大学数学思想方法与创意(课堂PPT)
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6
• 4. Cauchy-Schwarz不等式的各种形式与 推广
• 4.1基础知识 • 4.2背景知识 • 4.3论文创作
7
• 5. 两个重要极限的再认识及其应用 • 5.1基础知识 • 5.2背景知识 • 5.3论文创作
8
• 6. 中值等式中的“中间点”的渐近性 • 6.1基础知识 • 6.2背景知识 • 6.3论文创作
c
其中 c 为平面上任一简单封闭曲线，
求 f (x)、g(x)使 f(0)g(0)0 .
解答
29
• 设级数
x4 x6 x8 24 246 2468
(x)的和函数
为 f ( x ) ，求 f ( x ) .
解答
30
2.4一类函数方程中的方程思想
• 我们知道函数方程是一个经典的课题， 早在18世纪L.Euler、Lagrange等著名数学 家就利用函数方程来解决问题了.1769年 D’Alembert在讨论力的合成法则时导出了函 数方程
3
第二部分 大 学 数 学 创 意
• 0.高等数学研究性、创造性例谈
• 1.变系数线性微分方程线性化的充要条件
1.1基础知识([1]) 1.2背景知识([2]) 1.3论文创作
4
• 2. 一类二阶变系数线性微分方程的积分因 子解法
• 2.1基础知识 • 2.2背景知识 • 2.3论文创作
5
• 3. 函数不等式的积分证法 • 3.1基础知识 • 3.2背景知识 • 3.3论文创作
10
求不定积分
sinx dx
sin x cos x
解答
11
• 对于
CAssiinnxxD Bccoossxxdx
（ C2 D2 0）
解答
12
• 求不定积分
x cos x sin x 1
dx
• 解答
13
• 求不定积分
Iea xsinb xd x (a b0 )
• 解答
14
2.2 定积分中的方程思想
• 解答
25
2.3 多元微积分中的方程思想
• 以上几例都是将求未知函数归结于解微分 方程，这是现代数学中的标准方法，这个 方法在科学中的系统应用不在本书讨论之 内，在这里我们强调的是方程（微分方程） 思想在解题中的特殊应用，它们散见于各 个章节，难以规范化，且往往被忽略.
• 下面举几个在多元微分、多元积分、级数 理论方面的例子，起抛砖引玉的作用.
• 虽然牛顿—莱布尼兹公式把定积分的计算 归结为求被积函数的原函数在积分区间两 个端的函数值的差，但有些被积函数的原 函数不容易求，甚至有些被积函数的原函 数不能用初等函数表示出来。对这些定积 分的计算，我们可试用换元积分法、分部 积分法及定积分性质，将原来需要计算的 定积分转化为一元一次方程，从而求出定 积分
26
• 设 f ( u )在 (0, ) 内具有二阶导数，且 z f ( x2 y2)
满足等式 2 z x2
2z y 2
0,
（1）验证
f ''(r) f '(r) 0; r
（2）若 f(1)0， f'(1)1，求 f ( r ) 的表达式.
解答
27
•
设函数 可微， 且满足， f ( x, y )
f( x y ) f( x y ) 2 f( x )f( y )
31
• 1773年法国数学家G.Monge在研究曲 面理论时又再一次的运用了函数方程，并 且给出了关于函数方程的一般阐述.同一年 Laplace又对另一类广泛应用的函数方程提 供了解法.1821年后，Cauchy对一系列的函 数方程如
9
第二讲 方程思想
• 2.1 不定积分中的方程思想 • 我们知道，虽然不定积分是导数的逆运算，但是在求导运
算和求积运算中，一般而言，不定积分要复杂的多，例如， 我们给出某一个区间上的连续函数，我们可以毫无困难的 去求出它的导数。反之，给定某一个区间上的连续函数， 我们未必能够求出它的原函数。这是由于一方面连续函数 的原函数虽然存在，但未必是初等函数，另外一方面，即 使原函数是初等函数我们也未必能够求出它的表达式。我 们都知道求不定积分方法多、技巧强，需要我们不断的从 中掌握好思想与方法，灵活的加以运用。 • 下面我通过例子来说明是如何用方程的思想来解不定积分 的。
15
•求
• 解答
4 ln(1tanx)dx 0
16
•求
dx
I
2
0 1(t（an x)
• 解答
17
总结
• 注：对于定积分
b
a f (x)dx
如果我们想使用方程思想来计算，可以尝试 作换元.
xabt
18
•求
I 2a2cos2xb2sin2xdx
0 sinxcosx
• 解答
19
• 对于求一类含有未知积分的函数，我们可 以通过变形（变量代换、求导运算、积分 运算等）转化为代数方程或微分方程来处 理.下面通过一些实例来说明
f(x,y)1x2y2 8f(u,v)dudv D
• 求 f (x, y)
• 解答
23
• 设 f ( x ) 在 [0, ) 上可导，f (0) 0，且有反函
数gHale Waihona Puke Baidu
(
x
)
，f(x)g(t)dt x2ex 1
，求 f
(
x
)
.
解答
24
•
求满足等式
x
x
x0 f(t)dt0tf(tx)dt
的可微函数
f (x)
大学数学思想方法与创意
唐烁、苏化明、潘杰、宁荣健
1
第一部分 大学数学思想方法
• 第一讲：函数思想 • 第二讲：方程思想 • 第三讲：分类思想 • 第四讲：数形结合思想 • 第五讲：构造思想 • 第六讲：类比思想
2
• 第七讲：反证法 • 第八讲：对称性原则 • 第九讲：RMI原则 • 第十讲：归纳与递推思想 • 第十一讲：逆向思维 • 第十二讲：迭代与逼近 • 第十三讲：发散思维 • 第十四讲：一般与特殊
f f(x,y), x
f0,21
lim
n
f
( 0, y 1 n
f 0, y
n
)
ecoty
解答
， 求 f (x, y)
28
• 设 f (x)、g(x)具有二阶连续导数，曲线积分
[ y 2 f( x ) 2 y e x 2 y g ( x ) ] d x 2 [ y g ( x ) f( x ) ] d y 0，
20
• 设 f(x)3x1x2 1f2(x)dx, 0
求 f (x)
解答
21
• 注：事实上，这种形式的题目在积分学中 经常出现，是一种常见的题型，我们再举 一个含有二重积分的题目，就可以完全理 解这类题型的实质
22
• 设闭区域 ， 为 D:x2y2y， x0 f ( x, y) D 上的连续 函数，且
• 4. Cauchy-Schwarz不等式的各种形式与 推广
• 4.1基础知识 • 4.2背景知识 • 4.3论文创作
7
• 5. 两个重要极限的再认识及其应用 • 5.1基础知识 • 5.2背景知识 • 5.3论文创作
8
• 6. 中值等式中的“中间点”的渐近性 • 6.1基础知识 • 6.2背景知识 • 6.3论文创作
c
其中 c 为平面上任一简单封闭曲线，
求 f (x)、g(x)使 f(0)g(0)0 .
解答
29
• 设级数
x4 x6 x8 24 246 2468
(x)的和函数
为 f ( x ) ，求 f ( x ) .
解答
30
2.4一类函数方程中的方程思想
• 我们知道函数方程是一个经典的课题， 早在18世纪L.Euler、Lagrange等著名数学 家就利用函数方程来解决问题了.1769年 D’Alembert在讨论力的合成法则时导出了函 数方程
3
第二部分 大 学 数 学 创 意
• 0.高等数学研究性、创造性例谈
• 1.变系数线性微分方程线性化的充要条件
1.1基础知识([1]) 1.2背景知识([2]) 1.3论文创作
4
• 2. 一类二阶变系数线性微分方程的积分因 子解法
• 2.1基础知识 • 2.2背景知识 • 2.3论文创作
5
• 3. 函数不等式的积分证法 • 3.1基础知识 • 3.2背景知识 • 3.3论文创作
10
求不定积分
sinx dx
sin x cos x
解答
11
• 对于
CAssiinnxxD Bccoossxxdx
（ C2 D2 0）
解答
12
• 求不定积分
x cos x sin x 1
dx
• 解答
13
• 求不定积分
Iea xsinb xd x (a b0 )
• 解答
14
2.2 定积分中的方程思想
• 解答
25
2.3 多元微积分中的方程思想
• 以上几例都是将求未知函数归结于解微分 方程，这是现代数学中的标准方法，这个 方法在科学中的系统应用不在本书讨论之 内，在这里我们强调的是方程（微分方程） 思想在解题中的特殊应用，它们散见于各 个章节，难以规范化，且往往被忽略.
• 下面举几个在多元微分、多元积分、级数 理论方面的例子，起抛砖引玉的作用.
• 虽然牛顿—莱布尼兹公式把定积分的计算 归结为求被积函数的原函数在积分区间两 个端的函数值的差，但有些被积函数的原 函数不容易求，甚至有些被积函数的原函 数不能用初等函数表示出来。对这些定积 分的计算，我们可试用换元积分法、分部 积分法及定积分性质，将原来需要计算的 定积分转化为一元一次方程，从而求出定 积分
26
• 设 f ( u )在 (0, ) 内具有二阶导数，且 z f ( x2 y2)
满足等式 2 z x2
2z y 2
0,
（1）验证
f ''(r) f '(r) 0; r
（2）若 f(1)0， f'(1)1，求 f ( r ) 的表达式.
解答
27
•
设函数 可微， 且满足， f ( x, y )
f( x y ) f( x y ) 2 f( x )f( y )
31
• 1773年法国数学家G.Monge在研究曲 面理论时又再一次的运用了函数方程，并 且给出了关于函数方程的一般阐述.同一年 Laplace又对另一类广泛应用的函数方程提 供了解法.1821年后，Cauchy对一系列的函 数方程如
9
第二讲 方程思想
• 2.1 不定积分中的方程思想 • 我们知道，虽然不定积分是导数的逆运算，但是在求导运
算和求积运算中，一般而言，不定积分要复杂的多，例如， 我们给出某一个区间上的连续函数，我们可以毫无困难的 去求出它的导数。反之，给定某一个区间上的连续函数， 我们未必能够求出它的原函数。这是由于一方面连续函数 的原函数虽然存在，但未必是初等函数，另外一方面，即 使原函数是初等函数我们也未必能够求出它的表达式。我 们都知道求不定积分方法多、技巧强，需要我们不断的从 中掌握好思想与方法，灵活的加以运用。 • 下面我通过例子来说明是如何用方程的思想来解不定积分 的。
15
•求
• 解答
4 ln(1tanx)dx 0
16
•求
dx
I
2
0 1(t（an x)
• 解答
17
总结
• 注：对于定积分
b
a f (x)dx
如果我们想使用方程思想来计算，可以尝试 作换元.
xabt
18
•求
I 2a2cos2xb2sin2xdx
0 sinxcosx
• 解答
19
• 对于求一类含有未知积分的函数，我们可 以通过变形（变量代换、求导运算、积分 运算等）转化为代数方程或微分方程来处 理.下面通过一些实例来说明
f(x,y)1x2y2 8f(u,v)dudv D
• 求 f (x, y)
• 解答
23
• 设 f ( x ) 在 [0, ) 上可导，f (0) 0，且有反函
数gHale Waihona Puke Baidu
(
x
)
，f(x)g(t)dt x2ex 1
，求 f
(
x
)
.
解答
24
•
求满足等式
x
x
x0 f(t)dt0tf(tx)dt
的可微函数
f (x)
大学数学思想方法与创意
唐烁、苏化明、潘杰、宁荣健
1
第一部分 大学数学思想方法
• 第一讲：函数思想 • 第二讲：方程思想 • 第三讲：分类思想 • 第四讲：数形结合思想 • 第五讲：构造思想 • 第六讲：类比思想
2
• 第七讲：反证法 • 第八讲：对称性原则 • 第九讲：RMI原则 • 第十讲：归纳与递推思想 • 第十一讲：逆向思维 • 第十二讲：迭代与逼近 • 第十三讲：发散思维 • 第十四讲：一般与特殊
f f(x,y), x
f0,21
lim
n
f
( 0, y 1 n
f 0, y
n
)
ecoty
解答
， 求 f (x, y)
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• 设 f (x)、g(x)具有二阶连续导数，曲线积分
[ y 2 f( x ) 2 y e x 2 y g ( x ) ] d x 2 [ y g ( x ) f( x ) ] d y 0，
20
• 设 f(x)3x1x2 1f2(x)dx, 0
求 f (x)
解答
21
• 注：事实上，这种形式的题目在积分学中 经常出现，是一种常见的题型，我们再举 一个含有二重积分的题目，就可以完全理 解这类题型的实质
22
• 设闭区域 ， 为 D:x2y2y， x0 f ( x, y) D 上的连续 函数，且