数学归纳法及应用举例
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an a1 (n 1)d 2.学生观察、分析以上三个情景，提出与分析问题，得出结论。 3.结论：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确。因此不能
作为论证的方法。 下面教师用教学语言讲述： 等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我 们已建立的数列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题 呢？
（二）探索解决问题的方法
1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。 师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; （2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。 2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数 学模型）。 （1）n 取第一个值 n0 (例如 n0 1)时命题成立; （2）假设 n=k(k N*, k n0 )命题成立，利用它证明 n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切 n N* 均成立。
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（三）方法尝试
师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。 其中假设 n=k 时等式成立，证明 n=k+1 时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由 学生完成。
（四）理解升华
1.置疑 对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。 2.论证（说理） 师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理 性认识。 本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时
2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严 密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创 新能力。
3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕 困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生 喜欢数学。
四、教学过程
主干层次为：创设情景（提出问题）; 探索解决问题的方法（建立数学模型）; 方法尝试（感性认识）; 理解升华（理性认识）; 方法应用（解决问题）; 课堂小结（反馈与提高）。
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，
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符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而 培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案
一、说教材
（一）教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习， 初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法 它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结 论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必 须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前， 是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的 推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
（二）教学目标
学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归 纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问 题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生 具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面 作一些尝试。
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。
二、教法
本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、 学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又 强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开 放，主体性和主动性凸现，独立的个性得到张扬，因而创造性得到解放。
根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下 教学目标。
1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
三、学法
本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。 本课学生的学习主要采用下面的模式进行：
观察情景 提出问题 分析问题 猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证 应用。
探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习， 在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探 究过程中形成坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终身学习，终身发展都 有积极意义，这就是让学生学会学习。
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（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
（三）教学重难点ห้องสมุดไป่ตู้
根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：
1.重 点
（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难 点
（一）创设问题情景
1.情景创设 情景一：生活中的实际例子（摸出球的颜色问题）
情景二：已知数列a5 的通项公式 an (n2 5n 5)2 ，学生分别计算 a1 、 a2 、 a3 、 a4 的值，
猜想 an 的值，计算 a5 的值。请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的 数学公式。
情景三（学生自己创设）：学生共同回顾等差数列a5 通项公式推导过程：
an a1 (n 1)d 2.学生观察、分析以上三个情景，提出与分析问题，得出结论。 3.结论：这些用有限多个特殊事例得出的结论，有的正确，有的不正确。因此不能
作为论证的方法。 下面教师用教学语言讲述： 等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我 们已建立的数列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题 呢？
（二）探索解决问题的方法
1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。 师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; （2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。 2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数 学模型）。 （1）n 取第一个值 n0 (例如 n0 1)时命题成立; （2）假设 n=k(k N*, k n0 )命题成立，利用它证明 n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切 n N* 均成立。
第3页
（三）方法尝试
师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。 其中假设 n=k 时等式成立，证明 n=k+1 时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由 学生完成。
（四）理解升华
1.置疑 对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。 2.论证（说理） 师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理 性认识。 本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时
2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严 密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创 新能力。
3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕 困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生 喜欢数学。
四、教学过程
主干层次为：创设情景（提出问题）; 探索解决问题的方法（建立数学模型）; 方法尝试（感性认识）; 理解升华（理性认识）; 方法应用（解决问题）; 课堂小结（反馈与提高）。
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，
第2页
符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而 培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案
一、说教材
（一）教材分析
本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习， 初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法 它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结 论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必 须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前， 是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的 推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
（二）教学目标
学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归 纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问 题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生 具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面 作一些尝试。
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。
二、教法
本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、 学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又 强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开 放，主体性和主动性凸现，独立的个性得到张扬，因而创造性得到解放。
根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下 教学目标。
1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
三、学法
本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。 本课学生的学习主要采用下面的模式进行：
观察情景 提出问题 分析问题 猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证 应用。
探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习， 在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探 究过程中形成坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终身学习，终身发展都 有积极意义，这就是让学生学会学习。
第1页
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
（三）教学重难点ห้องสมุดไป่ตู้
根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：
1.重 点
（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难 点
（一）创设问题情景
1.情景创设 情景一：生活中的实际例子（摸出球的颜色问题）
情景二：已知数列a5 的通项公式 an (n2 5n 5)2 ，学生分别计算 a1 、 a2 、 a3 、 a4 的值，
猜想 an 的值，计算 a5 的值。请学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的 数学公式。
情景三（学生自己创设）：学生共同回顾等差数列a5 通项公式推导过程：