《垂径定理》教学课件

B
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
例1
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 CD ， 点o是 CD 的圆 心)，其中CD=600m,E为 CD 上一点， 且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半 径。
C E F O D
A
P
O
BFra Baidu bibliotek
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 O ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD A C E 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
.
D
B
C M└
●
B
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM，AC=BC，AD=BD
O
D
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦， 且CD⊥AB于M， ⌒ AD ⌒ =BD ⌒ ⌒ =BC, 求证：AM=BM， AC
证明： 连接OA,OB,
则OA=OB.
C
A
M└
●
O
∵CD⊥AB于M ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, B ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
②垂直于弦
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为 直径，则下列结论不正确的是（C） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B、BC=BD A、AC=AD C、AM=OM D、CM=DM
A
C
M└
●
D O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. ∴AC =BC,
D
垂径定理
C
驶向胜利 的彼岸
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,


⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
D
条件
①一条直径
③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的弧
老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理
巧手剪一剪

驶向胜利 的彼岸
将圆沿着圆心O对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下。 展开后是一个完整的圆吗？ 这说明了什么？
●
O
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形 它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？

●
O
圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.

驶向胜利 的彼岸

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 两个字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB B (用三个字母).
●
A
O
C D

连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
巧手折一折
1.将刚才折出的直径记为CD。 2.你能折一条与直径CD垂直的弦吗？ 3.将弦记为AB，将垂足记为M，则有 AB⊥CD于M。 4.你能发现图中有哪些等量关系？ A 请你说说它们相等的理由。