人教版九年级上册数学 旋转几何综合(培优篇)(Word版 含解析)
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人教版九年级上册数学旋转几何综合(培优篇)(Word版含解
析)
一、初三数学旋转易错题压轴题(难)
1.如图,在矩形ABCD中,6
AB cm
=,8
AD cm
=,连接BD,将ABD
△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D
'''
△(B′与B重合),且点D'刚好落在BC的延长上,A D''与CD相交于点E.
(1)求矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分(如图1中阴影部分A B CE
'')的面积;(2)将A B D
'''
△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移,如图2,当B′移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分的面积为y,移动的时间为x,请你直接写出y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x,使得AA B''
△成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x的值,若不存在,请你说明理由.
【答案】(1)2
45
2
cm;(2)
2
2
3316
24(0)
225
88020016
(4)
3335
x x x
y
x x x
⎧
--+≤<
⎪⎪
=⎨
⎪-+≤≤
⎪⎩
;(3)存在,使得AA B''
△成为等腰三角形的x的值有:0秒、
3
2
669
-
.
【解析】
【分析】
(1)先用勾股定理求出BD的长,再根据旋转的性质得出10
B D BD cm
''==,
2
CD B D BC cm
'=''-=,利用B D A
∠'''的正切值求出CE的值,利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积;
(2)分类讨论,当
16
5
x
≤<时和当
16
4
5
x
≤≤时,分别列出函数表达式;
(3)分类讨论,当AB A B
'=''时;当AA A B
'=''时;当AB AA
'='时,根据勾股定理列方程即可.
【详解】
解:(1)6
AB cm
=,8
AD cm
=,
10
BD cm
∴=,
根据旋转的性质可知10
B D BD cm
''==,2
CD B D BC cm
'=''-=,
tan A B CE B D A A D CD '''''∠=
='''
, 682CE ∴=, 32
CE cm ∴=, ()28634522222A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==
-⨯÷=-; (2)①当1605x ≤<时,22CD x '=+,32
CE x =, 233+22
CD E S x x '∴=△, 22133368242222
y x x x ∴=⨯⨯-=--+; ②当1645x ≤≤时,102BC x =-,()41023
CE x =- ()221488020010223333
y x x x ∴=⨯-=-+. (3)①如图1,当AB A B '=''时,0x =秒;
②如图2,当AA A B '=''时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+,245A M NB '==, 2236AN A N +'=,
222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,
解得:95x =秒,(95
x -=舍去); ③如图2,当AB AA '='时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+,245A M NB '==, 2222AB BB AN A N +'=+'
22
224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得:32
x =秒.
综上所述:使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有:0秒、
32秒、95.
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.
2.综合与探究:
如图1,Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点,点A 在y 轴正半轴上,点B 在x 轴正半轴上,4OA =,2OB =,将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ,过点C 作CD x ⊥轴于点D ,抛物线23y ax x c =++经过点C ,与y 轴交于点(0,2)E ,直线AC 与x 轴交于点H .
(1)求点C 的坐标及抛物线的表达式;
(2)如图2,已知点G 是线段AH 上的一个动点,过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F (点F 在第一象限),设点G 的横坐标为m .
①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________;
②如图3,当直线FG 经过点B 时,求点F 的坐标,判断四边形ABCF 的形状并证明结论;
③在②的前提下,连接FH ,点N 是坐标平面内的点,若以F ,H ,N 为顶点的三角形与FHC 全等,请直接写出点N 的坐标.
【答案】(1)点C 的坐标为(6,2),21322y x x =-++;(2)①143
m -+;②点F 的坐标为(4,6),四边形ABCF 为正方形,证明见解析;③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
(1)根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌,根据全等三角形的性质得出点C