沪科版二次函数课件完整版含练习

第一课时：认识二次函数
问题1：问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使距形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
问题3：一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190人，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个，问增加多少人可使每天装配总数最多，最多时是多少？
课堂练习：
1、 下列函数中，哪些是二次函数？
(1)2
x y = (2) 21
x
y -
= (3) 122
--=x x y （4）)1(x x y -=
（5）)1)(1()1(2
-+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）12
+=x y （2）12732
-+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数m
m x
m y --=2)1(2
为二次函数，
则m 的值为 。

4、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。

设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm 2),求：
（1） y 关于x 的函数解析式和自变量x
的取值范围。

（2） 当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，
对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。

听课笔记：
A
B
E
F
C
G
D
H
1、下列关系式中，x 为自变量，哪些是二次函数？
222322
231,52,21,
114,,2,y x y x x y x x y x y y x y x
x x
=-=-=-+-=-==+= 2、正方形的边长为5，如果边长增加x ，那么面积增加y.求y 关于x 的函数关系式。

3、长方体的长与宽均为x ，高为8.求长方体表面积S 关于x 的函数关系式。

4、从已知半径为R 的圆板上挖掉一个半径为(r R)r <的同心圆板。

求所剩圆环面积S 关于 r 的函数关系式。

5、在一块长为35m 、宽为20m 的矩形空地上建立花坛，如果在四周留出宽度为xm 的小路，中间花坛面积为2ym ，求y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围。

6、某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月销售增长率为x 。

求三月份销售额y 万元关于x 的函数关系式。

7、已知函数2
4(m 3)x (m 3)x 3m m y +-=++++是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）
.3.2.32.3-2A B C D --，，或，或
1、下列函数中，是二次函数的为（ ） A.()()()
2
2
21y x x x =+--- B.21y x =- C.2
1
y x x
=+
D.20y x -= 2、函数2321y x x =-+图像上的一个点是（ ）
.(32)A ， .(00)B ， .(12)C ， .(21)D ，
3、二次函数253y x x =-+的函数值为9，那么对应的x 的值为（ ） A.6 B.-1 C.6或-1 D.-6或1
4、若对于任意实数x ，二次函数()
21y a x =+的值总是非负数，则a 的取值范围（ ） A.1a ? B.1a ? C.1a - D.1a -
5、出售成本为10元的某种文具盒，若每个获利x 元（x 为正整数），一天可售出（6-x ）个，那么一天出售该种文具盒的总利润y 与x 的函数关系式为____________.
6、当k=_______时，函数()
1
11k y k x
+=-+为二次函数
7、某市去年的国民生产总值是2000亿元，预计该市今明两年的国民生产总值年平均增长率是x ，设该市明年的国民生产总值为y 亿元，则y 与x 之间的函数关系式__________
8、用长度为20cm 的铁丝围成一个矩形，求所围成矩形的面积S(cm ²)与长x （cm ）的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围。

9、某件商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件。

根据市场预测，定价每减少1元，销售量课增加10件。

每天销售该商品获利金额y(元)与定价x （元）之间的函数关系式。

10、一块长100m 、宽80m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路，这时草坪面积为y （m ²）。

求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

11、已知函数()
22
21y m m x mx m =++++，当m 为何值时：
（1）这个函数是一次函数 （2）这个函数是二次函数？
第二课时：二次函数2
y ax =的图像和性质
知识点回顾：一次函数图像是什么形状？有什么性质？
例1、画出二次函数2y x =和2
2y x =的图像。

解：列表： x
… -2 2
1
1--1 2
1-
0 2
1
1 2
11 2 … 2x y =
…
(2)
2x y =
…
…
描点：根据表中数据在平面中标出下列各点。

连线：用平滑曲线顺次连接各点，得二次函数的图像。

课堂练习：画出二次函数2-y x =和2
-2y x =的图像
思考：观察二次函数的图像，思考下列问题.
（1）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？
（3）当0x <时，随着x 值的增大，y 值如何变化？当
0x >时呢？
（4）论x 取何值，对于
2x y =来说，y 的值有什么
特征？ （5）当x 取 1,2
1
±±
等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？
由上面函数图像概括出：
（1） 二次函数的2
x y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
（2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。

（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

注意：顶点不是与y 轴的交点。

顶点坐
标（0,0）
（4） 从图像上看，抛物线2
x y =的顶点也是图像的最低点，也就是说，当0x ¹
时，对
应的函数值均大于0；当x=0时，对应的函数值y=0是所有函数值中最小的值（这时可记作=0y 最小值）
（5） 当0x <时，随着x 值的增大，y 值减小（即抛物线是下降的）；当0x >时，随着x
值的增大，y 值也增大（即抛物线是上升）。

（6） a 决定开口的大小，a 越大开口越大，a 越小开口越小； （7）
0a ，开口向上，0a ，开口向下
课堂练习：填空
抛物线 2x y =
2-x y =
顶点坐标 对称轴
位 置（经过的象限）
开口方向
二次函数2y ax = （a 0）
图像的特点
2y ax = （a 0）
函数的性质2
y ax = （a 0）
2y ax = （a 0）
图像
1
2
3
4
二次函数2y ax = （a 0）
图像的特点
2y ax = （a 0）
函数的性质2
y ax = （a 0）
2y ax = （a 0）
图像
1
2
3
4
随堂练习：
1、（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数222211
-3-333
y x y x y x y x =
===、、、的图像；（2）观察图像，说出图像的顶点坐标、开口方向、对称轴；（3）说出各函数的最值；
（4）说明各函数图像在对称轴两侧部分，函数值y 随x 值增大而变化的情况。

2、下列抛物线开口最大、最小的各是哪一个？ 2222115
+2323
y x y x y x y x =-
=-==、、、（2）
3、在同一直角坐标系里，下列各组中两个函数的图像有怎样的关系？ （1）2
2
22y x y x =-=与 （2）2
2
33y x y x =-=与
（3）2
2
y ax y ax =-=与
一、基础巩固
1.函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值,它与函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.
2.二次函数y=-x 2的图像,在y 轴的右边,y 随x 的增大而________.
3.已知抛物线y=ax 2和直线y=kx 的交点是P(-1,2),则a=______,k=______.
4.抛物线y=ax 2与y=x 2的开口大小、形状一样、开口方向相反,则a=____.
5.已知y=m 2
1
m
x +的图像是不在第一、二象限的抛物线,则m=_______.
6.若点A(2,m)在抛物线y=x 2上,则点A 关于y 轴对称点的坐标是_____.
7.二次函数y=m 2
1
m
x -有最低点,则m=________.
8.若二次函数y=-ax 2,当x=2时,y=1
2
;则当x=-2时,y 的值是_________. 9.函数y =6
22--a a ax
是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开
口向下.
10.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______. 11.函数y =k
k kx
-2，当k =______时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x ______时，y
随x 的增大而减小. 12.二次函数y =－
4
1x 2
，当x 1<x 2<0时，y 1与y 2的大小为______. 13.已知二次函数y 甲=mx 2和y 乙=nx 2，对任意给定一个x 值都有y 甲≥y 乙，关于m ，n 的关系正确的是_____(填序号).
①m <n <0 ②m >0，n <0 ③m <0，n >0 ④m >n >0
14.写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的表达式：______. 15.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( )
A.a ≠0，b ≠0，c ≠0;
B.a <0，b ≠0，c ≠0;
C.a >0，b ≠0，c ≠0;
D.a ≠0 16.在图中，函数y =－ax 2与y =ax +b 的图象可能是( )
B
x
y
x
y
x
y
x
y
A
C D
O
O
O
O
17、已知1a - ，点()()()
1231,,,,1,a y a y a y -+都在函数2
y x =的图像上，试比较
123,,y y y 的大小。

25.直线y=2x+3与抛物线y=ax 2交于A 、B 两点,已知点A 的横坐标是3,求A 、B 两点坐标及
抛物线的函数关系式.
26.抛物线y=ax 2经过点A(-1,2),不求a 的大小,判断抛物线是否经过M(1,2)和N(-2,-3)两点?
27.已知点A(1,a)在抛物线y=x 2上. (1)求A 点的坐标.
(2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,
说明理由.
28.已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =
3
1x 2
的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式;
(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.
15、如图，等腰直角三角形ABC 以2/cm s 的速度沿直线l 向正方形CDEF 移动，直到AB 与DC 重合.设移
动()x
s 时，三角形与正方形重叠部分的面积为()2y cm 。

（1）写出y 与x 的关系式；（2）当x=2,3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
第三课时：二次函数2
y ax k =+的图像和性质
问题1，你能在同一直角坐标系中，画出函数22y x =、221y x =+、22-1y x =的图象吗? 填表：
再描点、连线，即得各函数的图像
观察图像： 1、填写下表
抛物线
开口方向
对称轴 顶点坐标
22y x =
221y x =+ 22-1y x =
2、对于同一个x 值，二次函数22y x =、221y x =+、22-1y x =的值之间有什么关系？这三个
函数图像在位置上有什么关系？
x
… 0 … 22y x =
…
… 221y x =+… … 22-1y x =
3、当x 取何值时，二次函数
22y x =、221y x =+、22-1y x =取得最小值？最小值分别是多少？
4、你能由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质吗?
当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大
结论：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最大（小）值
y=ax 2+k
a >0时，开口向上
y 轴或x=0 （0，k ） 顶点在y
轴上
当a >0时，在对称轴的左侧，x <0函数值y 随x 值的增大而减小，x >0函数值y 随x 值的增大而增大。

当x=0时，y 最小=k
a <0时，开口向下 当a <0时，在对称轴的左侧，x <0函数值y 随x 值的增大而增大；x >0函数值y 随x 值的增大而减小。

当x=0时，y 最大=k
随堂练习：
1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；
(2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，
y＝1
2x
2，y＝
1
2x
2＋2，y＝
1
2x
2－2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。

你能说出抛物线y＝1
2x
2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?
3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝1
2x
2得到
抛物线y＝1
2x
2＋2和y＝
1
2x
2－2?
4．试说出函数y＝1
2x
2，y＝
1
2x
2＋2，y＝
1
2x
2－2的图象所具有的共同性质。

5、抛物线y=4x2-1的开口向————对称轴是——————，顶点坐标是—————。

与y轴的交点坐标是——————，与x轴交点坐标是——————，当x=_____,y最_____=_____,当x___0,y随x的增大而减小；当x___0,y随x的增大而增大。

它是由抛物线y=4x2向_____平移___个单位得到y=4x2-1
一、基础巩固
1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____
点,所以函数有最________值是_____.
2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.
3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.
4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.
5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.
6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.
7、已知点A
()()1
2
,2012,,2012x B x 是抛物线2
5y x
=-上相异两点，当12x x x =+时，二次函数
25y x =-的值为________
8.在同一坐标系中，二次函数y=－
2
1x 2
，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 9.抛物线y=－41x 2+1，y=－41(x+1)2与抛物线y=－4
1
(x 2+1)的_____相同，_____不同.
10、已知正比例函数(a 0),y ax =?y 随x 的增大而减小，则函数2
y ax a =+的图像经过象
限是_______________
4、已知函数
2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；
二、能力提升
11、求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=
12
x 2
的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.
12、一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y 万元,求y 与x 的函数关系式.
13、将抛物线2
1y x =+以x 轴为对称轴进行翻折，求翻折后得到的抛物线的解析式。

14、已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.
15、试分别说明将抛物线：(1)y=(x+1)2；(2)y=(x －1)2；(3)y=x 2+1；(4)y=x 2－1的图象通过怎样的平移得到y=x 2的图象.
17、二次函数2
-1y x =+的图像与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C ，求： （1）点C 的坐标（2）线段AB 的长（3）△ABC 是怎样的三角形
第四课时：二次函数()
2
y a x h
=+的图像和性质
问题1，你能在同一直角坐标系中，画出函数2y x =、()21y x =-、()
2
+1y x =的图象
吗? 填表：
再描点、连线，即得各函数的图像
观察图像： 1、填写下表
抛物线
开口方向
对称轴 顶点坐标
2y x =
()21y x =-
x
… 0 … 2y x =
…
… ()21y x =-… … ()2+1y x =
()2+1y x =
4、对于同一个x 值，二次函数2y x =、()21y x =-、()2+1y x =的值之间有什么关系？这三
个函数图像在位置上有什么关系？ 5、当x 取何值时，二次函数
2y x =、()21y x =-、()2+1y x =取得最小值？最小值分别是多少？
4、你能由函数2
y x =的性质，得到函数
()21y x =-的一些性质吗?
当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大
结论：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最大（小）值
y=a(x+h)2
a >0时，开口向上
x=-h
（-h ，0）
当a >0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而减小，x >-h 函数值y 随x 值的增大而增大。

当x=-h 时，y 最小=0
a <0时，开口向下
当a <0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而增大；x >-h 函数值y 随x 值的增大而减小。

当x=-h 时，y 最大=0
1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(1)y ＝4x 2与y ＝4(x －3)2 (2)y ＝12(x ＋1)2与y ＝1
2(x －1)2
2．已知函数y ＝－14x 2，y ＝－14(x ＋2)2和y ＝－1
4(x －2)2。

(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y ＝－1/4x2的图象得到函数y ＝－1
4(x ＋
2)2和函数y ＝－1
4
(x －2)2的图象?
(4)分别说出各个函数的性质。

3．已知函数y ＝4x 2，y ＝4(x ＋1)2和y ＝4(x －1)2。

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y ＝4x 2的图象得到函数y ＝4(x ＋1)2和函数y ＝4(x －1)2的图象，
(4)分别说出各个函数的性质．
4．二次函数y ＝a(x －h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系?
5、抛物线y=-2(x-1)2开口向______，对称轴______,顶点坐标______,当x=____时y 最
_____=_____,当x____时,y 随x 的增大而增大，
当x____时,y 随x 的增大而减小，它是由y=-2x 2向___平移____单位而得到的，它与x 轴的交点坐标是______,与y 轴的交点坐标是_______。

6、抛物线()
()
2
2
-3,06y a x b y x =+=的顶点为，形状与相同，但开口方向相反。

（1）求抛物线的函数关系式 （2）求抛物线与y 轴交点坐标
基础巩固
1.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标为___．
2.把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______ ；向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为
3.将抛物线y ＝－1
3 (x －1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式
4.二次函数y=x 2-mx+1的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是 .
5.抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口__ ____；顶点坐标为___；对称轴是_________；当x ＞－3时，y 随x 的增大而 ；当x ＝－3时，y 有最_____值是_________． 6．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则m ＝_______，n ＝______．
7、二次函数2)2(31
+=x y ，若y 恒大于0，则自变量x 的取值范围是（ ）
8、把抛物线22y x =向左平移使顶点坐标是（-1，0），则所得抛物线的函数表达式为 。

9、一条抛物线的对称轴是1x =，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是 。

（任写一个。

） 10．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y = 。

11．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式。

12、二次函数()2
h x a y -=的图象如图：已知2
1
=
a ，OA OC =，试求该抛物线的解析式。

能力提升：
13、将抛物线2
y=向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线ax
1,3，求a的值。

经过点()
14、如图所示，抛物线2
=--的顶点为A，直线L：y x m
()
y x m
=-与y轴的交点为B，其中m>0。

（1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含m的式子表示）；
（2）若点A在直线L上，求∠ABO的大小。

15、如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB 为6m，当水位上升0.5m时：
（1）求抛物线的解析式。

（2）求水面的宽度为多少米？
（3）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。

若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？
第五课时：二次函数()
2
+y a x h
k =+的图像和性质
问题1，你能在同一直角坐标系中，画出函数212y x =、()2122y x =-、()21
-2+12
y x =的图象吗?
函数解析式
图像的对称轴
图像的顶点坐标
22
1x y =
()21
22y x =
- ()21
-2+12y x =
1、对于同一个x 值，二次函数
2
21x y =
、()2122y x =-、()21-2+12
y x =的值之间有什么关系？这三个函数图像在位置上有什么关系？ 2、当x 取何值时，二次函数2
21x y =
、()2122y x =-、()21-2+12
y x =取得最小值？最小值分别是多少？
3、你能由函数2y x =的性质，得到函数()21
-2+12
y x =
的一些性质吗? 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增
大 结论：
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最大（小）值
y=a(x+h)2+k
a >0时，开口向上
x=-h
（-h ，k ）
当a >0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而减小，x >-h 函数值y 随x 值的增大而增大。

当x=-h 时，y 最小=k
a <0时，开口向下
当a <0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而增大；x >-h 函数值y 随x 值的增大而减小。

当x=-h 时，y 最大=k
1、不画图像，确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出x 为何值时，y 有最大（小）值，并求出这个值，以及求出x 为何值时，图像的增减情况。

22
(1)(2)2;
1(2)(1)3
3
y x y x =--+=+- 2、抛物线
5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，
即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。

第六课时：2
y ax bx c =++图像和性质
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最大（小）值
2y ax bx c
=++
a >0时，开口向上
2b x a
=-
24-24b ac b a a
-（,）
当a >0时，在对称轴的左侧，2b x a
<-
函数值y 随x 值的增大而减小，2b
x a
>-
函数值y 随x 值的增大而增大。

当
2b x a
=-
时，y
最
小
=
244ac b a
-
a <0时，开口向下
当a <0时，在对称轴的左侧，2b x a
<-
函数值y 随x 值的增大而增大；2b
x a
>-
函数值y 随x 值的增大而减小。

当
2b x a
=-
时，y
最
大
=
244ac b a
-
课堂练习： 1、二次函数
2231y x x =++的开口_____,对称轴为______，顶点坐标为______,当x=______时，y 有最
____为_______ 2、求抛物线
2
5
3212-+-=x x y 的对称轴和顶点坐标。

3、 已知函数y= x 2 -2x -3 , （１）把它写成
k m x a y ++=2)(的形式；并说明它是由2y x =怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图； 4、用配方法把下列函数化成
()2
y a x h k =++的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，
然后再用描点法画出函数图像。

（1）2285y x x =++ （2）2364y x =-+
（3）
21
213
y x x =+- （3）()()221y x x =-+
5、抛物线2
35y x x =-的最低点坐标是（_____,______）;抛物线2
35y x x =-可由抛物线
23y x =向_______平移_______个单位，在向_____平移_______个单位得到。

当x ________
时，函数值y 随x 值的增大而减小；当x _______时，函数值y 随x 值的增大而增大；当x _________时，函数值取得最_____值，y 最小值=_______
6、已知抛物线2
4y x x a =-+的顶点在直线41y x =--上，求抛物线的顶点坐标。

强化训练：
1．二次函数2
y ax =0a （）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

2．关于2
13
y x =
，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同
3．两条抛物线2
y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）
A ．顶点相同
B ．对称轴相同
C ．开口方向相反
D ．都有最小值 4．在抛物线2
y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）
A ．x ＞0
B ．x ＜0
C ．x ≠0
D ．x ≥0
5．对于抛物线2
y x =与2
y x =-下列命题中错误的是（ ）
A ．两条抛物线关于x 轴对称
B ．两条抛物线关于原点对称
C ．两条抛物线各自关于y 轴对称
D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b 2x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－
21
(2)2
x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

8．抛物线2
2(1)3y x =+-的顶点坐标是（ ）
A ．（1，3）
B ．（-1，3）
C ．（1，-3）
D ．（-1，-3）
9．二次函数2
y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A ．y=a 2(2)x -＋3
B ．y=a 2
(2)x -－3 C ．y=a 2(2)x +＋3 D ．y=a 2
(2)x +－3 10．抛物线2
44y x x =--的顶点坐标是（ ）
A ．（2，0）
B ．（2，-2）
C ．（2，-8）
D ．（-2，-8） 11．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－2
2(2)x -＋4的说法不正确的是（ ）
A ．抛物线的形状相同
B ．抛物线的顶点相同
C ．抛物线对称轴相同
D ．抛物线的开口方向相反
13．化243y x x =++为y=243x x ++为y =a 2
()x h -k +的形式是＿＿＿＿，图像的开
口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

14．抛物线y=2
4x x +－1的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

15．函数y=12
-
2
x ＋2x －5的图像的对称轴是（ ） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=4 16．二次函数y=2
21x x --+图像的顶点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
17．如果抛物线y=2
6x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）
A ．0
B ．6
C ．3
D ．9
18．抛物线y=2
22x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜－1或m ＞2
B ．m ＜0或m ＞－1
C ．－1＜m ＜0
D ．m ＜－1 19．已知二次函数2
y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
20．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2
ax bx +的图像是（ ）
21．通过配方变形，说出函数2
288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 第七课时：用待定系数法求函数解析式。

知识点回顾：待定系数法求函数解析式步骤
①设适当的二次函数关系式，即一般式：______________或者顶点式__________________; ②根据已知信息，构建关于待定系数的____________; ③解方程组；把求出的待定系数的值代入所设的关系式。

例1、已知一个二次函数的图像经过()
-1,10、（1,4）、（2,7）三点。

求这个二次函数的关系式。

例2、有一个二次函数，当1x =-时，函数的最小值为-3，他的图像经过点（1,5）。

求这个二次函数的关系式。

课堂练习：
1、根据二次函数图像上三个点的坐标，求这个二次函数的关系式：
()-1,-1-、（0,2
）、（1,1） 2、平移二次函数2
y ax =的图像，使它满足下列条件，并分别求对应的函数关系式：
（1）顶点为点--（1,2），且经过点B （1,10）；
（2）对称轴为直线3x =，最大值为-1，且经过点C （4,3）
3、平移二次函数2
2y x =的图像，使它经过-（1,1）、（2,3）两点。

求这时图像对应的函数
关系式。

4、把抛物线2
y x bx c =++先向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2
y x =，
求b c 、的值
5、一次函数3y x =-的图像与x 轴，y 轴分别交于A,B 。

二次函数2
y x bx c =++的图像
经过点A,B 。

（1）求点A,B 的坐标；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值。

6、抛物线2
-y x bx c =+经过点A （3,0）、B （0,3）
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）记抛物线的顶点为D ，抛物线与x 轴的另一个交点为C ，设P 为抛物线上一动点，求使=3PAC DAC S S 时点P 的坐标。

6、已知二次函数()
22
24y m x mx n =--+的图像的对称轴是2x =，且最高点在直线
1
12
y x =
+上，求这个二次函数的解析式。

例3、根据二次函数图像上三个点的坐标，求这个二次函数的关系式： ()-2,0、（3,0）、（2,8）
二次函数图像和性质强化练习
1、已知抛物线342
++=x x y ，请回答以下问题：
⑴、它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ； ⑵、图像与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。

2、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ． 3、二次函数2
243y x x =--，当x = 时，函数y 有最 值是 . 4、（1）二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。

二次函数
122--=x x y 的顶点坐标为 ，对称轴为 。

（2）二次函数y=2x 2-4的顶点坐标为________，对称轴为__________。

5、二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。

6、二次函数1)3(22
-+-=x y 由1)1(22
+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。

7、抛物线3)2(32
-+=x y 可由抛物线2)2(32
++=x y 向 平移 个单位得到． 8、将抛物线2)3(6
5
2+-=
x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 9、把抛物线1)1(2
---=x y 向 平移 个单位，再向_____平移_______个单位得到抛物线3)2(2
-+-=x y ．
10、抛物线122--=x x y 可由抛物线142
+-=x x y 向 平移 个单位，再向_____平移_______个单位得到．
11、抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0． 12、已知二次函数232)1(2
-++-=m mx x m y ，则当=m 时，其最大值为0． 13、 二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a ＞0,b ＜0,c ＞0 B.a ＜0,b ＜0,c ＞0
C.a ＜0,b ＞0,c ＜0
D.a ＜0,b ＞0,c ＞0
14、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2
，平移方法是( ) A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位
15、二次函数y=x 2
+6x-2的最小值为（ ）
A 11
B -11
C 9
D -9
16、已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数2
22k x kx y +-=
的图像大致为（ ）
A B C D
17、二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
第17题 第19题 第20题
18、二次函数c bx x y ++=2
的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）
（A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x =
19、如图所示，二次函数y=x 2-4x+3的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积为（ ）
A 6
B 4
C 3
D 1 20、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图像中，观察得出了+下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >（6）对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为（ ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
21、已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当x =1时，y 有最大值为5，且它的图像经过点（2，3），求这个函数的关系式.
22、已知二次函数y = -x 2+bx +5，它的图像经过点（2，-3）. （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标.
O x y -1 1 y O
x y O x y O x O x y y O x B
A x
0 C y 0 2 3-x y
（2）当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而增大？当为x 何值时，函数y 随着x 的增大而减小？
23、已知抛物线y =x 2-2x +a 的顶点A 在直线y =-x +3上，直线y =-x +3与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点. （1）求点B 的坐标与a 的值. （2）求△AOB 的面积.
24、二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴交于点A （-8,0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）、求二次函数的解析式； （2）、求二次函数的图像的顶点坐标；
第八课时：二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系
1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横
坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；
2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x
轴交点个数情况：①判别式∆②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ）个
②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2＋bx ＋c －5＝0的根有（ ）个
x 3-≥a
y
x
B A
C O 5
例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋4
1
与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个；
例3：一元二次方程22717)83(2
-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；
例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；
（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；
（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。

3、 韦达定理在二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（
a
c
a b x x x
x =-=+2
12
1
，） ① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线
m x y x +-=22
与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）
； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212
421)
(-=+
例6：若抛物线32
-+=ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a
利用韦达定理求面积： 例7：抛物线m x y x
++=
-22
与X 轴的一个交点是A(3，0）
，另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ， （1）求m 的值；
（2）求点B 的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使
s s
ABC ABD
∆∆=，求点
D 的坐标。

1 3
2 2。