沪科版二次函数课件完整版含练习

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第一课时:认识二次函数
问题1:问题1、现有一根12m 长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才使距形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ,它的面积最大,他说的有道理吗?
问题2、很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?
问题3:一玩具厂,有装配工15人,规定每人每天应装配玩具190人,但如果每增加一人,那么每人每天可少装配10个,问增加多少人可使每天装配总数最多,最多时是多少?
课堂练习:
1、 下列函数中,哪些是二次函数?
(1)2
x y = (2) 21
x
y -
= (3) 122
--=x x y (4))1(x x y -=
(5))1)(1()1(2
-+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)12
+=x y (2)12732
-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m
m x
m y --=2)1(2
为二次函数,
则m 的值为 。

4、如图,一张正方形纸板的边长为2cm ,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)。

设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm 2),求:
(1) y 关于x 的函数解析式和自变量x
的取值范围。

(2) 当x 分别为0.25,0.5,1.5,1.75时,
对应的四边形EFGH 的面积,并列表表示。

听课笔记:
A
B
E
F
C
G
D
H
1、下列关系式中,x 为自变量,哪些是二次函数?
222322
231,52,21,
114,,2,y x y x x y x x y x y y x y x
x x
=-=-=-+-=-==+= 2、正方形的边长为5,如果边长增加x ,那么面积增加y.求y 关于x 的函数关系式。

3、长方体的长与宽均为x ,高为8.求长方体表面积S 关于x 的函数关系式。

4、从已知半径为R 的圆板上挖掉一个半径为(r R)r <的同心圆板。

求所剩圆环面积S 关于 r 的函数关系式。

5、在一块长为35m 、宽为20m 的矩形空地上建立花坛,如果在四周留出宽度为xm 的小路,中间花坛面积为2ym ,求y 关于x 的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围。

6、某商场今年一月份销售额为50万元,二、三月份平均每月销售增长率为x 。

求三月份销售额y 万元关于x 的函数关系式。

7、已知函数2
4(m 3)x (m 3)x 3m m y +-=++++是关于x 的二次函数,则m 的值为( )
.3.2.32.3-2A B C D --,,或,或
1、下列函数中,是二次函数的为( ) A.()()()
2
2
21y x x x =+--- B.21y x =- C.2
1
y x x
=+
D.20y x -= 2、函数2321y x x =-+图像上的一个点是( )
.(32)A , .(00)B , .(12)C , .(21)D ,
3、二次函数253y x x =-+的函数值为9,那么对应的x 的值为( ) A.6 B.-1 C.6或-1 D.-6或1
4、若对于任意实数x ,二次函数()
21y a x =+的值总是非负数,则a 的取值范围( ) A.1a ? B.1a ? C.1a - D.1a -
5、出售成本为10元的某种文具盒,若每个获利x 元(x 为正整数),一天可售出(6-x )个,那么一天出售该种文具盒的总利润y 与x 的函数关系式为____________.
6、当k=_______时,函数()
1
11k y k x
+=-+为二次函数
7、某市去年的国民生产总值是2000亿元,预计该市今明两年的国民生产总值年平均增长率是x ,设该市明年的国民生产总值为y 亿元,则y 与x 之间的函数关系式__________
8、用长度为20cm 的铁丝围成一个矩形,求所围成矩形的面积S(cm ²)与长x (cm )的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围。

9、某件商品每件成本40元,以单价55元试销,每天可售出100件。

根据市场预测,定价每减少1元,销售量课增加10件。

每天销售该商品获利金额y(元)与定价x (元)之间的函数关系式。

10、一块长100m 、宽80m 的矩形草地,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x (m )的小路,这时草坪面积为y (m ²)。

求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围。

11、已知函数()
22
21y m m x mx m =++++,当m 为何值时:
(1)这个函数是一次函数 (2)这个函数是二次函数?
第二课时:二次函数2
y ax =的图像和性质
知识点回顾:一次函数图像是什么形状?有什么性质?
例1、画出二次函数2y x =和2
2y x =的图像。

解:列表: x
… -2 2
1
1--1 2
1-
0 2
1
1 2
11 2 … 2x y =

(2)
2x y =


描点:根据表中数据在平面中标出下列各点。

连线:用平滑曲线顺次连接各点,得二次函数的图像。

课堂练习:画出二次函数2-y x =和2
-2y x =的图像
思考:观察二次函数的图像,思考下列问题.
(1)图像是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)图像有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?
(3)当0x <时,随着x 值的增大,y 值如何变化?当
0x >时呢?
(4)论x 取何值,对于
2x y =来说,y 的值有什么
特征? (5)当x 取 1,2
1
±±
等互为相反数时,对应的y 的值有什么特征?
由上面函数图像概括出:
(1) 二次函数的2
x y =图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,
(2) 这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是抛物线的对称轴。

(3) 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

注意:顶点不是与y 轴的交点。

顶点坐
标(0,0)
(4) 从图像上看,抛物线2
x y =的顶点也是图像的最低点,也就是说,当0x ¹
时,对
应的函数值均大于0;当x=0时,对应的函数值y=0是所有函数值中最小的值(这时可记作=0y 最小值)
(5) 当0x <时,随着x 值的增大,y 值减小(即抛物线是下降的);当0x >时,随着x
值的增大,y 值也增大(即抛物线是上升)。

(6) a 决定开口的大小,a 越大开口越大,a 越小开口越小; (7)
0a ,开口向上,0a ,开口向下
课堂练习:填空
抛物线 2x y =
2-x y =
顶点坐标 对称轴
位 置(经过的象限)
开口方向
二次函数2y ax = (a 0)
图像的特点
2y ax = (a 0)
函数的性质2
y ax = (a 0)
2y ax = (a 0)
图像
1
2
3
4
二次函数2y ax = (a 0)
图像的特点
2y ax = (a 0)
函数的性质2
y ax = (a 0)
2y ax = (a 0)
图像
1
2
3
4
随堂练习:
1、(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数222211
-3-333
y x y x y x y x =
===、、、的图像;(2)观察图像,说出图像的顶点坐标、开口方向、对称轴;(3)说出各函数的最值;
(4)说明各函数图像在对称轴两侧部分,函数值y 随x 值增大而变化的情况。

2、下列抛物线开口最大、最小的各是哪一个? 2222115
+2323
y x y x y x y x =-
=-==、、、(2)
3、在同一直角坐标系里,下列各组中两个函数的图像有怎样的关系? (1)2
2
22y x y x =-=与 (2)2
2
33y x y x =-=与
(3)2
2
y ax y ax =-=与
一、基础巩固
1.函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值,它与函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.
2.二次函数y=-x 2的图像,在y 轴的右边,y 随x 的增大而________.
3.已知抛物线y=ax 2和直线y=kx 的交点是P(-1,2),则a=______,k=______.
4.抛物线y=ax 2与y=x 2的开口大小、形状一样、开口方向相反,则a=____.
5.已知y=m 2
1
m
x +的图像是不在第一、二象限的抛物线,则m=_______.
6.若点A(2,m)在抛物线y=x 2上,则点A 关于y 轴对称点的坐标是_____.
7.二次函数y=m 2
1
m
x -有最低点,则m=________.
8.若二次函数y=-ax 2,当x=2时,y=1
2
;则当x=-2时,y 的值是_________. 9.函数y =6
22--a a ax
是二次函数,当a =_____时,其图象开口向上;当a =_____时,其图象开
口向下.
10.若函数y =(k 2-4)x 2+(k +2)x +3是二次函数,则k ______. 11.函数y =k
k kx
-2,当k =______时,它的图象是开口向下的抛物线;此时当x ______时,y
随x 的增大而减小. 12.二次函数y =-
4
1x 2
,当x 1<x 2<0时,y 1与y 2的大小为______. 13.已知二次函数y 甲=mx 2和y 乙=nx 2,对任意给定一个x 值都有y 甲≥y 乙,关于m ,n 的关系正确的是_____(填序号).
①m <n <0 ②m >0,n <0 ③m <0,n >0 ④m >n >0
14.写出一个开口向上,顶点是坐标原点的二次函数的表达式:______. 15.函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数)是二次函数的条件是( )
A.a ≠0,b ≠0,c ≠0;
B.a <0,b ≠0,c ≠0;
C.a >0,b ≠0,c ≠0;
D.a ≠0 16.在图中,函数y =-ax 2与y =ax +b 的图象可能是( )
B
x
y
x
y
x
y
x
y
A
C D
O
O
O
O
17、已知1a - ,点()()()
1231,,,,1,a y a y a y -+都在函数2
y x =的图像上,试比较
123,,y y y 的大小。

25.直线y=2x+3与抛物线y=ax 2交于A 、B 两点,已知点A 的横坐标是3,求A 、B 两点坐标及
抛物线的函数关系式.
26.抛物线y=ax 2经过点A(-1,2),不求a 的大小,判断抛物线是否经过M(1,2)和N(-2,-3)两点?
27.已知点A(1,a)在抛物线y=x 2上. (1)求A 点的坐标.
(2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,
说明理由.
28.已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ,它们的横坐标分别是3,-1,若二次函数y =
3
1x 2
的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式;
(2)设二次函数的顶点为C ,求△ABC 的面积.
15、如图,等腰直角三角形ABC 以2/cm s 的速度沿直线l 向正方形CDEF 移动,直到AB 与DC 重合.设移
动()x
s 时,三角形与正方形重叠部分的面积为()2y cm 。

(1)写出y 与x 的关系式;(2)当x=2,3.5时,y 分别是多少?(3)当重叠部分面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?
第三课时:二次函数2
y ax k =+的图像和性质
问题1,你能在同一直角坐标系中,画出函数22y x =、221y x =+、22-1y x =的图象吗? 填表:
再描点、连线,即得各函数的图像
观察图像: 1、填写下表
抛物线
开口方向
对称轴 顶点坐标
22y x =
221y x =+ 22-1y x =
2、对于同一个x 值,二次函数22y x =、221y x =+、22-1y x =的值之间有什么关系?这三个
函数图像在位置上有什么关系?
x
… 0 … 22y x =

… 221y x =+… … 22-1y x =
3、当x 取何值时,二次函数
22y x =、221y x =+、22-1y x =取得最小值?最小值分别是多少?
4、你能由函数y =2x 2的性质,得到函数y =2x 2+1的一些性质吗?
当x______时,函数值y 随x 的增大而减小;当x______时,函数值y 随x 的增大而增大
结论:
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最大(小)值
y=ax 2+k
a >0时,开口向上
y 轴或x=0 (0,k ) 顶点在y
轴上
当a >0时,在对称轴的左侧,x <0函数值y 随x 值的增大而减小,x >0函数值y 随x 值的增大而增大。

当x=0时,y 最小=k
a <0时,开口向下 当a <0时,在对称轴的左侧,x <0函数值y 随x 值的增大而增大;x >0函数值y 随x 值的增大而减小。

当x=0时,y 最大=k
随堂练习:
1.分别在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。

(1)y=-2x2与y=-2x2-2;
(2)y=3x2+1与y=3x2-1。

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象,
y=1
2x
2,y=
1
2x
2+2,y=
1
2x
2-2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。

你能说出抛物线y=1
2x
2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?
3.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=1
2x
2得到
抛物线y=1
2x
2+2和y=
1
2x
2-2?
4.试说出函数y=1
2x
2,y=
1
2x
2+2,y=
1
2x
2-2的图象所具有的共同性质。

5、抛物线y=4x2-1的开口向————对称轴是——————,顶点坐标是—————。

与y轴的交点坐标是——————,与x轴交点坐标是——————,当x=_____,y最_____=_____,当x___0,y随x的增大而减小;当x___0,y随x的增大而增大。

它是由抛物线y=4x2向_____平移___个单位得到y=4x2-1
一、基础巩固
1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____
点,所以函数有最________值是_____.
2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.
3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.
4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.
5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.
6.抛物线y=-3(2x 2-1)的开口方向是_____,对称轴是_____.
7、已知点A
()()1
2
,2012,,2012x B x 是抛物线2
5y x
=-上相异两点,当12x x x =+时,二次函数
25y x =-的值为________
8.在同一坐标系中,二次函数y=-
2
1x 2
,y=x 2,y=-3x 2的开口由大到小的顺序是______. 9.抛物线y=-41x 2+1,y=-41(x+1)2与抛物线y=-4
1
(x 2+1)的_____相同,_____不同.
10、已知正比例函数(a 0),y ax =?y 随x 的增大而减小,则函数2
y ax a =+的图像经过象
限是_______________
4、已知函数
2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称,则m =________;
二、能力提升
11、求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=
12
x 2
的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.
12、一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y 万元,求y 与x 的函数关系式.
13、将抛物线2
1y x =+以x 轴为对称轴进行翻折,求翻折后得到的抛物线的解析式。

14、已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.
15、试分别说明将抛物线:(1)y=(x+1)2;(2)y=(x -1)2;(3)y=x 2+1;(4)y=x 2-1的图象通过怎样的平移得到y=x 2的图象.
17、二次函数2
-1y x =+的图像与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于C ,求: (1)点C 的坐标(2)线段AB 的长(3)△ABC 是怎样的三角形
第四课时:二次函数()
2
y a x h
=+的图像和性质
问题1,你能在同一直角坐标系中,画出函数2y x =、()21y x =-、()
2
+1y x =的图象
吗? 填表:
再描点、连线,即得各函数的图像
观察图像: 1、填写下表
抛物线
开口方向
对称轴 顶点坐标
2y x =
()21y x =-
x
… 0 … 2y x =

… ()21y x =-… … ()2+1y x =
()2+1y x =
4、对于同一个x 值,二次函数2y x =、()21y x =-、()2+1y x =的值之间有什么关系?这三
个函数图像在位置上有什么关系? 5、当x 取何值时,二次函数
2y x =、()21y x =-、()2+1y x =取得最小值?最小值分别是多少?
4、你能由函数2
y x =的性质,得到函数
()21y x =-的一些性质吗?
当x______时,函数值y 随x 的增大而减小;当x______时,函数值y 随x 的增大而增大
结论:
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最大(小)值
y=a(x+h)2
a >0时,开口向上
x=-h
(-h ,0)
当a >0时,在对称轴的左侧,x <-h 函数值y 随x 值的增大而减小,x >-h 函数值y 随x 值的增大而增大。

当x=-h 时,y 最小=0
a <0时,开口向下
当a <0时,在对称轴的左侧,x <-h 函数值y 随x 值的增大而增大;x >-h 函数值y 随x 值的增大而减小。

当x=-h 时,y 最大=0
1.在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。

(1)y =4x 2与y =4(x -3)2 (2)y =12(x +1)2与y =1
2(x -1)2
2.已知函数y =-14x 2,y =-14(x +2)2和y =-1
4(x -2)2。

(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由函数y =-1/4x2的图象得到函数y =-1
4(x +
2)2和函数y =-1
4
(x -2)2的图象?
(4)分别说出各个函数的性质。

3.已知函数y =4x 2,y =4(x +1)2和y =4(x -1)2。

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由函数y =4x 2的图象得到函数y =4(x +1)2和函数y =4(x -1)2的图象,
(4)分别说出各个函数的性质.
4.二次函数y =a(x -h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系?
5、抛物线y=-2(x-1)2开口向______,对称轴______,顶点坐标______,当x=____时y 最
_____=_____,当x____时,y 随x 的增大而增大,
当x____时,y 随x 的增大而减小,它是由y=-2x 2向___平移____单位而得到的,它与x 轴的交点坐标是______,与y 轴的交点坐标是_______。

6、抛物线()
()
2
2
-3,06y a x b y x =+=的顶点为,形状与相同,但开口方向相反。

(1)求抛物线的函数关系式 (2)求抛物线与y 轴交点坐标
基础巩固
1.抛物线y =4 (x -2)2与y 轴的交点坐标是________,与x 轴的交点坐标为___.
2.把抛物线y =3x 2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为______ ;向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为
3.将抛物线y =-1
3 (x -1)2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式
4.二次函数y=x 2-mx+1的图象的顶点在x 轴上,则m 的值是 .
5.抛物线y =2 (x +3)2的开口__ ____;顶点坐标为___;对称轴是_________;当x >-3时,y 随x 的增大而 ;当x =-3时,y 有最_____值是_________. 6.抛物线y =m (x +n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y =-4 (x -4)2,则m =_______,n =______.
7、二次函数2)2(31
+=x y ,若y 恒大于0,则自变量x 的取值范围是( )
8、把抛物线22y x =向左平移使顶点坐标是(-1,0),则所得抛物线的函数表达式为 。

9、一条抛物线的对称轴是1x =,且与x 轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式是 。

(任写一个。

) 10.函数2)1(3+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y = 。

11.已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ,当k 为何值时,此二次函数以y 轴为对称轴?写出其函数关系式。

12、二次函数()2
h x a y -=的图象如图:已知2
1
=
a ,OA OC =,试求该抛物线的解析式。

能力提升:
13、将抛物线2
y=向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-,且新抛物线ax
1,3,求a的值。

经过点()
14、如图所示,抛物线2
=--的顶点为A,直线L:y x m
()
y x m
=-与y轴的交点为B,其中m>0。

(1)写出抛物线的对称轴和顶点坐标;(用含m的式子表示);
(2)若点A在直线L上,求∠ABO的大小。

15、如图,河上有一座抛物线桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽AB 为6m,当水位上升0.5m时:
(1)求抛物线的解析式。

(2)求水面的宽度为多少米?
(3)有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行。

若游船宽(指船的最大宽度)为2m,从水面到棚顶的高度为1.8m,问这艘游船能否从桥洞下通过?
第五课时:二次函数()
2
+y a x h
k =+的图像和性质
问题1,你能在同一直角坐标系中,画出函数212y x =、()2122y x =-、()21
-2+12
y x =的图象吗?
函数解析式
图像的对称轴
图像的顶点坐标
22
1x y =
()21
22y x =
- ()21
-2+12y x =
1、对于同一个x 值,二次函数
2
21x y =
、()2122y x =-、()21-2+12
y x =的值之间有什么关系?这三个函数图像在位置上有什么关系? 2、当x 取何值时,二次函数2
21x y =
、()2122y x =-、()21-2+12
y x =取得最小值?最小值分别是多少?
3、你能由函数2y x =的性质,得到函数()21
-2+12
y x =
的一些性质吗? 当x______时,函数值y 随x 的增大而减小;当x______时,函数值y 随x 的增大而增
大 结论:
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最大(小)值
y=a(x+h)2+k
a >0时,开口向上
x=-h
(-h ,k )
当a >0时,在对称轴的左侧,x <-h 函数值y 随x 值的增大而减小,x >-h 函数值y 随x 值的增大而增大。

当x=-h 时,y 最小=k
a <0时,开口向下
当a <0时,在对称轴的左侧,x <-h 函数值y 随x 值的增大而增大;x >-h 函数值y 随x 值的增大而减小。

当x=-h 时,y 最大=k
1、不画图像,确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,并指出x 为何值时,y 有最大(小)值,并求出这个值,以及求出x 为何值时,图像的增减情况。

22
(1)(2)2;
1(2)(1)3
3
y x y x =--+=+- 2、抛物线
5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,
即x_____0时, y 随着x 的增大而增大; 在 侧,即x_____0时, y 随着x 的增大而减小;当x= 时,函数y 最 值是____。

第六课时:2
y ax bx c =++图像和性质
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最大(小)值
2y ax bx c
=++
a >0时,开口向上
2b x a
=-
24-24b ac b a a
-(,)
当a >0时,在对称轴的左侧,2b x a
<-
函数值y 随x 值的增大而减小,2b
x a
>-
函数值y 随x 值的增大而增大。


2b x a
=-
时,y


=
244ac b a
-
a <0时,开口向下
当a <0时,在对称轴的左侧,2b x a
<-
函数值y 随x 值的增大而增大;2b
x a
>-
函数值y 随x 值的增大而减小。


2b x a
=-
时,y


=
244ac b a
-
课堂练习: 1、二次函数
2231y x x =++的开口_____,对称轴为______,顶点坐标为______,当x=______时,y 有最
____为_______ 2、求抛物线
2
5
3212-+-=x x y 的对称轴和顶点坐标。

3、 已知函数y= x 2 -2x -3 , (1)把它写成
k m x a y ++=2)(的形式;并说明它是由2y x =怎样的抛物线经过怎样平移得到的?
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值; (3)求出图象与坐标轴的交点坐标; (4)画出函数图象的草图; 4、用配方法把下列函数化成
()2
y a x h k =++的形式,并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴,
然后再用描点法画出函数图像。

(1)2285y x x =++ (2)2364y x =-+
(3)
21
213
y x x =+- (3)()()221y x x =-+
5、抛物线2
35y x x =-的最低点坐标是(_____,______);抛物线2
35y x x =-可由抛物线
23y x =向_______平移_______个单位,在向_____平移_______个单位得到。

当x ________
时,函数值y 随x 值的增大而减小;当x _______时,函数值y 随x 值的增大而增大;当x _________时,函数值取得最_____值,y 最小值=_______
6、已知抛物线2
4y x x a =-+的顶点在直线41y x =--上,求抛物线的顶点坐标。

强化训练:
1.二次函数2
y ax =0a ()的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是____,图像有最___点,x ___时,y 随x 的增大而增大,x ___时,y 随x 的增大而减小。

2.关于2
13
y x =
,2y x =,23y x =的图像,下列说法中不正确的是( ) A .顶点相同 B .对称轴相同 C .图像形状相同 D .最低点相同
3.两条抛物线2
y x =与2y x =-在同一坐标系内,下列说法中不正确的是( )
A .顶点相同
B .对称轴相同
C .开口方向相反
D .都有最小值 4.在抛物线2
y x =-上,当y <0时,x 的取值范围应为( )
A .x >0
B .x <0
C .x ≠0
D .x ≥0
5.对于抛物线2
y x =与2
y x =-下列命题中错误的是( )
A .两条抛物线关于x 轴对称
B .两条抛物线关于原点对称
C .两条抛物线各自关于y 轴对称
D .两条抛物线没有公共点 6.抛物线y=-b 2x +3的对称轴是___,顶点是___。

7.抛物线y=-
21
(2)2
x +-4的开口向___,顶点坐标___,对称轴___,x ___时,y 随x 的增大而增大,x ___时,y 随x 的增大而减小。

8.抛物线2
2(1)3y x =+-的顶点坐标是( )
A .(1,3)
B .(-1,3)
C .(1,-3)
D .(-1,-3)
9.二次函数2
y ax =的图像向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得新函数表达式为( )
A .y=a 2(2)x -+3
B .y=a 2
(2)x --3 C .y=a 2(2)x ++3 D .y=a 2
(2)x +-3 10.抛物线2
44y x x =--的顶点坐标是( )
A .(2,0)
B .(2,-2)
C .(2,-8)
D .(-2,-8) 11.对抛物线y=22(2)x --3与y=-2
2(2)x -+4的说法不正确的是( )
A .抛物线的形状相同
B .抛物线的顶点相同
C .抛物线对称轴相同
D .抛物线的开口方向相反
13.化243y x x =++为y=243x x ++为y =a 2
()x h -k +的形式是____,图像的开
口向____,顶点是____,对称轴是____。

14.抛物线y=2
4x x +-1的顶点是____,对称轴是____。

15.函数y=12
-
2
x +2x -5的图像的对称轴是( ) A .直线x=2 B .直线a=-2 C .直线y=2 D .直线x=4 16.二次函数y=2
21x x --+图像的顶点在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
17.如果抛物线y=2
6x x c ++的顶点在x 轴上,那么c 的值为( )
A .0
B .6
C .3
D .9
18.抛物线y=2
22x mx m -++的顶点在第三象限,试确定m 的取值范围是( )
A .m <-1或m >2
B .m <0或m >-1
C .-1<m <0
D .m <-1 19.已知二次函数2
y ax bx c =++,如果a >0,b <0,c <0,那么这个函数图像的顶点必在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
20.如图所示,满足a >0,b <0的函数y=2
ax bx +的图像是( )
21.通过配方变形,说出函数2
288y x x =-+-的图像的开口方向,对称轴,顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 第七课时:用待定系数法求函数解析式。

知识点回顾:待定系数法求函数解析式步骤
①设适当的二次函数关系式,即一般式:______________或者顶点式__________________; ②根据已知信息,构建关于待定系数的____________; ③解方程组;把求出的待定系数的值代入所设的关系式。

例1、已知一个二次函数的图像经过()
-1,10、(1,4)、(2,7)三点。

求这个二次函数的关系式。

例2、有一个二次函数,当1x =-时,函数的最小值为-3,他的图像经过点(1,5)。

求这个二次函数的关系式。

课堂练习:
1、根据二次函数图像上三个点的坐标,求这个二次函数的关系式:
()-1,-1-、(0,2
)、(1,1) 2、平移二次函数2
y ax =的图像,使它满足下列条件,并分别求对应的函数关系式:
(1)顶点为点--(1,2),且经过点B (1,10);
(2)对称轴为直线3x =,最大值为-1,且经过点C (4,3)
3、平移二次函数2
2y x =的图像,使它经过-(1,1)、(2,3)两点。

求这时图像对应的函数
关系式。

4、把抛物线2
y x bx c =++先向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2
y x =,
求b c 、的值
5、一次函数3y x =-的图像与x 轴,y 轴分别交于A,B 。

二次函数2
y x bx c =++的图像
经过点A,B 。

(1)求点A,B 的坐标;
(2)求二次函数的解析式及它的最小值。

6、抛物线2
-y x bx c =+经过点A (3,0)、B (0,3)
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)记抛物线的顶点为D ,抛物线与x 轴的另一个交点为C ,设P 为抛物线上一动点,求使=3PAC DAC S S 时点P 的坐标。

6、已知二次函数()
22
24y m x mx n =--+的图像的对称轴是2x =,且最高点在直线
1
12
y x =
+上,求这个二次函数的解析式。

例3、根据二次函数图像上三个点的坐标,求这个二次函数的关系式: ()-2,0、(3,0)、(2,8)
二次函数图像和性质强化练习
1、已知抛物线342
++=x x y ,请回答以下问题:
⑴、它的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 ; ⑵、图像与x 轴的交点为 ,与y 轴的交点为 。

2、顶点为(-2,-5)且过点(1,-14)的抛物线的解析式为 . 3、二次函数2
243y x x =--,当x = 时,函数y 有最 值是 . 4、(1)二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。

二次函数
122--=x x y 的顶点坐标为 ,对称轴为 。

(2)二次函数y=2x 2-4的顶点坐标为________,对称轴为__________。

5、二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3,则m=________。

6、二次函数1)3(22
-+-=x y 由1)1(22
+--=x y 向_____平移_______个单位,再向_____平移_______个单位得到。

7、抛物线3)2(32
-+=x y 可由抛物线2)2(32
++=x y 向 平移 个单位得到. 8、将抛物线2)3(6
5
2+-=
x y 向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线是 9、把抛物线1)1(2
---=x y 向 平移 个单位,再向_____平移_______个单位得到抛物线3)2(2
-+-=x y .
10、抛物线122--=x x y 可由抛物线142
+-=x x y 向 平移 个单位,再向_____平移_______个单位得到.
11、抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限,则a 0,b 0,c 0. 12、已知二次函数232)1(2
-++-=m mx x m y ,则当=m 时,其最大值为0. 13、 二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像如图所示,则下列结论正确的是( ) A.a >0,b <0,c >0 B.a <0,b <0,c >0
C.a <0,b >0,c <0
D.a <0,b >0,c >0
14、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2
,平移方法是( ) A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位 C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
15、二次函数y=x 2
+6x-2的最小值为( )
A 11
B -11
C 9
D -9
16、已知正比例函数kx y =的图像如右图所示,则二次函数2
22k x kx y +-=
的图像大致为( )
A B C D
17、二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示,则abc ,ac b 42-,b a +2,c b a ++这四个式子中,值为正数的有( )
(A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个
第17题 第19题 第20题
18、二次函数c bx x y ++=2
的图像上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( )
(A )1x =- (B )1x = (C )2x = (D )3x =
19、如图所示,二次函数y=x 2-4x+3的图像交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于C 点,则△ABC 的面积为( )
A 6
B 4
C 3
D 1 20、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图像中,观察得出了+下面的五条信息:①0a <,②0c =,③函数的最小值为3-,④当0x <时,0y >,⑤当1202x x <<<时,12y y >(6)对称轴是直线x=2.你认为其中正确的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
21、已知二次函数y =ax 2+bx +c ,当x =1时,y 有最大值为5,且它的图像经过点(2,3),求这个函数的关系式.
22、已知二次函数y = -x 2+bx +5,它的图像经过点(2,-3). (1)求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标.
O x y -1 1 y O
x y O x y O x O x y y O x B
A x
0 C y 0 2 3-x y
(2)当x 为何值时,函数y 随着x 的增大而增大?当为x 何值时,函数y 随着x 的增大而减小?
23、已知抛物线y =x 2-2x +a 的顶点A 在直线y =-x +3上,直线y =-x +3与x 轴的交点为B 点,点O 为直角坐标系的原点. (1)求点B 的坐标与a 的值. (2)求△AOB 的面积.
24、二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴交于点A (-8,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,∠ACB=90°. (1)、求二次函数的解析式; (2)、求二次函数的图像的顶点坐标;
第八课时:二次函数y=ax 2+bx +c 与ax 2+bx +c =0(a ≠0)的关系
1、 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交点的横
坐标,反之y=ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根;
2、 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根情况的判别即二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)与x
轴交点个数情况:①判别式∆②直接看方程③平移 例1:抛物线y=ax 2
+bx +c 图像如下, 则 ① ax 2+bx +c =0的根有 ( )个
②ax 2+bx +c+3=0的根有( )个 ③ax 2+bx +c -5=0的根有( )个
x 3-≥a
y
x
B A
C O 5
例2:若关于x 的不等式组 无解,则二次函数y=(a-2)x 2-x +4
1
与X x a 515-≤ 轴交点有( )个;
例3:一元二次方程22717)83(2
-=-x y 与X 轴的交点个数为( )个;
例4:二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,根据图像解答下列问题:
(1) 写出方程ax 2+bx +c =0的两个根; (2) 写出不等式ax 2+bx +c >0的解集;
(3) 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值;
(4) 若方程ax 2+bx +c =k 有两个不相等的实数根,求k 的取什范围。

3、 韦达定理在二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)中的应用(
a
c
a b x x x
x =-=+2
12
1
,) ① 已知其中一个交点,求另一个交点: 例5:若抛物线
m x y x +-=22
与X 轴的一个交点是(-2,0)则另一个交点是( )
; ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212
421)
(-=+
例6:若抛物线32
-+=ax y x 与X 轴的交点为A ,B ,且AB 的长度为10,求a
利用韦达定理求面积: 例7:抛物线m x y x
++=
-22
与X 轴的一个交点是A(3,0)
,另一个交点是B ,且与y 轴交于点C , (1)求m 的值;
(2)求点B 的坐标;
(3)该二次函数图象上有一点D (x ,y )(其中x>0,y>0),使
s s
ABC ABD
∆∆=,求点
D 的坐标。

1 3
2 2。

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