趸缴纯保费

的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人 的死亡给付的概率达到95％。
解：令Zj表示第j个被保险人的死亡给付在签单时的现值( j 1,..100)
对每个被保险人都有：
vt
bt 10, t 0 v t , t 0, v e0.06
Z j 10vT
100
令Z Z j j 1
解：
1 Ax
0 zt . fT (t )dt
1 60
60 e t dt
0
1 [ 1
60
e t
/
60 0
]
1 e 60
60
(
0)
2Var(Z ) 2 A ( A)2
1 e 120
(1 e60t )2 (
0)
120
60
3P ( Z
0.9 )
P(vT
0.9 )
P(T
ln 0.9 )
Ax
0
e
t
.t
px
.
xt
dt
Var(Z ) 2 A ( A)2
例2：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔 付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
计算（1）Ax (2)Var(zt ) (3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
1 100 x
1 x 30 fT (t ) 70
A1x:n
0
v
t
.
fT
(t
)dtBiblioteka A1 30:1010
v
0
t
.
fT
(t )dt
1 70
10 e -t dt
0
( ln 1.1)
1 [ 70
1 (1.1)t ln 1.1
/
10 0
]
0.092099
Var( Z ) 2 A1x:n ( A1x:n )2
2
A1 30:10
10 0
e
2t
.
fT
(t
)dt
1 70
10 e 2 t dt
0
1 [ 1
70 2
e 2 t
/
10 0
]
0.063803
Var(Z ) 0.063803 (0.092099)2 0.055321
三、终身寿险的趸缴纯保费
终身寿险－指被保险人在保单生效的任何时刻，发生保险责任
zT bT vT
一、精算现值的概念
注
：保
险金b
的
T
现值z
的
T
平均
值E（Z
）
T
称为
未来保险
金给
付
在签单时的精算现值。
二、n年定期保险的趸缴纯保费
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
假定：（x)岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系
根据中心极限定理：P(
Z
E(Z)
h
E(Z) )
0.95
Var(Z ) Var(Z )
Z 400 h 400 h 400 1.645 h 449.35
30
30
30
这项基金在最初时数额为449.35元，比收取的趸缴纯保费总额400 元超出49.35元。
四、延期寿险的趸缴纯保费
延期m年的终身寿险－指被保险人在投保后的前m年内的死亡 不获赔偿，从第m+1年开始，发生保险责任范围内的死亡时， 保险人才给付保险。 ➢ 假定：（x)岁的人投保延期m年的终身寿险，保险金额为1元
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt btvt 0 , t n
签单时保险金给付现值随机变量：
vT , T n
ZT
bT vT
0,
Tn
EZ
0
zt
.
fT
t
dt
n 0
v
t
.
fT
t
dt
n 0
e
t
.t
p
x
.
x
t
dt
这种n年定期保险的趸缴纯保费：
Var( Z ) 2 A1x:n ( A1x:n )2
例：设生存函数s(x) 1－ x ,0 x 100, 年利率i 0.1, 保险金 100
－
额为1元, 试计算 : (1)趸缴纯保费A130:10;(2)Var(Z)
解：
fT
(t)
s( x t ) s( x)
1 / 100 1 x / 100
ln v
ln0.9 fT (t )dt
lnv
60 1
l n 0.9 lnv
dt 60
ln 0.9 6
ln v
1 (60 ln 0.9 ) 0.9
60
ln v
ln 0.9 6 ln v 0.9 v 6 (v e )
例2：假设有100个相互独立的年龄为x岁的被保险人都投了保险金额
为10元的终身寿险，随机变量T的概率密度函数是fT (t) e－t , 0.04, t 0。保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项 基金中按利息力＝0.06计息支付。试计算这项基金在最初（t 0)时
100
0.04
25
0.04 2 0.06
Var(Z j ) 2 A ( A)2 25 16 9
100
100
E(Z ) E( Z j ) E(Z j ) 100 4 400
j 1
j 1
100
Var(Z ) Var(Z j ) 100 9 900 j 1
假设这项基金在最初时数额为h，才能保证 PZ h 0.95
A1x:n
n 0
e
t
.t
px
.
xt
dt
更一般，若死亡时给付的保险金为x元，则趸缴纯保费为：
x. A1x:n
Z的方差：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2 E(Z 2 ) ( A1x:n )2
E(Z 2 )
0
zt
2
.
fT
t
dt
n 0
e
2
t
.t
px
.
x
t
dt
A 2 1 x:n
Ax
0 zt . fT (t )dt
et ..et dt e( )t dt
0
0
lim b e( )t dt b 0
lim
b
1
.[e (
)t
]
/
b 0
lim
b
1
[e( )b
1]
0.04
E( Z j ) 10 Ax 0.06 0.04 4
E( Z j 2 ) 102 2 Ax
第二章：趸缴纯保费
第一节 死亡即付的寿险
死亡后立即给付保险金－指被保险人一旦发生保险责任范围类
的死亡，保险人立即给付保险金。
注 ：x 连 续 型 随 机 变 量; bt 保 险 金 给 付 函 数; vt 折 现(贴 现 ） 函 数; t 从 签 单 到 死 亡 的 时 间 长度;
现值函数：zt btvt （未来保险金给付在签单时的现值）
范围内的死亡，保险人均给付保险金。
➢ 假定：（x)岁的人投保终身寿险，保险金额为1元
bt 1, t 0 vt vt ,t 0
Z bT vT vT ,T 0
终身寿险的趸缴纯保费：
Ax E(Z )
Ax E(Z )
0 zt . fT (t )dt
0
v
t
.t
p
x
.
x
t
dt