三垂线法作二面角的平面角的技巧

三垂线法作二面角的平面角的技巧

求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．

我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：

如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。α—l —β的平面角．

作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：

1．善于利用图中已有的“第一垂线”

例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．

(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1；

(2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．

剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”． 略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 23=，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =3

322

3==a a NC BC ，即∠BNC 3

32arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝

21 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；

(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．

剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．

略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=

+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为2

2．

2．借助第三个平面，作“第一垂线”

例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 2

2，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．

(1)确定点D 的位置，并证明你的结论；

(2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．

剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．

略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 4

3=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．

3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”

例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。成30°和45°角，求平面α与△ABC 所在平面所成二面角的大小．

剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到

AB 、AC 与平面α所成的角均已给出，只要过A 作AO ⊥α于O ，就可以同时找到AB 、AC 在平面α内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO 有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．

解：作AO ⊥α于O ，OD ⊥BC 于D ，连OB ，AD ，OC ，由三垂线定理得：AD ⊥BC ，所以∠ADO 是二面角A —BC —O 的平面角，令AO ＝x ，在Rt △AOB 中，∠ABO ＝30°，所以AB ＝2x ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，所以x AC 2=，因为∠BAC =90°，所以x BC 6=，所以x x x

x AD 3

32622=⋅=。 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO 2

3==

AD AO ，所以∠ADO ＝60°，所以三角形ABC 与面α成60°或120°的二面角．