初三数学每日一练—圆周角

初三数学每日一练—圆周角

【考点分析】

【考察内容】圆周角的定义和算法、圆的内接四边形的性质定理

【考察题型】选择题3-4 分和非选择题3-6 分

知识点一：圆周角的定义

定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

知识点二：圆周角的性质

1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．2．直径（或半圆）所对的圆周角是90︒，90︒的圆周角所对的弦是直

径．知识点三：内接四边形

一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形.

这个圆叫做四边形的外接圆，圆内接四边形对角互补.

【典型例题】

例1 点O 是△ABC 的外心，若∠BOC = 80 ，则∠BAC 的度数为（）

A．40 B．100 C．40 或140 D．40 或100

【解析】本题主要考察圆中的计算问题；

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。当∠BAC 为锐角时，如图△A

1

BC 所示，根据“同弧

所对圆周角是圆心角的一半”可知，∠BA C =1

∠BOC = 40 .当∠BAC 为钝角时，如图△A BC

1 2 2

所示，根据圆内接四边形对角和为180可知，∠BA

2C=180-∠BA

1

C=140；综上所述，∠BAC

的度数为40 或140 .

答案：C

例2 (15 年南京中考)如图所示，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD = 35 ，则

∠B+∠E= .

【解析】在圆内接四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180 ，∴∠B = 180 -∠ADC ，同理，∠E =180-∠ACD, ∴∠B +∠E = 180-∠ADC +180-∠ADC =

180 +(180-∠ADC -∠ACD)= 180 +∠CAD =180+ 35= 215 .

【答案】215

【解题归纳】

与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆的内接四边形的对角互补，相等的圆周角所对的弧相等，直径所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径等知识点.

【练习巩固】

1、若圆的一条弦把圆分成度数比为1: 4 的两段弧，则弦所对的圆周角等于（）

A．36︒B．72︒C．36︒或144︒D．72︒或108︒

2、如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E，且

DC=DE.

（1）求证：∠A =∠AEB ；

（2）连接OE，交CD 于点F，OE ⊥CD ，求证：△ABE 是等边三角形.

【练习巩固参考答案】

1、【答案】如图所示，弦AB 将O 分成了度数比为1：4 两条弧，连接OA、OB；则

∠AOB =

1

⨯ 360

5

= 72 ；

①当所求的圆周角顶点位于D 点时，这条弦所对的圆周角∠ADB =

1

∠AOB = 36 ；

2

②当所求的圆周角顶点位于 C 点时，这条弦所对的圆周角∠ACB = 180 -∠ADB = 144 .

2、【答案】

证明：（1）∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴∠A +∠BCD = 180 ，

∵∠DCE +∠BCD = 180 ，∴∠A =∠DCE ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠AEB ，

∴∠A =∠AEB ；

（2）∵∠A =∠AEB ，∴△ABE 是等腰三角形，∵ EO ⊥CD ，∴CF =DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴ △DCE 是等边三角形，∴ ∠AEB = 60 ，∴ △ABE 是等边三角形.