坐标系和圆的中考题 - 答案

坐标系与圆综合题

1．如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．

（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．

（3）设AF

EF＝x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．

（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q

为圆心，为半径画圆．

①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等

腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线2

6y ax ax =+( a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；

（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE ＝DE ；

②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当a CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值．

4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，

则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；

（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，

②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；

（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，

易证△BOD∽△FHB，∴===2，∴FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，

∴EF=OH=4﹣1

2OD，

∵DE=EF，∴2+OD=4﹣1

2OD，解得：OD=

4

3，∴点D的坐标为（0，

4

3），

∴直线CD的解析式为y=1

3x+

4

3，由得：，则点P的坐标为（2，2）；

当=1

2时，连结EB，过点F作FG⊥OB于点G，同

理可得：△BOD∽△FGB，

∴===1

2，∴FG=8，OD=

1

2BG，

∵四边形OEFG是矩形，∴OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=43，∴点D的坐标为（0，﹣43），

直线CD的解析式为：y=﹣1

3x﹣

4

3，

由得：，∴点P 的坐标为（8，﹣4），

综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．

5．如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交轴，轴的正半轴于A ，B 两点，且M 是AB 的中点. 以OM 为直径的⊙P 分别交轴，轴于C ，D 两点，交直线AB 于点E （位于点M 右下方），连结DE 交OM 于点K .

（1）若点M 的坐标为（3，4），①求A ，B 两点的坐标； ②求ME 的长；

（2）若

，求∠OBA 的度数； （3）设（0<<1），

，直接写出关于的函数解析式.

解：（1）①如答图，连接，

∵是⊙P 的直径，∴. ∵，∴∥，∥. ∵点M 是AB 的中点，

∴点D 是AB 的中点，点C 是OA 的中点. ∵点M 的坐标为（3，4），

∴.

∴点B 的坐标为（0，8），点A 的坐标为（6，0）. ②在中，∵， ∴由勾股定理，得.

∵点M 是AB 的中点，∴. ∵，，∴.∴. ∴.∴. （2）如答图，连接，

∵，∴.∴. ∵，∴是的中位线. ∴∥.∴

x y x y 3=MK

OK

x OBA =∠tan x y MK

OK

=y

x ,DM MC OM 90MDO MCO ∠=∠=︒90AOB ∠=︒MD OA MC OB 28,26OB MC OA MD ==== Rt AOB ∆6,8OA OB == 10AB =1

52

BM AB =

=BOM BED ∠=∠OBM EBD ∠=∠OBM EBD ∆∆∽BM BO

BD BE

=48

6.45

BO BD BE BM ⋅⨯=

== 6.45 1.4ME BE BM =-=-=DP 3OK

MK

=3,4OK MK OM MK == PK MK =,OP PM BD DO == DP BOM ∆DP BM PDK MEK ∠=∠