2-2焊接温度场

方程一个特解即可。
在此令 u
Q
c (4at )3
2
,v
exp(
R2 ),
4at
R2
x2
y2
z2
T (uv) v u
T uv,
u v
则 t t
t t
T t
Q
c(4at)3 2
exp( R2 ) ( 4at
R2 4a
)
(
1 t2
)
exp(
R2 4at
)
c
Q
(4a
)3
2
(
3 2t 5
2
)
Q
c (4at )3
a
c
T
R2 (
3)
T
R2 (
3) T
R2 (
3)
t 4at 2 2t 2at
t 4at 2
等式两端完全相等，说明特解正确。因此， 只要确定常数项，即可得到通解。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
此时温度场是一个半径为R的等温球面，考虑到
焊件为半无限体，热量只在半球中传播，则可对温
由于散热使微元体hdxdys的温度下降了dT， 则此 时失去的热能应为dQ:
dQ dT c dV dT c h dx dy
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
上两式相等，整理得：
2 (T T0 )dxdydt c h dTdxdy dT 2 dt ch (T T0 ) bT
式中，b=2/ch被称为散温系数[s-1]。
因此，焊接薄板时如考虑表面散热、 则导热微分方程式中应补充这一项，即：
T t
a(
2T x 2
2T y 2
)
bT
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
此微分方程的特解为：
T
T
0
Q
hc (4at )
exp(
r2 4at
bt)
此为薄板瞬时线热源传热计算公式，可见， 其温度分布是平面的，以r为半径的圆环。
的。
2.2.1来自百度文库瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
在这种情况下，热量Q在时间t=0的瞬间作用于半 无限大立方体表面的中心处，热量呈三维传播，在 任意方向距点热源为R处的点经过时间t时，温度增 加为T-T0。
求解导热微分方程，可有特解：
T
Q
c (4at )3
2
exp(
R2 )
4at
式中；Q—焊件瞬时所获得的能量[J]；
在热源作用处（r=0），其温度增加为：
T
T
0
Q
hc (4at )
exp(
bt)
温度以1/t双曲线趋势下降，下降的趋势比
半无限体缓慢。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
3.作用于无限长杆的瞬时面热源
热量Q在t=0时刻作用于横截面为A 的无限长杆上的X=0处的中央截面， Q均布于A面积上，形成与面积有关 系的热流密度Q/A，热量呈一维传播。
度场计算公式进行修正，即认为热量完全为半无限
体获得：
2Q
R2
T
c (4at )3
2
exp(
) 4at
T0为初始温度。
在热源作用点（R=0）处，其温度为
(T
T0 )R0
2Q
c (4at )3
2
在此点，当t=0时，T-T0→∞，这一实际情况不符合 （电弧焊时，Tmax约为2500℃，这是点热源简化的
结果）。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
随着时间t延 长，温度T随 1/t3/2呈双曲线趋 势下降，双曲线 高度与Q成正比。 在中心以外的各 点，其温度开始 时随时间t的增加 而升高，达到最 大值以后，逐渐 随 t→0 而 下 降 到 环境强度T0。
图2-10
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.2.1、瞬时固定热源温度场
2.作用于无限大板的瞬时线热源
当 薄 板 表 面 的 温 度 为 T0 时 ， 在 板 上 取 一 微 元 体 hdxdy，在单位时间内微元体损失的热能为dQ:
dQ 2 (T T0 )dxdydt
式中；2—考虑双面散热 —表面散热系数[J/mm2sK] T—板表面温度[℃] T0—周围介质温度[℃]
R—距热源的距离，R2=X2+Y2+Z2[㎜]；
t—传热时间[s]；
c—焊件的容积[J/mm2℃]；
a—导温系数[mm2/s]。
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
特解的证明：
由导热微分方程式
T t
c
2T ( x2
2T y 2
2T z 2
)
Q
R2
我们只要证明 T c(4at)3 2 exp( 4at ) 是上面微分
4at 4at x
2at R
T( x ) 2at
R2 x2 y2 z2,
2RdR 2xdx,
R x
x R
则
2T x 2
(T ) x x
(T x ) T 1
x 2at
2at
x 2at
T x
Tx
x
T x2
(T ) ( 1)
2at 2at 2at 2at 2at
同理
2T y 2
2
exp(
R2 ) ( 4at
R2 4at 2
3) 2t
T t
( R2 4at
3) 2
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源 特解的证明：
同样，求 ，T 即在ox方向上的温度梯度：
x
T x
T R
R x
Q
c(4at)3 2
exp( R2 ) ( 2R ) R ) T R x
2.2 焊接温度场
2.2.1、瞬时固定热源温度场
瞬时固定热源可作为具有短暂加热及随后冷却的 焊接过程（如点焊）的简化模型，其相应的数学解 还可以作为分析连续移动热源焊接过程的基础，因 此具有重要意义。
为获得简化的温度场计算分式，需要做一些假设：
• 在整个焊接过程中，热物理常数不随温度而改变； • 焊件的初始温度分布均匀，并忽略相变潜热； • 二维或三维传热时，认为彼此无关，互不影响； • 焊件的几何尺寸认为是无限的； • 热源集中作用在焊件上是按点状，线状或面状假定
2.作用于无限大板的瞬时线热源
在厚度为h的无限大板上，热源集中作用 于某点时，即相当于线热源（即沿板厚方向上 热能均匀分布）。
t=0时刻，热量Q作用 于焊件，焊接初始强度 为T0。求解距热源为R的 某点，经过t妙后的温度。 此时可用二维导热微分 方程求解，对于薄板来 说，必须考虑与周围介 质的换热问题。
T ( y2 2at 2at
1),
2T z 2
T 2at
( z2 2at
1)
2.2.1、瞬时固定热源温度场
1.作用于半无限体的瞬时点热源
特解的证明：
将上面个式代入导热微分方程：
T ( R2 3) [ T ( x2 1 y2 1 z2 1)] t 4at 2 c 2at 2at 2at 2at
同样考虑散热的问题，求解一维导热微分方程，