(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析)
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2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）
1. 【山东肥城】已知函数22()2sin 2sin ()6
f x x x π
=--，x R ∈.
（1）求函数()y f x =的对称中心；
（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
(
)262B b c
f a
π++=
，ABC ∆△ABC 周长的最大值.
【解析】
()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x x
ππ⎡
⎤=----=--⎢⎥⎣
⎦
1cos 22cos 222
x x x =
+-
12cos 2sin(2)226
x x x π=
-=-. （1）令26
x k π
π-
=（k Z ∈），则212
k x ππ
=
+（k Z ∈）， 所以函数()y f x =的对称中心为(
,0)212
k ππ
+k Z ∈；
（2）由(
)262B b c f a π++=
，得sin()62b c
B a
π++=，即1sin cos 222b c B B a ++=，
sin cos B a B b c +=+，
sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，
sin sin cos sin A B B A B =+， 又因为sin 0B ≠，
cos 1A A -=，即1
sin()6
2
A π
-=
， 由0A π<<，得56
6
6
A π
π
π-<-
<
， 所以6
6
A π
π
-
=
，即3
A π
=
，
又ABC ∆
所以3a A ==，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-22
2
3()()()44
b c b c b c +≥+-+=
，即6b c +≤，
当且仅当b c =时取等号，所以周长的最大值为9.
2.【河北衡水】已知函数()22sin cos 2cos f x a x x b x c =++()0,0a b >>，满足
02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且当[]0,x π∈时，()f x 在6x π=取得最大值为52.
（1）求函数()f x 在[]0,x π∈的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()3
2
f C =，求2222
22a b c a b c +++-的取值范围.
【解析】
（1）易得()55sin 2366f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，整体法求出单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； （2）易得3C π
=，则由余弦定理可得2222222222a b c a b ab a b c ab +++-=+-21b a a b ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，
由正弦定理可得2sin sin 3sin sin A b B a A A π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭=
=11,22tan 22A ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以[)222
222
3,4a b c a b c ++∈+-.
3.【山东青岛】已知向量1cos ,2a x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭r
，,cos 2)b x x =r
，x R ∈，设函数
()f x a b =⋅r r .
（1）求f (x )的最小正周期； （2）求函数f (x )的单调递减区间；
（3）求f (x )在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【解析】
1()cos ,2f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,cos 2)x x ⋅
1
sin cos 22x x x =-
1
2cos 222
x x =
- cos
sin 2sin
cos 26
6
x x π
π
=-
sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（1）()f x 的最小正周期为222
T π
π
πω
==
=，即函数()f x 的最小正周期为π. （2）函数sin(2)6
y x π
=-
单调递减区间：
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤
+，k Z ∈， 得：
53
6
k x k π
π
ππ+≤≤
+，k Z ∈， ∴所以单调递减区间是5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
（3）∵02x π
≤≤，
∴526
66
x π
π
π
-
≤-
≤
. 由正弦函数的性质， 当26
2
x π
π
-=
，即3
x π
=
时，()f x 取得最大值1.
当26
6
x π
π
-=-
，即0x =时，1(0)2
f =-
， 当5266x π
π-
=，即2
x π
=时，122
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小值为1
2
-. 因此，()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是1，最小值是12-.