初中数学教学论文 浅谈数形结合思想在函数教学中的渗透

浅谈数形结合思想在函数教学中的渗透

摘要：数形结合是数学教学中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

关键词：渗透数形结合思想以形助数以数解形

正文：

著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。

数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，使代数的问题几何化或几何的问题代数化，从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方法，主要表现在用代数的方法解决几何问题，或用几何的方法解决代数问题，以及代数与几何的综合问题解析。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种重要方法，特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。用图形可以使抽象的数量关系变得直观形象；而一些图形的性质，又可以赋予其数量意义，通过数量的运算使问题得到解决。

一、利用数形结合思想，基于图像进行函数性质研究。

函数与其图像的数形结合浑然一体．一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助．因此．函数及其图像内容突显了数形结合的思想方法．教学时我们应注重数形结合思想方法的渗透，这样会收到事半功倍的效果．如学习二次函数的性质时，采用如下数形结合的思想，使抽象的性质具体化，直观化，形象化。

解析式y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c

图象

开口方向 a >0时，开口向上，（实线部分）；a<0时，开口向下，（虚线部分）

顶点 （0，0） （0，k ） （h ，0） （h ，k ）

（a

b

2-，a b ac 442-）

对称轴 y 轴 y 轴 直线x=h 直线x=h

直线x=a

b 2-

最值

a >0时 y 最小=0

a >0时 y 最小=k

a >0时 y 最小=0

a >0时 y 最小=k

a >0时

y 最小=a

b a

c 442

-

a <0时 y 最大=0

a <0时 y 最大=k

a <0时 y 最大=0

a <0时 y 最大=k

a <0时

y 最大=a

b a

c 442

-

增减性

a >0时，在对对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的

增大而减大。a >0时，在对对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减大。

二、运用数形结合思想，基于图象解决二次函数的实际问题。

在数学的解题过程中，我们经常会利用形来研究数，或者是利用数研究形，通过数和形相互转化我们常常能把数学问题化难为易，化抽象为具体。如课本例题：

问题: 如图以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系h = 20t －5t 2

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？

可用数来解决：即把函数转化为方程进行解答。同时也可以用形来解答：画出如下函数图象。更直观具体地把问题简单化，一目了然。

又如下题：

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 根据图象解答下列问题：

（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．

（4）若方程2

ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

由图就直接可进行解答以上问题。这就是数形结合带来的方便之处。 三、巧用数形结合思想，基于图象解答中考压轴题。

中考数学压轴题中很多都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解提供解决问题转化为数学问题的能力。如广东省2012年中考压轴题： 如图，抛物线213

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y x x =

--与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，连接BC AC 、． （1）求AB 和OC 的长；

（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A B 、不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交

AC 于点D .设AE 的长为m ，ADE △的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值

范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE ，求CDE △面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相

h

x 3 3 2 2 1

1 4 1- 1- 2-

O y