结构力学 位移计算

n1
h
C
(n 1)l n2
l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a EA
2P k
2P 2 2a] 2(1 2) Pa () a
2
Ni
1
EA
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
0 a NP
P
1
0a k
2 0
Ni
kx
NP Nil EA
1 1 [P 1 a ( 2P)( 2) 2a]
EA
1
(1 2
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
,
P
kQP GA
,
P
MP EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
[
NP N EA
i
kQP Qi GA
M P M i ]ds EI
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
Ah
Ni (x) 0, NP (x) 0
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
384 EI
ql2 / 32
ql2 / 8
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
ql3 ( 24 EI
)
三、应用举例
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc 1 1 l ql2 1 l
iP
MM Pds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移积分的图乘法.
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pd图1s9乘 25(截对法年面于提是杆等)出Ve的res，ha他gi当n于时
1 EI
MM
P
d为x莫(对斯于科直杆铁) 路运输学院 的学生。
(M x tan )
图乘法的
Pபைடு நூலகம்1
x
M i (x) x l, M P (x) q(l x)2 / 2
ip
[
NP N EA
i
kQP Qi GA
M PM设i ]d:s EI
M
ql 4 8EI
MP , Q
qk lq2 2GA
l [ q(l x)k q(l x)3 ]dx
0 GA
2EI
Q M
4EIk GAl2
QP Mi
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/ 2 2/3
B
1 EI
(1 2
10 20
2 3
10 20 1) 500 ( ) 2 3EI
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
)
()
3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 4048 EI
三、图乘法小结
1 EI
x
tan
M Pdx
tan
EI
xM P dx
tan
EI
xc
1 EI
yc
适用条件是
图乘法求位移公什式么为?:
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl / 4
解:
B
MM EI
P
ds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M 1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
5-8 （a) 5-15
作业
第四章 静定结构位移计算
位移计算概述
计算方法： • 单位荷载法 • 图乘法及其应用
4-1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A Ay
A A
位移
线位移 转角位移
Ax A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
P B
P=1
P
QP M P
R A
θ
θ
R
NP R
O
解：构造虚设的力状态如设图: 示M
MP
PR sin , M i
R sin A
PR3
4EI bh, I
, Q bh3
kPR
4GA /12, k
,N 6 / 5,
PR
4EA
QP P cos ,Qi cos NP P sin , Ni sin ds Rd
2) Pa () EA
荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法
二.位移计算公式
三.单位力状态的确定
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位
广义力在所求广义位移上做功. 例: 1)求A点水平位移
B
P
A
2)求A截面转角 3)求AB两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角
P 1
P 1
P 1
P 1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
40
B
1 EI
1 2
101 (60
2 3
20)
100 ( ) EI
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
q
q
A
B
MP
ql2 / 8 EI ql2 / 4
l
ql2 / 8
ql 2
1
4
Mi
B
1 EI
(
2 3
l
ql 2 8
1 2
1 2
l
ql 2 4
2 3
1)
ql3 ( ) 24 EI
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
3ql 2 / 32
A
B
EI
C
MP
ql2 / 8
3l / 4
l/4
P 1
q
3ql 2 / 32
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
B
1 EI
1 2
101 (20
20 2) 500 ( ) 3 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
h
q
1
q
1
l
ql2 / 8
h h
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12EI
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C。
C
lq
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
单位荷载法
一.单位荷载法
求k点竖向位移.
k
iP
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系(线性,非线性).
Mi
ql2 / 2
ql2 / 2
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc
EI
1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
C q
1 l ql2 1 l ) 22 8 32
ql2 / 8
17 ql4 ()
果为正?
1 Pl2 ( ) 16 EI
例. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
三、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
A
B
h / R 1/10, E / G 2.5(钢砼)
Q 1
N 1
ip
[
PR
NP Ni
kQ MP
Qi400M
PMM i
1200
]ds
EA
k PR
似PG计RA算小3 ;(曲轴)率向杆变E可形I利、用剪直切杆变公形式对近位
4EA 4GA 移4的EI影响可略去不计
荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式
P 1
qkl2 ql4 ()
A bh, I bh3 /12, k 6 / 5,
2GA 8EI
对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.
位移h方/ l 向1是/10如, E 何确定Q的? 1
/
G
2Q.5i (钢砼) lx
M 100
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
40
A
B
MP 20
EI 20kN m 40kN m
10m
1
Mi
60
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
叠加原理适用（principle of superposition)
四、 计算方法
单位荷载法
4-2 结构位移计算的单位载荷法
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
δWe =δWi δWe =P ΔiP
k
iP
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
EI EI 3 2 2 2
1 ql3 ()
24 EI
C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4
5ql 3
( )
128 EI
三、应用举例
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2 MP A l/2
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
A
?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
4-3 图乘法及其应用
刚架与梁的位移计算公式为：
A截面转角
4-1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
t
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
1.梁与刚架
ip
M P M i ds EI
2.桁架
ip
NP Ni ds EA
NP Nil
EA
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
ip
M P M i ds EI
NP Nil EI
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
1
kx
NP Nil EA
P
0
NP 0
P a 1 2