第5章 二叉树模型与美式期权的风险管理

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A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock price = $20 Option Price=? Stock Price = $18 Option Price = $0
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Setting Up a Riskless Portfolio
Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option
22 D – 1
18D
Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 0.25
rh
注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上 述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也 正是阶段平分的优点。
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c max(0, s X ) max(0, u S X )
uu uu 2
cud c du max(0, s ud X ) here, st S max(0, udS X ) max(0, S X ) c dd max(0, s dd X ) max(0, d 2 S X )
cT=cu=max(0, Su-112)=68
sT=sd=ds=60
cT=cd=max(0, Sd-112)=0
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N (c c )/( s s ) (68 0)/(180 60) 0.57( ) 股
u d u d
B (Ns c )/e
d d
r
(0.57 0)/1.08 31.48( ) 元 60
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由此得到的组合 NS B称为合成期权（synthetic option）， 由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为
ct NS B c c dc uc c c dc e uc e S r (u d ) S (u d )e ud
u d u d u d u r d r r u r d r
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A Simple Binomial Model
A stock price is currently $20 In three months it will be either $22 or $18
Stock Price = $22 Stock price = $20 Stock Price = $18
当前时刻t，期权的价值为
ct [ p c 2 p(1 p)c (1 p )c ]e
2 uu 2 ud 2 dd
2 rh
[ p max(0, u S X ) 2 p(1 p) max(0, S X )
2
(1 p ) max(0, d S X )]e
将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶 段，每个阶段的长度为h
T t h n n
标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全

有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化 过程。 数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项 分布收敛于正态分布 思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。
c (1 de ) c (ue 1) e d u r (u e ) d r ce ce ud ud ud r r e d u r e d d r u d r c e (1 )c e [ pc (1 p)c ]e ud ud
D股股票－1份期权=无风险证券→1份期权= D股股 票-无风险证券
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5.2 单期二叉树期权定价模型
考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间 只有1期，τ=T-t 假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机 变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价 格为sT，且满足
sT s uS S , u 1, P(sT s ) q
u u
sT s dS S , d 1, P(sT s ) 1 q
d d
其中，u为上涨因子，d为下跌因子
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q st 1-q
sT=su=uS sT=sd=dS
问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？
设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B （相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入 N股股票（股票多头）。 目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买 权完全相同。
e r d here，p ud
r
例子
假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112 美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％ （连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种 可能：180美元或者60美元，求期权的价值？
sT=su=us＝180
st ct？
q 1-q
e d e ss 1.08 100 60 p u d ud s s 180 － 60
d
r
r
0.4
ct [ pc (1 p)c ]e
u d
r
25.18( 美元)
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Dicussion: Risk-neutral probability
1. p is Risk-neutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return is
c max(0, s X ) max(0, u S X ), st S
uu ud uu 2
c c max(0, s X ) max(0, udS X )
du ud
c
dd
max(0, s X ) max(0, d S X )
dd 2
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由1阶段模型可知，在风险中性条件下
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在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本 为
Nst B NS B
在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全 相同则必须满足
v Ns Be c
u u
r
u
且 v Ns Be c
d d
r
d
由上两式得到
N (cu c d ) /( s u s d ) (cu c d ) /[(u d ) S ] B ( s d cu s u c d ) /[( s u s d )e r ] ( Ns d c d ) / e r (dcu uc d ) /[(u d )er ]
金融风险理论与模型
第5章 二叉树模型与美式期权的 风险管理
Copyright©Linhui, Department of Finance, Nanjing University
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5.1 概述
二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
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Dicussion: Risk-neutral probability
2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。
虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过 程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并 不影响对期权的定价结果。 投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u， d这三个客观因子。
psu (1 p) s d er d er d r ys u (1 )e S ud ud
Option’s expected relative return is
yc [ pc (1 p)c ]/ c0 e ys
u d
r
So，p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate. For the above reason, We call p “risk neutral probability”.
cu [ pcuu (1 p)cud ]erh , cd [ pcud (1 p)cdd ]erh
ct [ pc (1 p)c ]e
u d 2 uu
rh ud 2 dd 2 rh
[ p c 2 p(1 p)c (1 p) c ]e
e d here, p ud
2 2
r
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定价思路：倒推定价法
1. 首先得到2期节点的股票价格，从而得到 该期的期权价格。 2. 采用风险中性定价，通过贴现得到1期节 点的股票价格和期权价格。 3. 由1期的股票价格得到期权价格，得到当 前期权的价格。 4. 风险中性定价下，每一期的风险中性概率 都是相同的。
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5.4 n阶段二叉树定价模型
v [(c c ) /(s s )]s c Be
u u d u d u u
r
若sT＝Sd
v [(c c ) /(s s )]s c Be
d u d u d d d
r
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投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由 二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险 的证券。 组合贴现率的贴现率只能是无风险利率 由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏 好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。 只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的 定价。 基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合 来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性 的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就 不必考虑风险问题。
e d r e d d r ct e (1 )c e ud ud [ pcu (1 p)c d ]e r
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r
r
Dicussion: Risk-neutral probability
风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风 险中性的。 若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时 以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必 然等于B。 若sT＝su
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5.3 两阶段二叉树定价模型
由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变 量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多 段处理，首先介绍两阶段模型。
两阶段模型（Two-step binomial tree)
若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个
阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2 种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第 2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个， 并且令h为每个阶段的时间长度
T t h 2 2
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两阶段模型示意图
u u
suu,cuu
su,cu
d u
st ct
sud,cud
d
sd,cd
其中，u＝1/d
d
sdd,cdd
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两阶段模型
第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d， 则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。 期权到期日价值的所有可能值为
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标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期， 股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n 期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次， 到期日T股价ST为
sT Su d
j
n j
, j 0,1,..., n
由概率论可知，sT服从二项分布（binomial distribution) ，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股 票价格sT的概率为