第一章物理学中的对称性
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有对称性 物理规律的转动对称性
物理定律的旋转对称性表现为空间各方向对物理 定律等价，没有哪一个方向具有特别优越的地位。例 如，分别在南、北半球进行单摆实验，实验仪器取向 不同，得出的单摆周期公式仍然相同。
物理定律的平移对称性表现在空间各位置对物理定 律等价，没有哪一个位置具有特别优越的地位。例如： 在地球、月球、火星、河外星系…进行实验，得出的引 力定律（万有引力定律、广义相对论）相同。
证明：从库仑定律出发可以论证，电场强度E是极矢量；从毕 奥——萨伐尔定律出发可以论证，磁感应强度B是轴矢量。
镜象对称是物理学中最重要的对称之一，在宏观、微观领域都广泛 存在。
2. 物理学中的空间对称性
A、空间平移对称性 物理体系的空间平移对称性：晶体具有平移对称性 物理规律的平移对称性
B、空间转动对称性 物理体系的空间转动对称性：对一定的转轴，转动一定角度具
在本课程中，对称性不仅指几何图形的对称性，我们更 关注是物理体系的对称性。当然，物理体系的对称性与其空 间结构的对称性紧密相关。
1. 原子具有球对称性 2. 分子具有与其几何构型相应的对称性
A
A
D
O
O
Fra Baidu bibliotek
O
B
CB
C
3. 晶体具有其空间点阵的几何对称性
4. 全同粒子之间的对称性，没有直接的几何意义
所有这些物理体系的对称性的全体构成对称群，其几何 对称性如何表现在系统的物理性质上？
)
A/ A r
A
空间平移对称性意味着
即 EP E'p
Ep EP Ep E'p
－f AB fBA
（r 任意）
即为第三定律，它等价于动量守恒，事实上
由动量定理：
0＝f AB
f BA
dPA dt
dPB dt
d dt
(PA
PB )
空间平移对称性和动量守恒
从微观上看，一切相互作用都可通过势描述。考虑一对粒
子A和B，它们相互作用势能为 Ep，将A沿任意方向移动 r
到A/
若
Ep fAB
A 不动，将B沿
r
－r
方向
B
r
B
B/
移动到B/,则有
EP/ fBA
f r
BA
(r
物理学家相信：在任何角度的转动下物理定律都将保持 不变。因此，我们说物理定律具有旋转对称性。
因而我们说，旋转对称性是一切物理定律都必须满足 的要求，其适用范围显然高于（或至少等于）任何具体的 物理定律，如牛顿的经典力学。
可见，物质世界具有对称性，从对称性角度去理解物 质世界是物理学研究的一个方法。
二、 物理体系的对称性
PA PB C 为恒矢量。
空间转动对称性和角动量守恒
仍考虑一对粒子A和B，将A沿B 为园心的弧移动到A/,相互作用 势能的变化：
－EP （f AB )切 s
A/
s A
B B s
B/
A
同样，将B沿以A为园心的弧移动到B/点，
－E
/ p
（fBA)切 s
由空间各向同性，粒子的相互 作用与方向无关，
第一章 物理学中的对称性
一、 对称的概念 对称的概念起源于自然界。大自然中的对称结构
几乎随处可见。
N
H H
氨分子
氯化钠晶体
m 3 m 2 m 1 m 0 m 1 m 2 m 3
氢原子电子不同状态下的电子云结构
对称不仅出现在自然界中，而且也出现在艺 术乃至文学创作中。
圆：中心旋转不变性，正方形？矩形？
2.物理系统的对称性：物理系统的运动方程在某种变 换下具有不变性。这样的变换称为该系统或运动方程的对 称变换。
物理学并不是处理几何图形的，那么对称性怎么进到 物理学中的呢？
物理学的一个基本问题：处于不同观察位置的物理学 家眼中的物理现实是一样的吗？
两个物理学家，其中一个由于某种原因，总是把头偏离 竖直方向20o来看这个世界，另一个则和常人一样。经过几 年的研究，两个物理学家把他们的结果总结在几个物理定律 之中，然后来对比他们的结果。
特霍西尔过去15年一直在从事对称性研究。在研究过程中，特 霍西尔将不同人的面孔和身体用扫描仪录入电脑，以测定对称比。 男女两性均认为身体对称性好的异性更具吸引力，健康状况更佳。
那么，什么是对称？
1.数学定义：如果一个几何图形在某些操作下保持不变 (复原），就说这个图形在这些操作之下具有不变性。(等价)
对称操作 旋转、反映、反演、旋转反演、恒等操作等。
算符表示
Cˆn,ˆv,ˆh,iˆ, In, Eˆ
基本对称操作：旋转和反映。
对称元素： 完成对称操作所关联的几何元素（点、线、面及其组合） 旋转轴， 镜面，对称中心
符号
Cn , v , h ,i, E
基本对称元素：对称轴和对称面
(1). 旋转操作和对称轴 Cn
B B s
B/
－E p
－E
/ p
0
（f AB )切＝（fBA)切＝0
A/
s A A
表明两粒子作用力必沿二者连线，从而相对任意点力矩之和 为零。由角动量定理：
d dt (L1 L2 ) 0
四. 对称与对称变换 1.对称：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。
2.对称操作：使物理系统保持不变的变换。
三、 物理规律的对称性
对称性由逻辑上两个不同的部分组成：不变性和变换。要说物理定 律是不变的，就必须指出使得物理定律保持不变的变换。
1. 物理学中的镜象对称性
极矢量：经过空间反射，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量
则不变。如与位置矢量r相联系的速度v、加速度a等。
轴矢量或赝矢：垂直镜面的分量不变，与镜面平行的分量反向，如转 动物体的角速度。
古亚述人的设计图案
身体对称性好的人更具吸引力 更受异性关注
对称———美丽之本
人体由分裂的细胞发展而来。如果每次分裂都能进行得完美， 其结果就是一个身体各部位都均衡对称的婴儿。但大自然不会按照 这种方式造人。基因变异和环境压力使对称发生变化，其结果具有 终身意义。人体匀称表明一个人具有良好生存能力的基因优势，这 有益于健康。美国新墨西哥大学进化生物学家兰蒂·特霍西尔说： “这表明择偶过程中利用对称变化性很有道理。如果你选择对称完 美的伴侣，并与她繁衍后代，那么你们的后代拥有对称性身材的概 率就会很大，能更好地处理情绪不稳。”
物理定律的旋转对称性表现为空间各方向对物理 定律等价，没有哪一个方向具有特别优越的地位。例 如，分别在南、北半球进行单摆实验，实验仪器取向 不同，得出的单摆周期公式仍然相同。
物理定律的平移对称性表现在空间各位置对物理定 律等价，没有哪一个位置具有特别优越的地位。例如： 在地球、月球、火星、河外星系…进行实验，得出的引 力定律（万有引力定律、广义相对论）相同。
证明：从库仑定律出发可以论证，电场强度E是极矢量；从毕 奥——萨伐尔定律出发可以论证，磁感应强度B是轴矢量。
镜象对称是物理学中最重要的对称之一，在宏观、微观领域都广泛 存在。
2. 物理学中的空间对称性
A、空间平移对称性 物理体系的空间平移对称性：晶体具有平移对称性 物理规律的平移对称性
B、空间转动对称性 物理体系的空间转动对称性：对一定的转轴，转动一定角度具
在本课程中，对称性不仅指几何图形的对称性，我们更 关注是物理体系的对称性。当然，物理体系的对称性与其空 间结构的对称性紧密相关。
1. 原子具有球对称性 2. 分子具有与其几何构型相应的对称性
A
A
D
O
O
Fra Baidu bibliotek
O
B
CB
C
3. 晶体具有其空间点阵的几何对称性
4. 全同粒子之间的对称性，没有直接的几何意义
所有这些物理体系的对称性的全体构成对称群，其几何 对称性如何表现在系统的物理性质上？
)
A/ A r
A
空间平移对称性意味着
即 EP E'p
Ep EP Ep E'p
－f AB fBA
（r 任意）
即为第三定律，它等价于动量守恒，事实上
由动量定理：
0＝f AB
f BA
dPA dt
dPB dt
d dt
(PA
PB )
空间平移对称性和动量守恒
从微观上看，一切相互作用都可通过势描述。考虑一对粒
子A和B，它们相互作用势能为 Ep，将A沿任意方向移动 r
到A/
若
Ep fAB
A 不动，将B沿
r
－r
方向
B
r
B
B/
移动到B/,则有
EP/ fBA
f r
BA
(r
物理学家相信：在任何角度的转动下物理定律都将保持 不变。因此，我们说物理定律具有旋转对称性。
因而我们说，旋转对称性是一切物理定律都必须满足 的要求，其适用范围显然高于（或至少等于）任何具体的 物理定律，如牛顿的经典力学。
可见，物质世界具有对称性，从对称性角度去理解物 质世界是物理学研究的一个方法。
二、 物理体系的对称性
PA PB C 为恒矢量。
空间转动对称性和角动量守恒
仍考虑一对粒子A和B，将A沿B 为园心的弧移动到A/,相互作用 势能的变化：
－EP （f AB )切 s
A/
s A
B B s
B/
A
同样，将B沿以A为园心的弧移动到B/点，
－E
/ p
（fBA)切 s
由空间各向同性，粒子的相互 作用与方向无关，
第一章 物理学中的对称性
一、 对称的概念 对称的概念起源于自然界。大自然中的对称结构
几乎随处可见。
N
H H
氨分子
氯化钠晶体
m 3 m 2 m 1 m 0 m 1 m 2 m 3
氢原子电子不同状态下的电子云结构
对称不仅出现在自然界中，而且也出现在艺 术乃至文学创作中。
圆：中心旋转不变性，正方形？矩形？
2.物理系统的对称性：物理系统的运动方程在某种变 换下具有不变性。这样的变换称为该系统或运动方程的对 称变换。
物理学并不是处理几何图形的，那么对称性怎么进到 物理学中的呢？
物理学的一个基本问题：处于不同观察位置的物理学 家眼中的物理现实是一样的吗？
两个物理学家，其中一个由于某种原因，总是把头偏离 竖直方向20o来看这个世界，另一个则和常人一样。经过几 年的研究，两个物理学家把他们的结果总结在几个物理定律 之中，然后来对比他们的结果。
特霍西尔过去15年一直在从事对称性研究。在研究过程中，特 霍西尔将不同人的面孔和身体用扫描仪录入电脑，以测定对称比。 男女两性均认为身体对称性好的异性更具吸引力，健康状况更佳。
那么，什么是对称？
1.数学定义：如果一个几何图形在某些操作下保持不变 (复原），就说这个图形在这些操作之下具有不变性。(等价)
对称操作 旋转、反映、反演、旋转反演、恒等操作等。
算符表示
Cˆn,ˆv,ˆh,iˆ, In, Eˆ
基本对称操作：旋转和反映。
对称元素： 完成对称操作所关联的几何元素（点、线、面及其组合） 旋转轴， 镜面，对称中心
符号
Cn , v , h ,i, E
基本对称元素：对称轴和对称面
(1). 旋转操作和对称轴 Cn
B B s
B/
－E p
－E
/ p
0
（f AB )切＝（fBA)切＝0
A/
s A A
表明两粒子作用力必沿二者连线，从而相对任意点力矩之和 为零。由角动量定理：
d dt (L1 L2 ) 0
四. 对称与对称变换 1.对称：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。
2.对称操作：使物理系统保持不变的变换。
三、 物理规律的对称性
对称性由逻辑上两个不同的部分组成：不变性和变换。要说物理定 律是不变的，就必须指出使得物理定律保持不变的变换。
1. 物理学中的镜象对称性
极矢量：经过空间反射，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量
则不变。如与位置矢量r相联系的速度v、加速度a等。
轴矢量或赝矢：垂直镜面的分量不变，与镜面平行的分量反向，如转 动物体的角速度。
古亚述人的设计图案
身体对称性好的人更具吸引力 更受异性关注
对称———美丽之本
人体由分裂的细胞发展而来。如果每次分裂都能进行得完美， 其结果就是一个身体各部位都均衡对称的婴儿。但大自然不会按照 这种方式造人。基因变异和环境压力使对称发生变化，其结果具有 终身意义。人体匀称表明一个人具有良好生存能力的基因优势，这 有益于健康。美国新墨西哥大学进化生物学家兰蒂·特霍西尔说： “这表明择偶过程中利用对称变化性很有道理。如果你选择对称完 美的伴侣，并与她繁衍后代，那么你们的后代拥有对称性身材的概 率就会很大，能更好地处理情绪不稳。”