，可同时检出2个错、纠正1个错。

10-7 写出k=1，n=5时重复码的一致检验矩阵[H]及生成矩阵[G]，并 讨论它的纠、检错能力。

解：①n=5,k=1,r=4。 设码字为01234|c c c c c ,只取11111或00000，0123c c c c 为监督码元。则有

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧====4

041424

3c c c c c c c c ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=⊕=⊕=⊕=⊕0

000

40414

243c c c c c c c c ⇒ ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001|1

000|10010|1010|1

1001234c c c c c 故⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=⨯100011001010100110005

4H ，[]111141==⨯T P Q 。 故[]1111|151=⨯G

②检错：监督位有4位，应有42个伴随式，故能检出42-1＝15种错。

纠错：满足t

C C C 4

24144...1162++++≥=的t 为1和2，故可纠2个错。

10-8 写出n=7时偶校验码的一致校验矩阵[H]和生成矩阵[G]，并讨

论其纠、检错能力。

解：①n=7,k=6,r=1。只有一个监督关系00123456=⊕⊕⊕⊕⊕⊕c c c c c c c ，

故[][]01|1111110123456=⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎥⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c 。因此[]1|11111171=⨯H ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==111111T

P Q 。

故[]⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1|0000011|0000101|0001001|0010001|0100001|100000|Q I G k

②可检出112=-r 个错，不能纠错。 10-9 一个线性分组码的校验矩阵

1 0 0 1 0 0 1 1 0

H ＝ 1 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

试求该码的生成矩阵与码的最小距离。

解：①题目所给是非典型阵，无法直接写出对应生成矩阵，为此应做行变换，变换为典型阵。这是因为H 的每一行对应一个监督关系方程，对其做行变换相当于解方程组。因此这样的两个典型阵和非典型阵表示的是同一组监督关系。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0001|011100010|101010100|001111000|11100~行变换H 。这时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==01110101010011111100T Q P 。故[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡==0110|0

00010101|000101111|001001001|010001010|1

0000|Q I G k 。

②如书上第374页所述，51min =+≤r d 。

10-10令g （x ）=1+x +x 2

+x 4

+x 5

+x 8

+x 10

为(15,5)循环码的码生成多项式。

① 画出编码电路。

② 写出该码的生成矩阵[G]

③ 当信息多项式m （x ）=x 4

+x +1时，求码多项式及码字。 ④ 求出该码的一致校验多项式h （x ）。 解：①图

②10,5,15===r k n

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()(][234x g x xg x g x x g x x g x x G ,所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101110000100001011100001000011111000010000110110000100001101100001000011011

G 。 ③10111410)()(x x x x m x x m x k n ++==-,

x x x x x x r x g x m x k n ++++=-4678)()

()

(的余式 故码多项式为x x x x x x x x +++++++4678101114，码字为100110111010010。

④1)

(1

)(3515+++=+=x x x x g x x h

10-11(7，3)循环码的生成多项式1)(234++++=x x x x x g ，求出此码组的全部码字。

解：设码字为[]0123456c c c c c c c ，则码多项式为