第六章 湍流的统计
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第6章 湍流的统计理论 章
6.1 对湍流的总体认识
近代湍流研究认为，湍流是一群不同尺度和强度、彼此嵌套、不断变化的涡 结构，显示了湍流的一种随机面貌。这其中，有两个变量扮演着重要作用：涡度 的特征直径 d 和它们的特征轨道速度 u 。由于湍流由许多尺度和速度不断变化的 涡组成，d 和 u 也是在一定范围变化的。但是，在时间上不变的均匀各项同性湍 流中，即一种统计的意义上时间不变和空间均匀、没有优势方向的湍流，所有具 有相同尺度 d 的涡或多或少以相同的方式行为， 并且可以认为具有相同的特征速 度 u 。也就是说，我们可以假设， u 是 d 的函数（图 6-2） 。
=
(6-2-15d)
(5)
∫ φ ( x , t ) d xdt
∫
φ ( x , t ) d x dt 。
(6-2-15e)
这些法则从平均的定义关系式如(6-2-12)、 (6-2-13)容易得到证明。 满足这五个性质的算 子 称为雷诺算子。由这些关系，我们可以导出
φ
= φ ，
φ' = 0 。
6.2.6 互相关函数
~ ~ ~ 根据定义， u′(ω,t) = u(ω,t) − u(ω,t) ，将它代入(6-2-12)，得
1 T ~ u = lim ( ∫ u (ω , t ) dt ) = u 。 T →∞ T 0
(6-2-13)
上式表示平稳随机过程中随机变量的系综平均等于其时间平均， 这一性质称为随机过程的各 态遍历。这意味着：一次实验中 u 的时间序列几乎取尽了系统中所有可能出现的值，这就是 各态遍历的意义。
zn n K ( z ) = ∑ (d K / dz n )0 ， n!
(6-2-5)
dK = dz 0
∫
+∞
−∞
ixp ( u ) dx = i u ，
d nK dz n
+∞ n = i ∫ x n p (u ) dx = i n u n 。 −∞ 0
(6-2-11)
我们这里不再给出这个定理的证明过程。 将(6-2-11)中的平均运算和极限运算交换，故必须有
T →∞
lim (
1 T ~ u ′(ω , t )dt ) 2 = 0 。 T ∫0
从而有
1 lim ( T →∞ T
∫
T
0
~ u ′(ω , t ) dt ) = 0 。
(6-2-12)
1 +∞ K ( z) = p(u ) exp(iuz )dx 。 2 π ∫− ∞
如果已知特征函数，通过傅里叶逆变换，可以求出分布密度函数
(6-2-3)
p (u ) =
1 +∞ ∫− ∞ K ( z ) exp(−iuz )dz 。 2π
(6-2-4)
由于分布密度函数 p (u ) 是绝对可积的，因此 K(z)是连续可微的，故可将 K(z)做泰勒展开：
−(1+α ) (3)绝对可积性：自相关函数的绝对值 Ruu (t,τ ) 在 τ → ∞ 时至少以 τ 的函数形
( α > 0 )趋于零，即有
∫
+∞
−∞
Ruu (t,τ ) dτ < ∞ 。
6.2.4 平稳随机过程
定义：如果随机过程的自相关系数 Ruu (t ,τ ) 只和时间间隔 τ 有关，则称它为平稳过程。
或
(6-2-9)
~ ~ ~ ~ ˆ Ruu = u(ω,t)u(ω,t') / u2(ω,t) ⋅ u2(ω,t')
~ 自相关系数的绝对值愈小，表示这两个时刻随机变量 u(ω,t)在统计上的联系越弱；反之，
自相关系数绝对值愈大，则表示两者在统计上有越密切的关系。 一般来说，自相关函数是 t、 t′两个自变量的二元函数，通常用 τ =t′ −t 和 t来表示两 个不同瞬间的自相关函数，即
1 u = lim T →∞ T
∫
t0 +T
t0
udt 。
(6-2-2)
系综平均与时间序列平均通过各态遍历定理建立等价联系。 湍流流速 u分解为平均值 u 或 u 和脉动值 u' ，
6.2.2 特征函数与统计矩
1). 特征函数 定义：对于连续性随机变量流速 u，若其分布密度函数为 p (u ) ，则 p (u ) 的傅里叶变换 称为随机变量的特征函数 K(z)
~ ~ ~ 各态遍历定理：设随机函数的涨落 u′(ω , t ) = u (ω , t ) − u (ω , t ) 是平稳过程，即： ~ ~ u′(ω , t )u′(ω , t + τ ) = Ruu (τ ) ，
且有
∫
+∞
−∞
Ruu (t ,τ ) dτ < ∞ ，则应有
1 T ~ lim ( ∫ u′(ω , t )dt ) 2 = 0 。 T →∞ T 0
∫
+∞
−∞
up(u)du ，也可以将其视为 u 值对原点的 1
u
m
= ∫ u m p(u)du 。
−∞
+∞
(6-2-6)
随机变量对平均值的矩，称为中心矩。m 阶的中心矩可表示为
u'
m
= ∫ u'm p(u)du 。
−∞
+∞
(6-2-7)
6.2.3 随机函数的自相关函数
~ ~ ~ 随机函数 u (ω , t ) 既是初始事件 ω 的函数，也和确定性变量 t 有关，不同时刻的u (ω , t )
1 n φ = lim ∑ φl 。 n →∞ n l =1
(6-2-1)
统计平均也成为系综平均。与试验 φl 相联系的湍流脉动量 φ 'l 定义为其与数学期望的偏差：
φ 'l = φl − φ 。
u = u + u' ，或， u = u + u' 。
湍流研究中，另一种平均方法是时间序列平均，其定义为
之间的关系可用联合概率密度函数来表示，从而也可以用统计方法来表示。
~ ~ 定义： 随机函数 u (ω , t ) 在时刻 t 和时刻 t ′ 的乘积的统计平均值， 称为随机函数 u (ω , t ) 的
时间自相关函数，并用 Ruu (t , t ′) 表示
~ ~ Ruu (t , t ' ) = ∫ uu ' p (u , u ' ; t , t ' ) dudu ' = u (ω , t )u (ω , t ' ) ，
~ ~ 令 u′(ω,ξ) = u(ω,ξ) − u ，代入上式后得
1 L1 L2 L3 ~ u = lim( ∫−L1 ∫−L2 ∫−L3 u′(ω,x)dx) 。 Li →∞ 8L L L 1 2 3
上式表示空间平稳过程的系综平均等于全空间体积平均，且在全空间是常数。也就是说，空 间平稳过程某一次试验中随机函数在空间上的分布几乎取遍全系统所有可能的状态。 空间平稳态的湍流即为均匀湍流，就是说所有的一点统计量只和时间有关而和空间坐 标无关； 两点统计相关只和两点的相对位置有关。 根据空间自相关函数对于自变量的对称性， 在均匀湍流中有
类似于时间自相关函数，空间自相关函数也有以下性质： (1)关于 x1 ， x2 的对称性： Ruu (x1, x2 ) = Ruu (x2 , x1 ) ， (2)无穷远不相关： Ruu (x1, ∞) = 0 ，
∞∞∞
(3)绝对可积性：
∫∫∫ R
0 0 0
uu
(x, ξ) dξ < ∞ 。
如果空间相关函数 Ruu 只和两点间的距离有关，而和两点本身的空间位置无关，则称这
在湍流研究中，我们一般规定： (1)相关函数中的随机函数均指脉动函数，即平均值等于零的随机函数。 (2)给定相关函数中第一个下标量总位于 (x, t ) ，位于不同点的随机函数在下标前用“，” 分开，例如 3 阶速度相关的前两个速度随机函数位于同一点，则表示为：
Ru1u2 ,u3 = u1(x1, t )u2 (x1, t1)u3 (x2 , t ) 。
p (u , u′, t , t ′) 为联合概率密度函数。
。
(6-2-8)
如果在不同时刻的随机变量是完全独立的，则很容易证明它的自相关等于零。所以自
~ 相关是用统计方法确定性地表示随机函数 u(ω,t) 在不同时刻之间的关系。相关函数可以标
准化为自相关系数：
~ ~ ˆ Ruu = Ruu(t,t')/ u2(ω,t) ⋅ u2(ω,t') ，
(5)湍流场用欧拉变量 (x, t ) 表示的相关称为欧拉相关函数。
6.2.5 空间自相关和空间平稳过程
~ 如果随机函数和空间变量有关，则称它们为空间上的随机过程，一般可写作 u(ω, x) 。
不同空间位置 x1 ， x2 上随机变量的自相关称为空间自相关，空间自相关函数可写作，
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = u′(ω, x1)u′(ω, x2 ) 。
令 x2 = x1 + ξ ，则
Ruu(ξ) = Ruu(−ξ) 。
令ψ 及 φ 代表两个随机变量，有下列运算法则： (1)
ψ +φ = ψ + φ ，
=aψ ，
= φ ψ ，
(6-2-15a)
(2) a ψ (3) φ ψ
a 为常数
(6-2-15b) (6-2-15c)
(4)
∂φ ∂s
=
∂ φ ， s = x , y , z ,t ， ∂s
o o o o
按照 Kolmogorov 的观点，湍流运动跨越一个广泛的尺度，从供给能量的宏观尺度到能量被 粘性耗散的微观尺度。 各种尺度的涡的作用结果是能量逐渐从较大尺度的涡传递到较小尺度 的涡（图 6-3） 。这个过程称为湍流的能量级串。
另一方面， 要想给湍流一个普遍的定义还是有困难的， 这还是一个没有达成一致的问题。 湍流的每一个方面都是自相矛盾的。但是，大家都承认下列描述的某些基本元素： 1) 2) 3) 湍流要求有涡度的存在，无旋流动在边界条件允许的范围是稳定和光滑的。 湍流又非常复杂的结构，涉及广泛的时间和空间尺度。 湍流场表现出高强度的明显随机性和无序。 但是仔细观察揭示有镶嵌其中的有序流 动结构（有时称为相干结构） 。 4) 5) 6) 湍流是三维的（除非被强烈的旋转和分层限制为二维的） ，并有高速粘性耗散。 对流失踪剂可有湍流迅速混合。 湍流场往往表现出高水平的间歇性。 粗略地说， 它的变化由偶有发生的大事件主导。
但是， 湍流的另一个性质似乎比上面这些性质更为重要， 它可以解释为什么湍流要求统计处 理。这一性质被称为不稳定性、不可预测性或缺乏确定意义。更流行的术语就是，湍流是混 沌。
6.2 湍流的统计描述方法
6.2.1 统计平均与时间序列平均
我பைடு நூலகம்使用 出：
φ 来表示随机变量 φ 的统计平均，它通过相同现象的 n 次独立试验计算得
R (t,t') =R (t,τ) uu uu
(6-2-10)
(也可以说是 t 和 τ 的二元函数)。相关函数在τ =0的值称为随机函数在时间上的一点相关。 实际上它是随机变量的 2 阶矩，例如： R (t,0) = u2(t) 。 uu
自相关函数有以下性质： (1)关于变量 t 和 t′ 的对称性： Ruu (t,t′ ) = Ruu (t′,t ) 。这可以直接从定义得出。 (2)遗忘性： Ruu (t,∞ ) = 0,Ruu (t,−∞ ) = 0 。这符合湍流的物理性质，湍流可看作是复 杂的非线性动力系统，产生不规则运动的非线性动力系统在相隔很长的时间以后，初始状态 的特征几乎完全消失，也就是说相隔很长时间以后，随机变量和它的初始值几乎是独立的， 因而是不相关的。
(6-2-14)
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = Ruu (x1, ξ) = u′(ω, x1 )u′(ω, x1 + ξ) 。
~ 或 则空间自相关函数值等于 u′ 的二阶距， Ruu (x1,0) = u′2 (ω, x1 ) ， 即 如果 x1 = x2 ， ξ = 0 ，
又称为一点空间自相关。
~ ~ ~ 种随机过程为空间平稳过程。即当 u′(ω, x1 )u' (ω, x2 ) = Ruu (ξ) 时，称 u′(ω , x) 为空间平稳过
程，类似于时间平稳过程各态遍历定理，可证明空间平稳态也有
2 L1 L2 L3 1 ~, x)dx) = 0 。 lim ( u′(ω Li →∞ 8L L L ∫− L1 ∫− L2 ∫− L3 1 2 3
就是说，特征函数在 z＝0 处的各阶导数等于对应的各阶统计矩乘以 (i)n 。因此，若已知随 机变量的各阶统计矩，我们就可计算出概率密度函数。同时也说明， 已知统计矩的阶数越高， 得到随机变量的信息越多。于是，我们可以用各阶统计矩表示随机变量的性质。
2). 统计矩 流速统计平均值即为其数学期望 u = 阶矩。更一般地，对原点的任意 m 阶矩
6.1 对湍流的总体认识
近代湍流研究认为，湍流是一群不同尺度和强度、彼此嵌套、不断变化的涡 结构，显示了湍流的一种随机面貌。这其中，有两个变量扮演着重要作用：涡度 的特征直径 d 和它们的特征轨道速度 u 。由于湍流由许多尺度和速度不断变化的 涡组成，d 和 u 也是在一定范围变化的。但是，在时间上不变的均匀各项同性湍 流中，即一种统计的意义上时间不变和空间均匀、没有优势方向的湍流，所有具 有相同尺度 d 的涡或多或少以相同的方式行为， 并且可以认为具有相同的特征速 度 u 。也就是说，我们可以假设， u 是 d 的函数（图 6-2） 。
=
(6-2-15d)
(5)
∫ φ ( x , t ) d xdt
∫
φ ( x , t ) d x dt 。
(6-2-15e)
这些法则从平均的定义关系式如(6-2-12)、 (6-2-13)容易得到证明。 满足这五个性质的算 子 称为雷诺算子。由这些关系，我们可以导出
φ
= φ ，
φ' = 0 。
6.2.6 互相关函数
~ ~ ~ 根据定义， u′(ω,t) = u(ω,t) − u(ω,t) ，将它代入(6-2-12)，得
1 T ~ u = lim ( ∫ u (ω , t ) dt ) = u 。 T →∞ T 0
(6-2-13)
上式表示平稳随机过程中随机变量的系综平均等于其时间平均， 这一性质称为随机过程的各 态遍历。这意味着：一次实验中 u 的时间序列几乎取尽了系统中所有可能出现的值，这就是 各态遍历的意义。
zn n K ( z ) = ∑ (d K / dz n )0 ， n!
(6-2-5)
dK = dz 0
∫
+∞
−∞
ixp ( u ) dx = i u ，
d nK dz n
+∞ n = i ∫ x n p (u ) dx = i n u n 。 −∞ 0
(6-2-11)
我们这里不再给出这个定理的证明过程。 将(6-2-11)中的平均运算和极限运算交换，故必须有
T →∞
lim (
1 T ~ u ′(ω , t )dt ) 2 = 0 。 T ∫0
从而有
1 lim ( T →∞ T
∫
T
0
~ u ′(ω , t ) dt ) = 0 。
(6-2-12)
1 +∞ K ( z) = p(u ) exp(iuz )dx 。 2 π ∫− ∞
如果已知特征函数，通过傅里叶逆变换，可以求出分布密度函数
(6-2-3)
p (u ) =
1 +∞ ∫− ∞ K ( z ) exp(−iuz )dz 。 2π
(6-2-4)
由于分布密度函数 p (u ) 是绝对可积的，因此 K(z)是连续可微的，故可将 K(z)做泰勒展开：
−(1+α ) (3)绝对可积性：自相关函数的绝对值 Ruu (t,τ ) 在 τ → ∞ 时至少以 τ 的函数形
( α > 0 )趋于零，即有
∫
+∞
−∞
Ruu (t,τ ) dτ < ∞ 。
6.2.4 平稳随机过程
定义：如果随机过程的自相关系数 Ruu (t ,τ ) 只和时间间隔 τ 有关，则称它为平稳过程。
或
(6-2-9)
~ ~ ~ ~ ˆ Ruu = u(ω,t)u(ω,t') / u2(ω,t) ⋅ u2(ω,t')
~ 自相关系数的绝对值愈小，表示这两个时刻随机变量 u(ω,t)在统计上的联系越弱；反之，
自相关系数绝对值愈大，则表示两者在统计上有越密切的关系。 一般来说，自相关函数是 t、 t′两个自变量的二元函数，通常用 τ =t′ −t 和 t来表示两 个不同瞬间的自相关函数，即
1 u = lim T →∞ T
∫
t0 +T
t0
udt 。
(6-2-2)
系综平均与时间序列平均通过各态遍历定理建立等价联系。 湍流流速 u分解为平均值 u 或 u 和脉动值 u' ，
6.2.2 特征函数与统计矩
1). 特征函数 定义：对于连续性随机变量流速 u，若其分布密度函数为 p (u ) ，则 p (u ) 的傅里叶变换 称为随机变量的特征函数 K(z)
~ ~ ~ 各态遍历定理：设随机函数的涨落 u′(ω , t ) = u (ω , t ) − u (ω , t ) 是平稳过程，即： ~ ~ u′(ω , t )u′(ω , t + τ ) = Ruu (τ ) ，
且有
∫
+∞
−∞
Ruu (t ,τ ) dτ < ∞ ，则应有
1 T ~ lim ( ∫ u′(ω , t )dt ) 2 = 0 。 T →∞ T 0
∫
+∞
−∞
up(u)du ，也可以将其视为 u 值对原点的 1
u
m
= ∫ u m p(u)du 。
−∞
+∞
(6-2-6)
随机变量对平均值的矩，称为中心矩。m 阶的中心矩可表示为
u'
m
= ∫ u'm p(u)du 。
−∞
+∞
(6-2-7)
6.2.3 随机函数的自相关函数
~ ~ ~ 随机函数 u (ω , t ) 既是初始事件 ω 的函数，也和确定性变量 t 有关，不同时刻的u (ω , t )
1 n φ = lim ∑ φl 。 n →∞ n l =1
(6-2-1)
统计平均也成为系综平均。与试验 φl 相联系的湍流脉动量 φ 'l 定义为其与数学期望的偏差：
φ 'l = φl − φ 。
u = u + u' ，或， u = u + u' 。
湍流研究中，另一种平均方法是时间序列平均，其定义为
之间的关系可用联合概率密度函数来表示，从而也可以用统计方法来表示。
~ ~ 定义： 随机函数 u (ω , t ) 在时刻 t 和时刻 t ′ 的乘积的统计平均值， 称为随机函数 u (ω , t ) 的
时间自相关函数，并用 Ruu (t , t ′) 表示
~ ~ Ruu (t , t ' ) = ∫ uu ' p (u , u ' ; t , t ' ) dudu ' = u (ω , t )u (ω , t ' ) ，
~ ~ 令 u′(ω,ξ) = u(ω,ξ) − u ，代入上式后得
1 L1 L2 L3 ~ u = lim( ∫−L1 ∫−L2 ∫−L3 u′(ω,x)dx) 。 Li →∞ 8L L L 1 2 3
上式表示空间平稳过程的系综平均等于全空间体积平均，且在全空间是常数。也就是说，空 间平稳过程某一次试验中随机函数在空间上的分布几乎取遍全系统所有可能的状态。 空间平稳态的湍流即为均匀湍流，就是说所有的一点统计量只和时间有关而和空间坐 标无关； 两点统计相关只和两点的相对位置有关。 根据空间自相关函数对于自变量的对称性， 在均匀湍流中有
类似于时间自相关函数，空间自相关函数也有以下性质： (1)关于 x1 ， x2 的对称性： Ruu (x1, x2 ) = Ruu (x2 , x1 ) ， (2)无穷远不相关： Ruu (x1, ∞) = 0 ，
∞∞∞
(3)绝对可积性：
∫∫∫ R
0 0 0
uu
(x, ξ) dξ < ∞ 。
如果空间相关函数 Ruu 只和两点间的距离有关，而和两点本身的空间位置无关，则称这
在湍流研究中，我们一般规定： (1)相关函数中的随机函数均指脉动函数，即平均值等于零的随机函数。 (2)给定相关函数中第一个下标量总位于 (x, t ) ，位于不同点的随机函数在下标前用“，” 分开，例如 3 阶速度相关的前两个速度随机函数位于同一点，则表示为：
Ru1u2 ,u3 = u1(x1, t )u2 (x1, t1)u3 (x2 , t ) 。
p (u , u′, t , t ′) 为联合概率密度函数。
。
(6-2-8)
如果在不同时刻的随机变量是完全独立的，则很容易证明它的自相关等于零。所以自
~ 相关是用统计方法确定性地表示随机函数 u(ω,t) 在不同时刻之间的关系。相关函数可以标
准化为自相关系数：
~ ~ ˆ Ruu = Ruu(t,t')/ u2(ω,t) ⋅ u2(ω,t') ，
(5)湍流场用欧拉变量 (x, t ) 表示的相关称为欧拉相关函数。
6.2.5 空间自相关和空间平稳过程
~ 如果随机函数和空间变量有关，则称它们为空间上的随机过程，一般可写作 u(ω, x) 。
不同空间位置 x1 ， x2 上随机变量的自相关称为空间自相关，空间自相关函数可写作，
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = u′(ω, x1)u′(ω, x2 ) 。
令 x2 = x1 + ξ ，则
Ruu(ξ) = Ruu(−ξ) 。
令ψ 及 φ 代表两个随机变量，有下列运算法则： (1)
ψ +φ = ψ + φ ，
=aψ ，
= φ ψ ，
(6-2-15a)
(2) a ψ (3) φ ψ
a 为常数
(6-2-15b) (6-2-15c)
(4)
∂φ ∂s
=
∂ φ ， s = x , y , z ,t ， ∂s
o o o o
按照 Kolmogorov 的观点，湍流运动跨越一个广泛的尺度，从供给能量的宏观尺度到能量被 粘性耗散的微观尺度。 各种尺度的涡的作用结果是能量逐渐从较大尺度的涡传递到较小尺度 的涡（图 6-3） 。这个过程称为湍流的能量级串。
另一方面， 要想给湍流一个普遍的定义还是有困难的， 这还是一个没有达成一致的问题。 湍流的每一个方面都是自相矛盾的。但是，大家都承认下列描述的某些基本元素： 1) 2) 3) 湍流要求有涡度的存在，无旋流动在边界条件允许的范围是稳定和光滑的。 湍流又非常复杂的结构，涉及广泛的时间和空间尺度。 湍流场表现出高强度的明显随机性和无序。 但是仔细观察揭示有镶嵌其中的有序流 动结构（有时称为相干结构） 。 4) 5) 6) 湍流是三维的（除非被强烈的旋转和分层限制为二维的） ，并有高速粘性耗散。 对流失踪剂可有湍流迅速混合。 湍流场往往表现出高水平的间歇性。 粗略地说， 它的变化由偶有发生的大事件主导。
但是， 湍流的另一个性质似乎比上面这些性质更为重要， 它可以解释为什么湍流要求统计处 理。这一性质被称为不稳定性、不可预测性或缺乏确定意义。更流行的术语就是，湍流是混 沌。
6.2 湍流的统计描述方法
6.2.1 统计平均与时间序列平均
我பைடு நூலகம்使用 出：
φ 来表示随机变量 φ 的统计平均，它通过相同现象的 n 次独立试验计算得
R (t,t') =R (t,τ) uu uu
(6-2-10)
(也可以说是 t 和 τ 的二元函数)。相关函数在τ =0的值称为随机函数在时间上的一点相关。 实际上它是随机变量的 2 阶矩，例如： R (t,0) = u2(t) 。 uu
自相关函数有以下性质： (1)关于变量 t 和 t′ 的对称性： Ruu (t,t′ ) = Ruu (t′,t ) 。这可以直接从定义得出。 (2)遗忘性： Ruu (t,∞ ) = 0,Ruu (t,−∞ ) = 0 。这符合湍流的物理性质，湍流可看作是复 杂的非线性动力系统，产生不规则运动的非线性动力系统在相隔很长的时间以后，初始状态 的特征几乎完全消失，也就是说相隔很长时间以后，随机变量和它的初始值几乎是独立的， 因而是不相关的。
(6-2-14)
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = Ruu (x1, ξ) = u′(ω, x1 )u′(ω, x1 + ξ) 。
~ 或 则空间自相关函数值等于 u′ 的二阶距， Ruu (x1,0) = u′2 (ω, x1 ) ， 即 如果 x1 = x2 ， ξ = 0 ，
又称为一点空间自相关。
~ ~ ~ 种随机过程为空间平稳过程。即当 u′(ω, x1 )u' (ω, x2 ) = Ruu (ξ) 时，称 u′(ω , x) 为空间平稳过
程，类似于时间平稳过程各态遍历定理，可证明空间平稳态也有
2 L1 L2 L3 1 ~, x)dx) = 0 。 lim ( u′(ω Li →∞ 8L L L ∫− L1 ∫− L2 ∫− L3 1 2 3
就是说，特征函数在 z＝0 处的各阶导数等于对应的各阶统计矩乘以 (i)n 。因此，若已知随 机变量的各阶统计矩，我们就可计算出概率密度函数。同时也说明， 已知统计矩的阶数越高， 得到随机变量的信息越多。于是，我们可以用各阶统计矩表示随机变量的性质。
2). 统计矩 流速统计平均值即为其数学期望 u = 阶矩。更一般地，对原点的任意 m 阶矩